温度和气体分子动理论

温度和气体分子动理论第一页，共七十六页，2022年，8月28日②大学物理的力学部分只涉及一个宏观层次的机械运动规律，而大学物理的热学则从宏观规律和微观理论两个层次上，

并由此构成了从宏观现象寻找微观解释，用微观量的统计结果揭示宏观量本质的思想认识途径。这就是热学物理思想与力学物理思想的主要区别所在。热学正是沿着这样的思想认识途径建立起关于热运动的一般理论。以“热动平衡”为特点的热力学平衡态体现的统计思想；③热学从对状态的描述开始，以对热学量的统计性描述开始取代了对力学量的确定性描述，这个思想一直贯穿在热学理论的展开过程中。压强和温度的微观解释和分子运动随机量的统计“集中度”思想；

麦克斯韦速度分布和分子运动随机量的统计“分散度”的思想；……第二页，共七十六页，2022年，8月28日

④热力学第一定律与能量守恒和运动转化的思想；热力学第三定律与绝对零度不可能达到的分子运动论思想；

热力学第二定律以及熵和时间箭头方向的思想；⑤热力学三大定律的特殊表达方式（否定式）第三页，共七十六页，2022年，8月28日第七章温度和气体动理论玻耳兹曼麦克斯韦第四页，共七十六页，2022年，8月28日§7.1

微观与宏观一、热力学系统与外界热力学系统（热力学研究的对象）：大量微观粒子（分子、原子等）组成的宏观物体。外界：热力学系统以外的物体。例：篮球，球内气体是一个系统，球壳及球外气体为外界。系统分类（按系统与外界交换特点）：孤立系统：与外界既无能量又无物质交换封闭系统：与外界只有能量交换而无物质交换开放系统：与外界既有能量交换又有物质交换按系统所处状态：平衡态系统非平衡态系统第五页，共七十六页，2022年，8月28日二、宏观量与微观量要研究一个系统的性质及其变化规律，首先要对系统的状态进行描述。描述方法有两类：宏观描述和微观描述，对应的参数即为宏观量和微观量。1.宏观量：对一个系统的状态从整体上加以描述的物理量可直接用仪器测量，而且一般能为人的感官所察觉。如气体的成分、体积、压强、温度、内能等。2.微观量描述系统内个别微观粒子特征的物理量。不能为人的感官所察觉，一般不能直接用仪器测量。如分子质量、速度、直径、位置、能量等。第六页，共七十六页，2022年，8月28日3、宏观量与微观量的内在联系：分子或原子以不同的形式不停运动，每个都具有一定的位置、能量、质量和运动速度。任何宏观物体都由大量的分子或原子组成。——用微观量描述大量微观粒子运动的集体表现就体现为宏观物理量！宏观量是相应微观量的统计平均值。热力学研究⑴各宏观量之间的关系，即宏观热力学规律。⑵通过求微观量的统计平均值的方法了解宏观规律的本质。第七页，共七十六页，2022年，8月28日按系统所处状态：平衡态系统非平衡态系统1、平衡态:

在无外界的影响下，不论系统初始状态如何，经过足够长的时间后，系统的宏观性质不随时间改变的稳定状态。平衡条件:

(1)系统与外界在宏观上无能量和物质的交换，(2)系统的宏观性质不随时间改变。非平衡态:

不具备两个平衡条件之一的系统。三、平衡态第八页，共七十六页，2022年，8月28日箱子假想分成两相同体积的部分，达到平衡时，两侧粒子有的穿越界线，但两侧粒子数相同。例如：粒子数3、平衡态是一种理想状态

处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞，每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间改变。2、平衡态是一种热动平衡第九页，共七十六页，2022年，8月28日2、状态方程：实验表明，对一定的系统，在平衡态下，它的状态参量满足一定的关系，这个关系叫做状态方程。例如，理想气体状态方程：（m气体质量、M摩尔质量、R普适常数）1、状态参量：

平衡态下描述宏观属性的相互独立的物理量。常用的状态参量为压强p、体积V、温度T四、状态方程第十页，共七十六页，2022年，8月28日一、热平衡温度表征物体的冷热程度A、B两体系互不影响各自达到平衡态A、B两体系达到新的平衡态，称这两个系统彼此处于热平衡态。AB绝热板初态AB导热板末态§7.2

温度的概念A、B发生热接触后，各自原先所处的热平衡被破坏。热平衡：仅由于交换能量而导致两个(或多个)系统共同达到的一种平衡态叫热平衡。第十一页，共七十六页，2022年，8月28日ABC如果系统A和

