第09讲 高考难点突破一：圆锥曲线的综合问题（定点问题） 精讲（解析版）-2023年高考数学一轮复习

第09讲高考难点突破一：圆锥曲线

的综合问题（定点问题）（精讲）

目录

第一部分：典型例题剖析

题型一：椭圆中的定点问题

角度1：椭圆中的直线过定点问题

角度2：椭圆中存在定点满足某条件问题

题型二：双曲线中的定点问题

角度1：双曲线中的直线过定点问题

角度2：双曲线存在定点满足某条件问题

题型三：抛物线中的定点问题

角度1：抛物线中的直线过定点问题

角度2：抛物线存在定点满足某条件问题

第二部分：高考真题感悟

第一部分：典型例题剖析

题型一：椭圆中的定点问题

角度1：椭圆中的直线过定点问题

典型例题

22

例题1.（2。22•江西上饶•高二期末（文）汨知椭圆》＞叱…）的一个顶点为。（。/），

离心率为孝.

（1）求椭圆的方程：

（2）过椭圆右焦点且斜率为的直线，”与椭圆相交于两点A8,下轴交于点E,线段

A3的中点为P,直线/过点E且垂直于。P(其中。为原点)，证明直线/过定点.

【答案】(l)《+y2=l(2)证明见解析

4

(1)依题意，3=6,3"=4c2又匕=1,=〃+c2,.-.c2=3,.'.a2=4：.椭圆的标准方程为

a2

X2,

­=1.

(2)由(1)知行焦点坐标为(6,0),设直线"?方程为尸女1-石)，4(百，弘)，8(马，％)由

《+2-1r2

4+

'一得，(1+4%2卜2-87^2》+12*-4=0,.-x+x

y=k(x_E)I-1+小

与二^7,力一百)=一芭4直线OP的斜率%=%=-[,.•.直线/的斜率

1+4/Xp4k

k产4k,令x=0得点、E坐标为(0,-G&)，，直线/的方程为y=4点一上%,即y=%(4x-，

直线为亘过定点

-><>

例题2.(2。22•北京市十一学校高二期末)已知椭圆C：%*(。>。>。)右焦点为

尸(c,0),8(0,b)为椭圆的上顶点，。为坐标原点，/处。=?且△F80的周长为3+8)

O

是椭圆上一动点，M是直线工=4上一点，且直线PM〃x轴.

⑴求椭圆。的方程：

(2)记直线PF与椭圆另一交点为Q,直线QM是否过x轴上一定点？若是，求出该定点：若

否，请说明理由.

【答案】⑴《+$=1；(2)过定点N仔,01.

43U)

⑴解：因为椭圆的右焦点为*G0),8(0⑼为椭圆的上顶点，且/即。=9

6

所以tanZ.FBO=—=,即。=6c,

b3

又a=\Jb2+c2=2r»Z?+c+a=3+,s/3,

解得c=l,a=2,6=6,

22

所以椭圆方程为三+2=1;

43

⑵尸(1,0),易知直线PQ斜率为0时,，QM为x轴，

则若。M过定点，则定点位于x轴上，

当直线尸。斜率不为0时,设PQ：x=〃9+l,

x=my+\

—.—，得(3病+4)/+6阳一9=0,

)T+T=1

设尸(％,y)，Q(々，％)，M(4,y),

Mll6m9

则y+%=-%=-q2;，

+43〃i+4

所以直线QM的方程为y-y=手匹(苫-4),

4一/

令"0,得x=4-止®=4-正”0,

乂一必/一为

因为叫•必=-嬴==5匹+%)，

所以x=4_：=g，

22

故直线QM过定点N(|,o]

例题3.(2022•安徽•合肥工业大学附属中学高二期末)已知椭圆C:]+/=l(“>6>0)的

离心率为正，一个焦点6与抛物线y2=_4夜x的焦点重合.

2

⑴求椭圆C的方程；

⑵若直线/：尸船+〃?交C于48两点，直线KA与关于A轴对称，证明：直线/恒过一

定点.

22

【答案】⑴三+二=1：(2)详见解析.

42

⑴由丁=-4&x,可得耳卜及,0),

•••c=JL又离心率为巫，

2

；・。=2,Z?2=2,

V22

...椭圆C的方程为二+二v-=1.

