线性方程组解的结构续

线性方程组解的结构续1第一页，共三十七页，2022年，8月28日§4.1线性方程组解的存在性定理在前面的章节学习中，我们已经研究的关于线性方程组的求解问题，本章将在整理前面知识点的同时，深入研究解的性质和解的结构。2第二页，共三十七页，2022年，8月28日(4-1)(矩阵形式)(向量形式)(原始形式)3第三页，共三十七页，2022年，8月28日非齐次方程组解的存在性定理定理4.1.1对于非齐次方程组(4-1)向量可由A的列向量组线性表示。4第四页，共三十七页，2022年，8月28日定理4.1.2设的线性方程组的系数行列式Cramer法则则方程组有唯一解,且解为:(4-2)5第五页，共三十七页，2022年，8月28日齐次方程组解的存在性定理(4-3)(矩阵形式)(向量形式)(原始形式)6第六页，共三十七页，2022年，8月28日定理4.1.3对于齐次方程组(1)A的列向量组线性无关(2)A的列向量组线性相关推论1当方程的个数m小于未知量的个数n，则(4-3)必有非零解。7第七页，共三十七页，2022年，8月28日定理4.1.4设的线性方程组有非零解(4-4)学习书P.135例28第八页，共三十七页，2022年，8月28日第四章线性方程组的解的结构§4.4线性方程组在几何中的应用§4.3非齐次线性方程组解的结构§4.2齐次线性方程组解的结构§4.1线性方程组解的存在性定理9第九页，共三十七页，2022年，8月28日§4.2齐次线性方程组解的结构(2)解集的秩是多少?(3)解集的最大无关组(又称为基础解系)如何求?齐次方程组(假设有无穷多解)(1)解集的特点?称：10第十页，共三十七页，2022年，8月28日性质1：若是(4-3)的解，解空间:的所有解向量的集合S，对加法和数乘都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次线性方程组的解空间。性质2：注：如果(4-3)只有零解，解空间是零空间。如果(4-3)有非零解，解空间是非零空间。性质推论1而在解空间中，基的概念我们在这里称为基础解系。首先回答问题(1)11第十一页，共三十七页，2022年，8月28日设是的解，满足线性无关；的任一解都可以由线性是的一个基础解系。基础解系表示,则称下面我们用一个例子回答第(2)和第(3)个问题，同时也是定理4.2.1的例证。(取任意实数)从而也是(4-3)的解。12第十二页，共三十七页，2022年，8月28日设是矩阵，如果则齐次线性方程组的基础解系存在，且每个基础解系中含有个解向量。定理4.2.1推论2设是矩阵，如果则齐次线性方程组的任意个线性无关的解向量均可构成基础解系。13第十三页，共三十七页，2022年，8月28日齐次线性方程组基础解系的证明（基础解系求法）（1）对系数矩阵A进行初等变换，将其化为最简形14第十四页，共三十七页，2022年，8月28日由于分别令（2）得出，同时也可知方程组含有个自由未知量：15第十五页，共三十七页，2022年，8月28日于是得16第十六页，共三十七页，2022年，8月28日下证是方程组的基础解系由上式可以看出，就是n-r个n-r维单位坐标向量，它们是线性无关的也是线性无关的后n-r个分量，因而添加了r个分量的向量组17第十七页，共三十七页，2022年，8月28日最后n-r个分量即自由未知量相同，从而两个解完全一样．18第十八页，共三十七页，2022年，8月28日例1．解线性方程组。x12x1x12x2x2x22x32x34x3x42x43x4000===++-+--+--解：

2

1-2-2

1-1-4-3

1

2

2

1A=

0

1

2

4/3

0

0

0

0

1

0-2-5/3，对应方程

(x3，x4为自由未知量)，x1x22x32x3(5/3)x4(4/3)x4==-+-令得基础解系通解为x1x2x3x42-2105/3-4/301+c2=c1，(c1，c2是任意常数)。19第十九页，共三十七页，2022年，8月28日例2设,是的两个不同的解向量,k取任意实数,则Ax=0的通解是20第二十页，共三十七页，2022年，8月28日设,证明证记则由说明都是的解因此移项重要结论推论321第二十一页，共三十七页，2022年，8月28日且线性无关，则_______是AX=O的基础解系。(2),(3)则_______可为AX=O的基础解系。(4)练习(1)(2)22第二十二页，共三十七页，2022年，8月28日例3证明设,首先证明利用这一结论证重要结论23第二十三页，共三十七页，2022年，8月28日例4求一个齐次方程组,使它的基础解系为记之为AB=O,这相当于要解矩阵方程,习惯把未知的A放在右边,转置,只需解然后再把这些解拼成的列(A的行)即可.