系统B同时与第三个系统C处于热平衡，则A、B之间也必定处于热平衡。——热力学第零定律处在相互热平衡状态的系统拥有某一共同的宏观物理性质——温度二、热力学第零定律系统A、B同时与系统C接触，而系统A、B相互隔绝。三、温度的宏观意义彼此处于热平衡的所有系统，必定具有相同的温度；温度是决定一个系统是否与其他系统处于热平衡的宏观性质。温度不同的两个物体，通过热接触可达到热平衡，具有相同的温度。——测量物体温度的理论依据第十二页，共七十六页，2022年，8月28日§7.3

理想气体温标温标：温度的数值表示法叫温标一、理想气体温标玻意耳定律：一定质量的气体，在一定温度下，其压强p和体积V的乘积是个常量pV=常量为表示气体的这种共性，引入理想气体的概念1、理想气体：在各种压强下都严格遵守玻意耳定律的气体，是各种实际气体在压强趋于零时的极限情况，是一种理想模型。对于一定质量的理想气体，它的pV乘积只决定于温度，由此定义了一个温标——理想气体温标。第十三页，共七十六页，2022年，8月28日2、理想气体温标：指示的温度值与该温度下一定质量的理想气体的pV乘积成正比，称为理想气体温标。注意这一定义只能给出两个温度数值的比。为了确定某一温度的数值，必须规定一个特定温度的数值。1954年国际上规定的标准温度定点为水的三相点，称为水的三相点温度，用T3表示，它的数值规定为：第十四页，共七十六页，2022年，8月28日二、温度的测量方法以p3，V3表示一定质量的理想气体在水的三相点温度下的压强和体积，以p，V表示该气体在任意温度T时的压强和体积。则T的数值由下式决定：或只要测定了某状态的压强和体积的值，就可以确定该状态相应的温度数值了。由于实际仪器中的气体并不是理想气体-----修正量低温下气体液化，温标无意义第十五页，共七十六页，2022年，8月28日实际测定温度时，总是保持一定质量的气体的体积（或压强）不变而测它的压强（或体积），这样的温度计叫定体（或定压）气体温度计。hBCOMM´定体温度计的温度测量原理：充气泡B内充气体，通过毛细管C与水银柱压强计的左臂M相连。测量时，使B与待测系统接触，上下移动压强计的右臂M´，使M中的水银面在不同的温度下始终保持与指示针尖O接触，以保持B内气体体积不变。由水银面高度差及当时的大气压测出气体压强p。待测温度值应为：第十六页，共七十六页，2022年，8月28日三、热力学温标（绝对温标）在热力学中还有一种不依赖于任何物质的特性的温标叫热力学温标（最早由开尔文引进），其指示的数值称为热力学温度，SI单位为K。生活中常用的摄氏温标与热力学温标的关系为：理想气体温标有效范围内，二者一致。t=T-273.15四、热力学第三定律：热力学零度（也称绝对零度）是不能达到的。第十七页，共七十六页，2022年，8月28日当系统处于平衡态时，各个状态参量之间的关系式。§7.4

理想气体状态方程理想气体的玻意耳定律：实验指出，一定T和p下，V与m(或n)成正比。nmol气体在标准状态下的体积应为：对各种理想气体都一样的常量，用R表示。—普适气体常数——理想气体状态方程第十八页，共七十六页，2022年，8月28日理想气体状态方程：注意各量的含义常数R、k、各种实际气体，常温常压下适用。一般满足范得瓦耳斯方程。（）第十九页，共七十六页，2022年，8月28日例：氧气瓶的压强降到106Pa即应重新充气，以免混入其他气体而需洗瓶。今有一瓶氧气，容积为32L，压强为1.3107Pa，若每天用105Pa的氧气400L，问此瓶氧气可供多少天使用？设使用时温度不变。解:根据题意，可确定研究对象为原来气体、用去气体和剩余气体，设这三部分气体的状态参量分别为使用时的温度为T设可供x天使用原有每天用量剩余第二十页，共七十六页，2022年，8月28日原有气体的摩尔数：原有每天用量剩余每天用掉的气体量：剩余气体的摩尔数：关系式：第二十一页，共七十六页，2022年，8月28日氮气分子在270C时的平均速率为476m.s-1.矛盾气体分子热运动平均速率高，但气体扩散过程进行得相当慢。克劳修斯指出：气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生改变，所走的路程非常曲折。气体分子平均速率§7.5气体分子的无规则运动为什么食堂炸油并不能马上闻到香味？第二十二页，共七十六页，2022年，8月28日在相同的t时间内，分子由A到B的位移大小比它的路程小得多扩散速率(位移量/时间)平均速率(路程/时间)分子自由程:气体分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程。分子碰撞频率:在单位时间内一个分子与其他分子碰撞的次数。第二十三页，共七十六页，2022年，8月28日大量分子的分子自由程与每秒碰撞次数服从统计分布规律。可以求出平均自由程和平均碰撞次数。一、平均自由程的定义