42

⑵设A(X1,yJ,8(孙％)，

y=kx-\-m

由<fy2IJJ*得（2公+1）/+4mkx+2nr-4=0,

—+—=

42

A=（4时-4（2^+l）（2/n2-4）>0,可得病<2+4/,

4mk2m2-4

由直线与68关于x轴对称，

%+褊=。，即：'逮+—777=°.

1

'x,+V2x2+\/2

/.y（w+后）+%（%+6）=（kx、+机）（%2+&）+（丘2+"?）（玉+及）=0,

即2kxyX?+（夜R+M（x+9）+26相=0,

2kx2w~~4+（0&+--]+20m=0,

2公+1I2k2+\）

可得％=2&h

所以直线/方程为y=k（x+2夜），恒过定点（-2V2,0）.

同类题型归类练

22

1.（2022.全国•高三专题练习）椭圆亍+,=1,过点尸（1,0）的直线AB和CQ相互垂直（斜

率存在），M、N分别是AB和C。的中点.求证：直线MN过定点.

【答案】证明见解析

由题意可知,设AB直线为y=«（x-l）,M（X|，x）,4（%2，%）,5（&,%）,则

因为M分别是48的中点，所以玉=七玉,,=匹/，

k

KOM—一—；，K~

xlx2+x3x2-x3

因为AB在椭圆£+21=1上，

43

所以，4一,由①-②，得互二五+之上2；=0,即

MV?…43

22

X2-X,4『1号+毛x2-x34,

所以'kAH=-'=&,"=-'，

4x}4

4k之

”=_3X.=-------7

3+4匕,时4无2-3k

■玉4,解得，

-3k3+4/'3+4公

y=k&-l)y'-3+4&2

（1）当&=0时，M点即是尸点，此时，直线A/N为x轴.

1（43〃、

（2）当时，将上式M点坐标中的左换成-不，同理可得N.

k13《+43/+4J

3k-3k

①当直线MN不垂直于x轴时，直线MN的斜率k=3£+43：昔，=了,

MN44k4（1"）

3H一"正

其方程尸-由3k二7k^^（上4k由21.化简得Ik（4^1

直线MN过定点（5，°）.

②当直线MN垂直于x轴时，;=4匕此时，4=±1,直线MN也过定点信,01.

3k:+43+4%2<7）

综上所述，直线A/N过定点（*（））.

2.（2022・全国•高三专题练习）已知椭圆亍+3=1，点尸（4,0）,过点P作椭圆的割线PAB,

C为8关于x轴的对称点.求证：直线AC恒过定点.

设A（5，X）,3仇,必），则C（x?,-%）,

设AC与x轴的交点为M(租,0),AP=APB.AM=pMC'

x+/JX

4_%+m=t2

1+41+M

由定比分点公式坐标公式得:

0J+年()=%一"

1+21+〃

即玉+/1々=4(1+4)①，%+2%=°②，百+4/=〃?(1+4)③，乂_〃%=0④，

由②④得2=-，(§)

43

•.•点A、8在椭圆上，得，2■ji2

4X2+4%_22

43,

两式相减得…小一

将①②代入上式得xt-Ax2=\-A®

x：+W

43将③④代入上式同理可得为+〃X,=空±0⑦

•.•点A、C在椭圆上,

2)22m

-------------1---------------U,

43

对比⑤⑥⑦得机=1,故直线AC恒过定点（1,0）.

3.（2022・陕西・千阳县中学高三阶段练习（文））椭圆”：［+耳=1（4>6>0）的左顶点为

ab"

A（-2,0）,离心率为1.

2

⑴求椭圆M的方程；

⑵己知经过点（0,#）斜率存在的直线/交椭圆M于aC两点，。是直线x=T上一点.若

AD=BC，求直线/的方程.

［答案］⑴：+/=1⑵"w或y=*x+坐或y=-坐x+9

422222

a=2,

（1）解：由题意得山=£=g

解得从=1.

a2

b2=a2-c2

所以椭圆”的方程为!+丁=「

⑵解:设/:y="+亭,

由,y_/得（1+4&2）7+4限”1=0

X2+4;/=4

△=（4园『+40+4攵2）=4065+1）>0.

