2023年人教版高考数学总复习情境试题创新练（四）立体几何

情境试题创新练（四）立体几何

1.在焊接劳动体验课上，某学生计划将六根长为2米的硬钢丝与三根长为3米的硬钢丝焊接

成一个三棱柱模型.假设钢丝是极细的（计算体积时可将每根钢丝当作线段），焊接过程中钢

丝长度不改变.若所得三棱柱的体积为2#立方米，则该三棱柱的侧棱与底面所成角的正弦

值为（）

3211

AyB.-C.-D.-

【解析】选B.由于只有三根长为3米的硬钢丝，其余钢丝的长度都不是3米,

所以这三根只能做棱柱的侧棱，所以该三棱柱的底面为正三角形,

如图所示，设该三棱柱的高为力米，则三棱柱的体积为乎X22XA=2^3，

解得力=2,即4g2,

Ao9

所以该三棱柱的侧棱与底面所成角的正弦值为尢=可.

/1/1]O

2.某大学生在工厂实习期间，在机床上打算将一底面半径为第cm,体积为Bncn?的圆锥

体模型打磨成一个圆柱体和一个球体相切的模具，如图所示，则打磨成的圆柱体和球体的体

积之和的最大值为

【解析】设球体半径为r,圆锥高为力,

A

由圆锥底面半径为mcm,体积为3ncm',

所以:X3n,A=3n,解得力=3,

如图，所以48=/C=2镉，

所以△48C,△加帝为等边三角形，

所以可得r,DE=/r,BE=#—y[3r.

因为/月的=+,所以EF=y[3BE=3-3r,

所以圆柱体与球体体积之和K=n.（^3r）2-（3—3r）+1n/,

0

化简得-9五产（1—r）+1nr=--^-Jir+9nr,

oo

所以片=-23n?+18nr（O<Xl）,

1o

由/=0时，解得「=不，

乙0

[818

所以0〈r<不时，V>0,r>—时，V<0,

CiOCto

Ui18Q972n3

所以广=质时，JLx=t-oQcm•

3.设户为多面体必的一个顶点，定义多面体"在点P处的离散曲率为1一《（NQ/Q+N

…+NQ”/Q+NQ&）,其中Q（i=l,2,…，k,43）为多面体材的所有与点P

相邻的顶点，且平面。/&,平面3尸。“…，平面Q/Q和平面QJ却为多面体"的所有以尸

为公共点的面.已知在直四棱柱/a345G〃中，底面/颇为菱形，AA,=AB,则下列结论正

确的是（）

A.直四棱柱/8Q43G〃在其各顶点处的离散曲率都相等

3

B.若AC=BD,则直四棱柱〃在顶点/处的离散曲率为4

2

C.若AB=BD,则直四棱柱ABCD-A^CA在顶点A处的离散曲率为三

O

7

D.若四面体4/切在点4处的离散曲率为右，则力平面4初

1乙

【解析】选D.A选项，当直四棱柱48第45G〃的底面为正方形时，其在各顶点处的离散曲

率都相等，当直四棱柱/腼■l/G〃的底面不为正方形时，其在同一底面且相邻的两个顶点

处的离散曲率不相等，故选项A错误；

B选项，若AC=BD,则菱形被切为正方形，因为加」平面/况〃所以AA^AD,

所以直四棱柱加力■力幽〃在顶点A处的离散曲率为1一言(y+y)=(，选项B

错误；

JI

C选项，若AB=BD,则/劭〃=7,又4」仍AA,LAD,所以直四棱柱〃在顶点

O

4处的离散曲率为1一言(y+y+y)=|,选项C错误；

JI

D选项，在四面体44切中，AA.LAB,AA.VAD,AAt=AB=AD,所以N44/=N44占了，

所以四面体44切在点4处的离散曲率为1-£(YY+/为力)=£，解得乙外丘

乙JI个+X1•乙

V,易知A、B=4D=小AB,所以皮AB,所以四U。，所以直四棱柱极力■43G〃为

正方体，结合正方体的结构特征可知4G_L平面瓦切，选项D正确.

4.七面体玩具是一种常见的儿童玩具.在几何学中，七面体是指由七个面组成的多面体，常

见的七面体有六角锥、五角柱、正三角锥柱、Szilassi多面体等.在拓扑学中，共有34种

拓扑结构明显差异的凸七面体，它们可以看作是由一个长方体经过简单切割而得到的.在如

图所示的七面体仍比功中，以，平面/比AEA//FC,AD//BC,ADLAB,AD=AB=2,BC=FC

=fA=4.则该七面体的体积为.

E,

【解析】方法一：连接AC,则该七面体的体积等于V^Aa-E+VD.KFE.AC=2y[5,SMn=2-\[5X4

4

,作BGLAC^G,则8CJ_平面且BG=

2

悴DHIAC于"则如L平面467万且加=

41厂2

所以该七面体的体积为心,峻+勿伙=:X8乖X诉+广8m义诉=16.

O

方法二：将该七面体补成如图所示的长方体;

VABC朴EfFG-y^EFI-VFEGD-陈阳石

11111

=2X4X4--X-X2X4X4--X-X4X4X2--X4X2X2

J40乙0

161616

=32-=16.

O33

方法三：建立空间直角坐标系，利用空间向量求点尸到平面㈣的距离后求三棱锥尸应。的

体积.

答案：16

5.某学生发现A4纸的长与宽的比约为也，之所以是这个比值，是因为把纸张对折，得到

的新纸的长与宽之比仍为蛆，纸张的形状不变.已知圆柱的母线长小于底面圆的直径长（如

图所示），它的轴截面力四为一张A4纸，若点£为上底面圆上弧的中点，则异面直线应

与四所成的角约为（）

JIJT兀2n

A.—c.—D.

6B-7OT

【解析】选C.因为四〃切，所以（或补角）为异面直线应与48所成的角，设切的中点

为0,过后作"底面。0,连接阳OF,

因为£是0的中点，所以尸是令的中点，所以CZLL0,

又跖J_平面。0,所以阮L。?，EFC0F=F,

所以O?_L平面庞R所以勿_L0£:

设49=1,则5=也,故苏==,EF=3

乙

于是g小十阴邛,

V26

JT

所以tan-所以/&)(?=下■.

V2O

6.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点48距离之比八（九＞0，4#1）是常

数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的

问题:在棱长为2的正方体ABCMBCB中，点。是正方体的表面ADD4（包括边界）上的动点，

若动点尸满足用=2勿，则点尸所形成的阿氏圆的半径为；若£是切的中点，且满

足/APB=/EPD,则三棱锥月/切体积的最大值是.

【解析】在曲上取点必在4〃延长线上取点M使得物=2物，A%=2涧，则忆川是题中阿

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氏圆上的点，由题意版V是阿氏圆的直径，4