在一定的宏观条件下，一个气体分子在连续两次碰撞之间可能经过的各段自由路程的平均值，用表示。二、计算（导出）1、方法：（1）相对运动；（2）修正第二十四页，共七十六页，2022年，8月28日Addd球心在圆柱体内的分子△t时间内:分子A经过路程为相应圆柱体体积为系统中单位体积内的分子数为n，则包含在圆柱体内的分子数应为：运动方向上，以d为半径的圆柱体内的分子都将与分子A碰撞，称此截面积碰撞截面。2、导入：设分子有效直径为d平均相对速率为uu第二十五页，共七十六页，2022年，8月28日圆柱体内包含的分子都与分子A发生碰撞，所以圆柱体内包含的分子数必定等于在△t时间内分子A与其他分子碰撞的次数。(1)碰撞频率：一个分子在单位时间内所受到的平均碰撞次数，用表示。可以证明，分子热运动的平均相对速率平均速率之间存在下面的关系：分子的平均碰撞频率为：第二十六页，共七十六页，2022年，8月28日一秒钟内分子A经过路程为一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均次数平均自由程与分子的有效直径的平方和分子数密度成反比，而与分子的平均速率无关。当温度恒定时,平均自由程与气体压强成反比(2)平均自由程∴分子平均自由程与压强的关系为：第二十七页，共七十六页，2022年，8月28日在标准状态下，几种气体分子的平均自由程气体氢氮氧空气例：计算空气分子在标准状态下的平均自由程和碰撞频率。取分子的有效直径d=3.510-10m。已知空气的平均分子量为29。解：已知第二十八页，共七十六页，2022年，8月28日空气摩尔质量为2910-3kg/mol空气分子在标准状态下的平均速率第二十九页，共七十六页，2022年，8月28日容器壁所受气体的压力是大量气体分子对器壁碰撞的结果。可用气体动理论对压强进行定量的微观解释。一、理想气体的分子模型及其统计假设1）理想气体的分子模型（每个分子的假设）§7.6