=-

设B（x，y）,。（毛,%）'则芭+x2=_---77V,

1+4《1+4K

所以归一对=Ja+vf-4不巧=•

由而=而，知禺-3|=|为-引，即2,4（16炉+1）,

\+4k2

解得炉=o或4，所以％=。或％=±正.

22

所以，直线/的方程为尸无或尸也x+走或产一立x+且.

22222

4.（2022.陕西汉中•高二期末（文））在平面直角坐标系九0），中，已知点A（<0）,5（4,0）,

3

M是一个动点，且直线AM,8M的斜率之积是-二，记M的轨迹为区

（1）求E的方程；

（2）若过点尸（2,0）且不与x轴重合的直线/与E交于P,。两点，点P关于x轴的对称点为勺

（片与。不重合），直线6Q与x轴交于点G,求点G的坐标.

【答案】⑴3《=1（"0）⑵（8,0）

lo12

（1）设〃（x,y）,则直线AM的斜率为旨，直线BM的斜率为士，

•••工7,17=-［，整理得］+4=1（"。），

x+4x—441612

故E的方程为33=1（y*°）,

⑵由题意知，过点”的直线尸。的斜率存在且不为0,可设其方程为无="+2,

设尸（%,%），。（%,%）,则耳（％f）,

22

将x=my+2代入土+工=1,得（3，"2+4））*+\2my-3f>=0.

1612'

则△=（12〃Z）2+4X36（3加2+4）>0,

\2m36

M+>2=一.2H，必必==2：-

3m+4zl3m+4

y+y,x-x,

则直线PQ方程为七'=一L,

tx+y超一占

22

乂(*2-斗)工丫_加)'"当一>0

+my+2=叼跖一/%+阳跖+冲I+2

令"0,则工=■十%二]

%+x%+x

、2+y

c-36

c2mx——-------

=网逅+2=一含3+2=8,

%+%12w

3疗+4

・••点G的坐标为（8,0）.

角度2：椭圆中存在定点满足某条件问题

典型例题

29

例题1.(2023•全国•高三专题练习)已知椭圆C:£+£=l(a>b>0)的两焦点分别为

片(—1,0)和6(1,0),短轴的一个端点为(0,6).

(1)求椭圆C的标准方程和离心率；

(2)椭圆。上是否存在一点P,使得PaLPF??若存在，求耳心的面积；若不存在，请

说明理由.

22

【答案】⑴土+l=1;⑵不存在，理由见解析.

43

⑴由焦点坐标知c=l,由短轴端点(0,6)知b=G，所以/=6+°2=3+1=4,故所求

22

椭圆标准方程为上r+二v=1.

43

(2)假设椭圆C卜一存在一点尸(%,%),使得？耳，尸鸟，则

[X：+y=1

所方=(T-%-%).(1-0)=0,即片+笳=1,联立¥_+£_]，得x；=-8,此

方程无解.故椭圆上不存在点P,使得尸石，P8.

(2022•北京市十一学校高二期末)已知椭圆C：4+y2

例题2.Ca>h>0)的右顶点

a

为A(2,0),且为其上一点.

(1)求椭圆C的方程及离心率；

(2)8是椭圆。上异于左右顶点的一点，线段A8的中垂线交丁轴于点。，且为等边

三角形，求8点横坐标.

【答案】⑴匕+y2=l，e=；(2)5点横坐标-'!•.

427

（1）由题设，?+'=1,又乎）在椭圆上，则:+磊=1，可得〃=1,

2

所以椭圆C的方程二+>2=1,故离心率为e=，/一"=3.

4-a2

⑵令3（见〃）且〃二0,则AB中点为（竺上2,/）,中垂线斜率％=-g，

22n

......r„nm-2,"7+2、nr+n2-4

故线r段nAB的中垂/IX线为7=------（x-----）,故。（0,---------）,

2n22n

又△AB£>为等边三角形,即|AO|=|A8|,

22A2

所匕匚以l、l（/-〃-~-+--加-~-—--4）c—+4A=（/m-2c\）2~+/T）,I口I.n-2=1i--机--,

2n4

210

整理得21”?2-64机-20=（7〃?+2）（3，*-10）=0,而相=一亍或机=§（舍），

所以1=竺，即〃=±逑，

497

当8（。竽）时，。（。，-羊），经验证为等边三角形，满足题设；

当次-1一华）时，D（0,雪）,经验证△M£>为等边三角形，满足题设；

2

所以3横坐标为-

22

例题3.（2022•河南许昌•高二期末（文））已知双曲线。：5-5=1（“〉0/>0）的离心率

cTb

为逐，右焦点E与点”（0,26）的连线与其一条渐近线平行.