解得基础解系设所求的齐次方程组为,则取即可.解24第二十四页，共三十七页，2022年，8月28日第四章线性方程组的解的结构§4.4线性方程组在几何中的应用§4.3非齐次线性方程组解的结构§4.2齐次线性方程组解的结构§4.1线性方程组解的存在性定理第二十五页，共三十七页，2022年，8月28日§4.3非齐次线性方程组解的结构以下总假设有解,而其对应的齐次方程组的基础解系为这里26第二十六页，共三十七页，2022年，8月28日性质(1)设都是(1)的解,则是(2)的解.(2)设是(1)的解,是(2)的解,则仍是(1)的解.设是(1)的一个解(固定),则对(1)的任一解x是(2)的解,从而存在使得又形如(3)的向量(任取)都是(1)的解.由此得:(3)注：非齐次方程组的解集不是空间。27第二十七页，共三十七页，2022年，8月28日定理4.3.1设是(1)的任一解,则(1)的通解为例5解28第二十八页，共三十七页，2022年，8月28日在对应的齐次方程中取得齐次方程组的基础解系于是所有通解即得方程组的一个解29第二十九页，共三十七页，2022年，8月28日设是非齐次方程组Ax=b的解,则是Ax=0的解是Ax=b的解例6※※30第三十页，共三十七页，2022年，8月28日例7设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知是它的三个解向量,且求该方程组的通解.解取,则它就是解,从而也是基础解系.基础解系所含向量个数=4–3=1故非齐次方程组的通解为31第三十一页，共三十七页，2022年，8月28日问答练习：xo其中____总是它的解。

(1)线性方程组Axo总是有解的，

(2)若v1，v2都是齐次线性方程组Axo的解，问x

k1v1+k2v2也是它的解吗？

(3)如果v1，v2，

，vs

是齐次线性方程组Axo的一组线性无关解，这组解是基础解系吗？

(4)设v1，v2，，vs是齐次线性方程组Axo的一个基础解系，c1，c2，，cs是任意常数，问x

c1v1

c2v2

csvs代表什么？

(5)如果n元齐次线性方程组Axo的一般解中有r个自由末知量，问基础解系中含有多少个解向量？32第三十二页，共三十七页，2022年，8月28日

(1)线性方程组Axo称为线性方程组Axb的________。问答练习：导出组

(2)线性方程组Axb的特解是它的一个确定的解

(3)线性方程组Axb的不含任意常数的解是特解吗？

(4)如果线性方程组Axb的特解为u，Axo的基础解系为v1，v2，，vnr

，问如何构造Axb的全部解？（Axb的全部解为x

u+c1v1

c2v2

cn1vnr。）（5）问：非齐次线性方程组的两个解的和还是非齐次线性方程组的解吗？33第三十三页，共三十七页，2022年，8月28日1．设Ａ为n阶方阵，若齐次线性方程组AX=0有非零解，则它的系数行列式（）．2．设Ａ和B分别表示线性方程组ＡＸ＝β的系数矩阵和增广矩阵，则方程组有解的充要条件是（）．3．设Ｘ１是ＡＸ＝β的解，Ｘ２是其对应齐次方程ＡＸ＝０的解，则Ｘ１－Ｘ２是（）的解．一、填空题34第三十四页，共三十七页，2022年，8月28日1、n元齐次线性方程组ＡＸ＝０存在非零解的充要条件是（）①Ａ的列线性无关；②Ａ的行线性无关；③Ａ的列线性相关；④Ａ的行线性相关．2．设ζ１，ζ２是ＡＸ＝０的解，ξ１，ξ２是ＡＸ＝b的解，则（）①２ζ１＋ξ1是ＡＸ＝０的解②ξ１＋ξ２为ＡＸ＝b的解③ζ１＋ζ２是ＡＸ＝０的解④ζ１—ζ２是ＡＸ＝b的解二、单选题的一组基础解系由（）个解向量组成。

①２②１