理想气体的压强分子本身的线度分子之间的距离，以至可以忽略；（重量也可忽略不计）除碰撞的一瞬间（10-8秒）分子与分子，分子与器壁之间无相互作用；分子之间及与器壁的碰撞是完全弹性碰撞；分子运动遵守经典力学规律。结论：理想气体的模型是：自由地无规则运动的弹性小球（质点）的集合。第三十页，共七十六页，2022年，8月28日2）宏观统计假设（分子集体的统计假设）因研究的是处在平衡态的气体，各处的分子数密度应相等。分子沿各方向运动的分子数应相等；因为只要一种平均值不等则气体就不均匀，密度就不会相等。分子速度的各种平均值都相等。第三十一页，共七十六页，2022年，8月28日二、理想气体的压强公式气体的压强是大量分子对器壁的碰撞，正像雨滴不断地打在雨伞上一样。设一边长为l1，l2和l3的容器，内有N个每个质量为m的分子。XZYA2A1容器内任意一个分子的运动速度设为：它与A1面作完全弹性碰撞后，只在x方向上的速度分量改变了符号，其他速度分量保持不变。（假设器壁是光滑的）第三十二页，共七十六页，2022年，8月28日碰撞一次，i分子对器壁的冲量:i分子相继与A1面碰撞的时间间隔:单位时间内i分子对A1面的碰撞次数:单位时间内i分子对A1面的冲量:i分子对A1面的平均冲力:第三十三页，共七十六页，2022年，8月28日所有分子对A1面的平均冲力大小应为：每一瞬间壁面的每一部分都受到大量分子的撞击，在宏观上表现为一个均匀的、连续的压力。i分子对A1面的平均冲力为：系统中分子速度x分量的平方的平均值，应表示为：第三十四页，共七十六页，2022年，8月28日作用于A1面的压强应为：XZYA2A1A1面受到的平均冲力大小为：A1壁面的面积单位体积内的分子个数第三十五页，共七十六页，2022年，8月28日引入分子的平均平动动能：平衡态下，系统内分子沿各个方向的运动概率均等，分子运动速度的三个分量的平方的平均值应相等，即：压强可表示为：压强可表示为：——气体压强公式(1)宏观量与微观量的关系(2)统计意义（大量气体分子的统计平均）第三十六页，共七十六页，2022年，8月28日§7.7温度的微观意义一、温度的微观意义理想气体状态方程：气体压强公式：分子平均平动动能理想气体分子的平均平动动能只与系统的热力学温度有关，并与热力学温度成正比。第三十七页，共七十六页，2022年，8月28日2）此式说明了温度的统计意义——气体温度乃是气体分子平均平动动能的量度。——是大量分子运动的集体表现。4）此式给出了0K的经典物理意义——分子完全停止运动的状态。5）温度不仅与平均平动动能有关，且与热运动的平均转动动能和平均振动动能都有关。理想气体温度公式：说明3）温度反映的运动是分子无规则运动（热运动），温度与物体的整体运动无关（动能------内动能）1）温度是反映系统内部分子热运动状态的特征物理量。第三十八页，共七十六页，2022年，8月28日气体分子的方均根速率，常用vrms表示。单个分子的质量气体的摩尔质量二、方均根速率第三十九页，共七十六页，2022年，8月28日例1:一容器中贮有理想气体，压强为0.010mmHg高。温度为270C，问在1cm3中有多少分子，这些分子动能之总和为多少？已知：求：N=？EK=？解：第四十页，共七十六页，2022年，8月28日每个分子平均平动动能为：故N个分子总动能为：第四十一页，共七十六页，2022年，8月28日例2:（1）在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体。如果压缩气体并对它加热，使它的温度从270C升到1770C，体积减少一半，求气体压强变化多少？（2）这时气体分子的平均平动动能变化多少？解：第四十二页，共七十六页，2022年，8月28日第四十三页，共七十六页，2022年，8月28日以刚性分子（分子内原子间距离保持不变）为例一、自由度:气体分子自由度§7.8能量均分定理确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目第四十四页，共七十六页，2022年，8月28日双原子分子单原子分子平动自由度t=3平动自由度t=3转动自由度r=2三原子分子平动自由度t=3转动自由度r=3(多原子分子)第四十五页，共七十六页，2022年，8月28日二、能量均分定理即气体分子沿x,y,z三个方向运动的平均平动动能完全相等，可以认为分子的平均平动动能均匀分配在每个平动自由度上。一个分子的平均平动动能为：由分子运动的无规则性：第四十六页，共七十六页，2022年，8月28日平衡态下，不论何种运动，气体分子相应于每一个可能自由度的平均动能都是推广（可证）：能量按自由度均分定理如果气体分子有i个自由度，则分子的平均动能为：刚性双原子分子：单原子分子：刚性多原子分子：第四十七页，共七十六页，2022年，8月28日三、理想气体的内能分子间相互作用可以忽略不计分子间相互作用的势能=0理想气体的内能=所有分子的热运动动能之总和1mol理想气体的内能为一定质量理想气体的内能为每个分子的平均动能为第四十八页，共七十六页，2022年，8月28日（1）内能只是温度的函数，内能是状态量（2）刚性双原子分子：单原子分子：刚性多原子分子：几种理想气体的内能如下：第四十九页，共七十六页，2022年，8月28日例：就质量而言，空气是由76%的N2，23%的O2和1%的Ar三种气体组成，它们的分子量分别为28、32、40。空气的摩尔质量为28.910-3kg，试计算1mol空气在标准状态下的内能。解：在空气中N2质量摩尔数O2质量摩尔数第五十页，共七十六页，2022年，8月28日Ar质量摩尔数1mol空气在标准状态下的内能第五十一页，共七十六页，2022年，8月28日§7.9麦克斯韦速率分布律平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。一、速率分布函数及其意义采用统计的方法研究气体分子的速率分布情况速率分布就是指出速率在v到v+dv区间内的分子数dNv是多少，或是占总分子数N的百分比dNv/N是多少。第五十二页，共七十六页，2022年，8月28日设一定质量的系统处在平衡态，（质量为m，总分子数为N）：把速率分成若干相等区间：分析可知：速率分布函数的物理意义：速率在附近的单位速率区间内的分子数占分子总数的百分比（分子处在速率附近单位速率区间内的概率——概率密度）第五十三页，共七十六页，2022年，8月28日二、麦克斯韦速率分布律1、给出一定条件下速率分布函数f(v)的具体形式。理想气体处于平衡态且无外力场时，气体分子速率处于v~v+dv区间内的分子数占总分子数的百分比为：麦克斯韦速率分布函数为：速率分布函数：1859年麦克斯韦用经典统计理论推导得到：——只和温度有关一个分子的质量第五十四页，共七十六页，2022年，8月28日2、速率分布曲线f(v)f(vp)vvpvv+dvv1v2dNvN面积=出现在v~v+dv区间内的概率分子出现在v1~v2区间内的概率曲线下的总面积恒等于1，称为归一化条件最概然速率（2）只对平衡态理想气体成立（3）是统计规律，只对大量分子组成的系统成立第五十五页，共七十六页，2022年，8月28日1、最概然速率vp：vp可由下式求出：由此可得：当v=vp时，T↑vp↑；m(一个分子的质量)↑则vp↓。同一气体温度越高，vp越大，曲线峰位向右(高速区)扩展。三、分子速率的三个统计值——与分布函数f(v)的极大值相对应的速率第五十六页，共七十六页，2022年，8月28日麦克斯韦速率分布函数2、平均速率——大量分子速率的统计平均值第五十七页，共七十六页，2022年，8月28日3、方均根速率vrms将麦克斯韦速率分布函数代入可得：说明（1）最概然速率用于讨论速率分布平均速率用于讨论分子碰撞次数方均根速率用于讨论和计算分子的平均平动动能——大量分子速率的平方平均值的平方根第五十八页，共七十六页，2022年，8月28日都与成正比，与成反比f(v)v(2)(3)第五十九页，共七十六页，2022年，8月28日1、温度与分子速率温度越高，分布曲线中的最概然速率vp增大，但归一化条件要求曲线下总面积不变，因此分布曲线宽度增大，高度降低。四、麦克斯韦分布曲线的性质f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)T1T3T2第六十页，共七十六页，2022年，8月28日2、质量与分子速率分子质量越大，分布曲线中的最概然速率vp越小，但归一化条件要求曲线下总面积不变，因此分布曲线宽度减小，高度升高。f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)Mmol1Mmol2Mmol3第六十一页，共七十六页，2022年，8月28日例、设想有N个气体分子，其速率分布函数为试求:(1)常数A；(2)最概然速率，平均速率和方均根速率；(3)速率介于0~v0/3之间的分子数；(4)速率介于0~v0/3之间的气体分子的平均速率。解：(1)气体分子的分布曲线如图由归一化条件第六十二页，共七十六页，2022年，8月28日(2)最概然速率由决定，即平均速率方均速率方均根速率为第六十三页，共七十六页，2022年，8月28日(3)速率介于0~v0/3之间的分子数(4)速率介于0~v0/3之间的气体分子平均速率为第六十四页，共七十六页，2022年，8月28日讨论速率介于v1~v2之间的气体分子的平均速率的计算对于v的某个函数g(v)，一般地，其平均值可以表示为第六十五页，共七十六页，2022年，8月28日例：讨论以下各式的物理意义例：若