（1）求双曲线C的方程；

（2）经过点尸的直线/与双曲线C的右支交于点A、B,试问是否存在一定点P,使

NOPA=NO朋恒成立，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴f一号=1（2）存在，P（冬0）

（1）设尸（c,0）,由条件知网0的斜率等于

a

即一2加二上,又・.・e=£=逐，c2=<72+b2,

caa

■.Z?—2»—1,

・・•双曲线C的方程为：x2-^=l.

4

⑵存在点P满足NOPA=NOPB恒成立，且点P在工轴上.

理由如下:设点尸(7,0),,・•/过点?(6,0),设直线/:x=ay+石，

x=my+小

由(y2，消去不得(4根2-1)/+8石畋+16=0,A=64(〃/+l)>0,

x---=1

4

设4万,凹),B(x29y2)

由韦达定理得%+力=-2空，①，另•必=若:②

4机-14加—1

・・・ZOPA=ZOPB,B4、PB的斜率之和为0,

即+；j广0,因为％=刃［+百，%2=my2+\/5,

所以代入整理得：2阳/%+(石—)(X+%)=°，③

将①②代入③可得3^_8鬲(卢-/)=o,即8,”(6_1)=0,④

4/7I2-14/n2-l

・••④式对任意实数加都成立，.•1=4，

P吟,0),即存在点P满足NOPA=NOPB恒成立，且点尸在x轴上.

同类题型归类练

22

1.(2023•全国•高三专题练习)已知椭圆C：=+3=l(a>b>0)的左右顶点分别为A(-2,0),

ab

3

4(2,0),右焦点为F,点7(1,5)在椭圆上.

(1)求楠圆C的标准方程；

(2)户为椭圆上不与A，4重合的任意一点，直线AP，4P分别与直线X=4相交于点M,N,求

证：FM1FN.

22

【答案】⑴三+匕=1(2)证明见解析

43

(1)由题知：。=2,将点7(1,彳3)代入方程得：:1+舒9=1'解得从=3,•••椭圆C的标准

方程为《+鹏=1.

43

22

(2)由⑴知c=1,F(I,O).设尸(%,%)，则二+%_=1,直线AP的方程为y-%=三口-%),

43%+2

令x=4,则加=鼻，即M(4,&、)，直线4尸的方程为丫一为二尺^》-%),令x=4,

%+2x0+2/一2

贝UW=-^4,即N(4,FMFN=(3,-^L).(3,^-)=3x3+x

七一2x0-2%)+2%—2x()4-2x()-2

=9।12.y；q:2x3(1-3I。0:.两工而，即尸M_LFM

V-4题2-4

22

2.（2023・全国•高三专题练习）已知椭圆£:夕+斗=1（a>〃>（））的左右顶点是双曲线

C2:[-y2=1的顶点，且椭圆G的上顶点到双曲线C?的渐近线距离为邛5.

⑴求椭圆q的方程;

（2）点F为椭圆的左焦点，不垂直于x轴且不过F点的直线/与曲线G相交于A、B两点，若

直线必、FB的斜率之和为0,则动直线/是否一定经过一定点？若存在这样的定点，则求

出该定点的坐标：若不存在这样的定点，请说明理由.

22

【答案】⑴2+2=1;⑵存在，（-4,0）.

43

⑴双曲线。2：亍-y=i的顶点坐标为（？20）,渐近线方程为x±2y=0,

\2b\2x/15…,r-

依题意，a=2,椭圆上顶点为（0力）到直线尤±2y=0的距离=解得，=g,

V55

o2

所以椭圆的方程为三+汇=1.

43

⑵依题意，设直线/的方程为尸船+机，A（%,yJ、8（々,必），点尸（T°），

fy2

由斤+石印消去），并整理得（3+4/*+8初ir+4>-12=0,则西+马=不瞿,

y=kx+m

4m2-12

x-x=

i23+442

y+y_Ax,+m+tn_lkxx+(Z:+m)(x+x)+2m

直线FA.FB的斜率之和为}2K2X2=°,

X]+1x2+1Xj+1x2+1(Xj+l)(X2+l)

即2脑%2+(%+加)(玉+&)+2机=0,有2k•T,2+小+MC+2〃?=0,整理得m=4k,

3+4k3+4k

此时△=64%2〃?2-16(4公+3)(疗-3)=48(4%2+3-/)=144(1一4/)，否则0=0,直

线/过F点,

因此当A>0且％W0,即且&H0时，直线/与椭圆C1交于两点，直线/：

y=k(x+4),

所以符合条件的动直线/过定点（-4,0）.

3.(2022•上海中学东校高二期末)已知椭圆的C的方程：^+4=1.

63

(1)设尸为椭圆c异于椭圆左右顶点A、人上任一点，直线PA的斜率为公，直线P4的斜率

为自，试证明为定值.

(2)求椭圆中所有斜率为1的平行弦的中点轨迹方程.

(3)设椭圆上一点A(2,l),且点M,N在C上，且AMJ.4V,。为垂足.证明：存

在定点Q,使得I狈I为定值.

【答案】(1)-；(2)*+2丫=0(-2342)(3)存在点2仁4),使得00为定值.

⑴设尸小,为)，4卜布,0),4(指,0),因为尸为椭圆C上一点，

所以盘+如1=1,所以姬=3一日，

632

所以K=―=一显宏,

x0+<6x0—v6

,3_V

所以/q也=%%=%=__2_=_1.

122

'x0+^6x0->/6x()-6x0-62

故KK为定值

(2)设弦的两个端点分别为尸(％,y),。(々,y2),PQ的中点为M(x,y).

则支■+支=1,①

63

1,②

2097

①减②得:为一々+乂一＞2一=0,

63

N+巧

(乂+%)=0.

63(%-%)

又玉+/=2x,%+丫2=2y,%X=1,；.x+2y=0.

Xy-/

由于弦中点轨迹在已知椭圆内，

---+----=I

联立63.-.x=±2

x+2y=0

故斜率为2的平行弦中点的轨迹方程：x+2>-=0(-2<x<2)

(3)设点M&,y),N(j%),

若直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为：y=h+，”，

代入椭圆方程消去了并整理得：（1+2欠2卜2+4加a+2病-6=0,

2m2-6

可得西+刍=一4km

1+2*2-1+2公

因为4WJL4V,所以丽7.丽=0，即（玉-2）（七-2）+（乂-1）（%-1）=0,

根据％=3+肛％=依2+加，代入整理可得：

（公+1）中2+^km-k-2）^x]+X2）+（/7?-1）'+4=0,

所以（4+1）芸[+（版-"2）（一

1।乙K1\II乙K）

整理化简得（2%+3加+1）（2%+帆—1）=0,

因为A（2,l）不在直线MN上，所以2Z+机-IHO,

故24+3m+l=0,k*l,于是MN的方程为y=（kwl）,

所以直线过定点直线过定点

当直线MN的斜率不存在时，可得N（x，-yJ,

由丽丽=0得：（玉-2）（x,-2）+（y,-l）（-y,-1）=0,

得（占一2）?+l—y：=0,结合E+]=i可得：3x；-8X1+4=0,

解得：x产,或方=2（舍）.

3L

此时直线MN过点「信，-g].

令。为4P的中点，即。

若。与P不重合，则由题设知AP是R^AOP的斜边，故QQ|=JAP上平，

若D与尸母合，则|OQ|=g|AP|,故存在点°偿,使得|区为定值.

22

4.（2022・上海•格致中学高二期末）已知椭圆C:]+/=l,过定点了（/,0）的直线交椭圆

于RQ两点，其中fw（O,a）.

(1)若椭圆短轴长为2G且经过点求椭圆方程；

(2)对(1)中的椭圆，若t=6，求△OPQ面积的最大值，并求此时直线PQ的方程;

(3)若直线PQ与x轴不垂直，问：在x轴上是否存在点S(s,0)使得NPST=NQST恒成立？如

果存在，求出sj的关系；如果不存在，说明理由.