的物理意义？f(v)vAB第六十六页，共七十六页，2022年，8月28日1、麦克斯韦速度分布律五、玻耳兹曼分布律内的分子数占总分子数的百分比为：速度是矢量，在平衡态下分子的速度分量限制在第六十七页，共七十六页，2022年，8月28日速度空间单位体积元内的分子数占总分子数的比率，即速度概率密度（气体分子速度分布函数）麦克斯韦速度分布函数2、玻尔兹曼分布律将麦克斯韦分布律公式推广到各种运动自由度的情形，一般的分布函数应为：分子的平动动能总能量，含平动动能、转动动能、振动动能、势能等。——玻耳兹曼分布律第六十八页，共七十六页，2022年，8月28日§7.10麦克斯韦速率分布律的实验验证（装置置于真空之中）淀积屏P速率筛S’W’W狭缝屏分子源一、实验装置选用钾或铊蒸气第六十九页，共七十六页，2022年，8月28日原理：速率筛每旋转一周，分子通过W’，到达屏上，但不是所有速率的分子都能通过分子筛的。只有满足关系：的分子才能通过即只有速率为：的分子才能通过。改变等可让不同速率的分子通过P分子源（装置置于真空之中）S’W’WW’W狭缝屏淀积屏速率筛演示二、实验原理第七十页，共七十六页，2022年，8月28日即只有速率为：的分子才能通过。但W、W´总有一定的宽度，因此当一定时，能到达屏上的分子的速率有一速