22

【答案】(1)三+汇=1

43

(2)4OP。面积的最大值为G，PQ心+近y-3=0或瓜-。-3=。

(3)存在，st=a2

⑴，.•椭圆短轴长为2石，2匕=，解得：〃=G;二.椭圆方程为、■+~^-=1；

a23

+hV-22

•••点1’1在椭圆匕41r3解得:4=4,椭圆方程为上+2v_=1.

443

(2)由题意可设直线尸(2：工=冲+百，「(演,乂)，。(9,必)，

?2

三+二=1

由，43得：（3“+4）/+66阳-3=0,A=108m2+12（3/n2+4）＞0,

x=my+G

66m_3

Vi4~y=----：---,%%=-T7，

717273疗+43加3+4

,即

3

・•.△OPQ面积的最大值为G，此时直线PQ的方程为：、屈+夜y-3=0或6x-夜y-3=0.

(3)，.,直线PQ与x轴不垂直，可设直线PQ:x=/«y+r(加工0),P(%,yj,。(々,必)，

，22

*।)_1

由H一得：(从裙+。2)>2+26疗〉+/?2/一〃282=0

x=my+t

2

222222

「・A=4ab(从加2+〃272)〉0,则%+%=_2mtbbt-ab

从M+〃2')"ijrnr+a2

NPST=NQST,•・・左外+%3=0,即^^+-^=0,

•■•y(W-s)+%(%-s)=。,即y(阳2+f)+%(〃明+f)-s(x+%)=。,

，2M)L%+&-s)(必+%)=0，贝iJ2m-:]_(_$)产"，=,

b^m+a-zb~m~+a~0

:.2mb2[r2-a2-r(r-5)]=0,

,.,m^O,■'-V—a2—?(r-5)=0,则st：/,

\x轴上存在点S(s,O)使得N尸S7=NQS7恒成立，此时“=/

题型二：双曲线中的定点问题

角度1：双曲线中的直线过定点问题

典型例题

22

例题1.(2022•江苏唐二期末)已知双曲线(?:[-}=1(4〉0,6>0)的离心率为近，两

条准线间的距离为2夜.

(1)求C的标准方程；

(2)斜率为％的直线/过点(1,0),且直线/与。的两支分别交于点A,B,

①求攵的取值范围；

②若。是点8关于x轴的对称点，证明：直线AO过定点.

【答案】(1)兰—片=1；(2)①②证明见解析.

44

「，=也

a=2

(1)由已知得，:可得,

c=2y/2

2・幺=2后

C

2o

又双曲线中"=/—"2=4,所以C的标准方程为：--^=1.

44

⑵设直线/：y=Mx-l),A(%，x),8(%,%)，

y=k(x-\)

2222

由，42y2消去y可得，(l-k)x+2kx-k-4^0.

-------M1

44

则占+人=吩与,多”士=,4=4/+4(1-/2)伏2+4)=4(4-3用,

1—k1—k

①因为直线与双曲线交于两支，所以A〉。且王々<0,,解得:

一1<%<1；

②设AC:y=•"+)2(x-xj+y,令y=0,二'Xf)+9+、•也

占-々X+%y,+y2

2X,X-(X.+X)2(—公一4)+242

=(；2+"一22=鼠一2(L)=4,即直线9过定点EM.

例题2.(2022•安徽•高二期末)设直线％=胴(相>0)与双曲线C：/一£=根的两条

3

渐近线分别交于A,B两点,且AOAB(。为坐标原点)的面积为G.

(1)求加的值；

⑵与坐标轴不垂直的直线/与C交于M,N两点，点M关于x轴的对称点为AT,F为C

的右焦点，若AT,F,N三点共线，证明：直线/经过x轴上的一个定点.

【答案】(1)"?=1(2)证明见解析

(I)双曲线C：x2-^-=m(，〃>0)的渐近线方程为y=±百x,

不妨设点A在x轴上方，贝ijA,3两点的坐标分别为(m,45m)和("?，-gm),

所以S^OAB=gmx2#11n=>/3,

解得m=l.

2

⑵由(1)知C：丁―X=l,则尸的坐标为(2,0),

3

设/与X轴交于点(P，0),则，的方程为y=-x—p)(k^O),

设M(XI,y),N(X?,y?).则M'(X|,-X).

y=k(x-p),

2

联立4,v,得(3-/)/+292》一伏2P2+3)=。,

卜丁I

由题可知3-廿二0,所以%+々=与仁,王々=驾士.

k—3k—3

因为M',F,N三点共线，所以右/=占

即/,即一凶（巧-2）=丫2（%一2）,

Xj-2x2-2

所以-&（X|-p）（x2-2）=k（x2-p）（XI-2）.

因为以0,所以（芭-p）（x2-2）+（x2-/?）（%-2）=0,

所以2%*2_（0+2）（为+x2）+4p=0,

所以2•&F+34眩+0,

k2-3k2-3

所以2公p+6-2/公-4Pz2+4"-12〃=0

解得P=；，

所以直线/经过无轴上的定点（；,0）.

例题3.（2022•广东深圳•高二期末）已知圆/：卜+26『+/=争的圆心为加，圆M

（x-2G）-+y2=j的圆心为N,一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹

为曲线C.

⑴求曲线。的方程；

⑵已知点尸（6,3）,直线/与曲线。交于A,B两点,且苏.丽=0,直线/是否过定点？若

过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

【答案】（1）［一］=1，xN3；⑵过，（12,-6）.

（1）设圆E的圆心为E（x,y）,半径为r,

贝1」但闾=『+三，|£Af|=r-1,所以1fMi-但2=6<|A»V］.

由双曲线定义可知，E的轨迹是以M,N为焦点、实轴长为6的双曲线的右支，

22

所以动圆的圆心E的轨迹方程为工-汇=1,x>3；

93

⑵设B（x2,y2）,直线，的方程为x=叼+f.

由■豆「亏=1"23,得（疗一3）>2+2%）+产一9=0,且布一3/0，

x=my+1,

-2mt

故又而,丽=。，所以（占一6乂9一6）+（*-3）（%-3）=0.

%月=一^-

m-3

又再=my}+t,x2=my2+1,

所以PAPB=(/ny,+，一6)(6为+^-6)+(y,-3)(y2-3)

=(/7?+l)y%+(〃江一6加一3)(%+，2)+(/-6y+9

(m2+1)(/-9)-2m/(〃〃一66一3)+(r-12/4-45)(/W2-3)

=--------------------------------------------------------------------=0,

nv-3

即18"?2+3〃?1一产+18，-72=0,又

18疗+3皿一/+18，—72=18帆2+3〃江—«-6乂，—12)=(3m+/—6)(6加一，+12)=0,故

，=6%+12或，=-3帆+6.

若/=一3机+6,则直线/的方程为x=m(y—3)+6,

过点P(6,3),与题意矛盾，所以/H-3/M+6,故f=6〃?+12,

所以直线/的方程为x=w(y+6)+12,过点(12,-6).

同类题型归类练

1.（2022・全国•高三专题练习）在平面直角坐标系xO），中，动点P与定点F（2,0）的距离和

它到定直线/：x的距离之比是常数之叵，记尸的轨迹为曲线E.

23

⑴求曲线E的方程；

⑵设过点A（右，0）两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M,N（异于点A），求证：直线

MN过定点.

【答案】（l）£-y2=i（2）证明见解析

3

⑴解:设P（x,y）,

因为P与定点尸（2,0）的距离和它到定直线/：x的距离之比是常数苧，

7（%-2）2+/2>/3

所以3一—亍，

X——

化简得二一3=1,

所以曲线E的方程为[-丁=]

⑵设Mgyi）fNg”）,

当直线MN斜率不存在，直线AM,4V分别为y=x-6,y=-x+/,

r2

分别联立了-y2=i,解得M（2石，G）,M2&,-6）,

此时直线MN的方程为x=2&,过点（26，0）；

当直线MN斜率存在时设其方程为、=奴+加，（k0土曲）

3

以2=1

由《3）,消去y得（1一3%2）12一6h加一3机2—3=0,

[y=kx+m

所以△=（-6而）2-4（1-3k2）（-3m23）>0,即>+1—3公>0,

6km-3m2-3

Xy+X=-——7,XX,=-----—,

2-I-3k-「\-3k2

因为AM_LAN,

k

所以L-AN=A•-乎方=-1，即%必=-（演-X/3）（X2