第29节 椭圆（解析版）-备战2023年高考数学一轮复习（全国通用）

第29节椭圆

基础知识要夯实

1.椭圆的定义

在平面内与两定点Fl,尸2的距离的和等于常数(大于尸1尸2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定

点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的辘.

其数学表达式：集合P={MIMB|十|M尸2|=加},基数|=2c,其中a>0,c>0,且a,c

为常数：

(1)若且，则集合P为椭圆；

(2)若三，则集合尸为线段；

(3)若*,则集合尸为空集.

2.椭圆的标准方程和几何性质

2222

—+^=1■^+72=1

标准方程aba-b-

(a>A>0)(a>A>0)

1

图形B,(61OBx

也一2

-a<x<a^b<x<h

范围

—b<y<b-a<y<a

对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点

Ai(—a,0),42(。，0),4(0,—a),A2(0,a),

性顶点

51(0,一份，&(0,b)0),B2(b,0)

质

轴长轴A\Ai的长为2«；短轴B\B2的长为2b.

焦距|FIF2|=2C

离心率e弋

a,b,c的关系c2=a2—b2

常用结论与微点提醒

1.点P(x(),yo)和椭圆的位置关系

(1)点P(xo,yo)在椭圆内=%+消<1；

2?

(2)点P(xo,yo)在椭圆上='+1=1；

2?

(3)点P(xo,yo)在椭圆外=>%+$>1.

2.若点P在椭圆上，尸为椭圆的一个焦点，则

⑴妇0尸回；

(2)a—c<\PF]<a+c.

3.焦点三角形：椭圆上的点P(xo,yo)与两焦点构成的△PFiB叫作焦点三角形，n=|PFi|,

?9

n=\PF2\,ZF\PF2=0,△PBB的面积为S,则在椭圆方=1(。>">。)中：

(1)当ri=r2时，即点尸的位置为短轴端点时，。最大；

(2)S=/?2tan|=c|yo|,当伙)|=人时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为

be.

4.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长

5.A5为椭圆，+*=1(〃>/»0)的弦，A(x\,y\),3(x2,yi),弦中点M(x(),yo),则直线AB

的斜率ksB—

簧本技能要落事

考点一椭圆的定义及其应用

[例1]1.(2022・保定模拟)与圆Ci：(x+3)2+V=l外切，且与圆C2：(》一3)2+尸=81内切的动圆

圆心P的轨迹方程为.

【答案】各那1

【解析】设动圆的半径为r,圆心为P(x,y),

则有|PG|=r+l,|PC2|=9-r.

所以|PG|十|PC2l=10>IGC2l=6,

即P在以Ci(-3,0),C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，

得点P的轨迹方程为芯+(=1.

2.椭圆C：，+产=13>0)的左、右焦点分别为Q,Fi，P为椭圆上异于端点的任意一点，PR,PF,

的中点分别为M,N,。为坐标原点，四边形OMPN的周长为2小，则APFiB的周长为.

【答案】2事+2小

【解析】由于O,M,N分别为QF2,PF\,2月的中点，所以OM//PFMON//PF\,所以四边形

OMPN为平行四边形，且|0必=3/22|,|CW|=』PFi|,所以回OMPN的周长为2(|0M|+|0N|)=|PFi|

+|PF2|=2a=2g,所以“=小，又知/=〃+/,/>2=].

所以/=片一1=2,所以|QB|=2c=26，所以APFiB的周长为2〃+2c=2小+2啦.

-)2

3.设点P为椭圆C：，+于=1(。>2)上一点，F\,尸2分别为C的左、右焦点，且/尸|哂=60。，则△班巳

的面积为.

【答案】芈

1

【解析】由题意知，。=用“2-4.又NQPF[=60°,\FtP\+\PF2\=2a,/正1=2病F,：.\FiF2\=(\FlP\

十|PF2l)2-2|F|P||PF2|-2|QPHPF21cos60°=4“2—3/囚忸巳|=4层一16,

.,.|FiP|-|PF2|=y..*.SAPF|F2=||FlP|-|PF2|sin600=1xyx^=^.

4.已知F是椭圆5*+9y2=45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(l,1)是一定点，则照|+|P/q的最

大值为，最小值为.

【答案】6+m6—72

【解析】椭圆方程化为5+9=1,

设Q是椭圆的右焦点，则尸i(2,0),

，HQ|=啦，：.\PA\+\PF\^\PA\-\PFi\+6,

又一(AE凶RMTPF1I34尸11(当P,A,H三点共线时等号成立)，

：.6-yf2<\PA\+\PF]<6+yf2.

【方法技巧】

1.椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三痢形的周长、

面积及弦长、最值和离心率等.

2.与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、\PF\\+\PF2\=2a,得到

a,c的关系.

考点二椭圆的标准方程

72

【例2】（1）（2021•湖北四地七校联考）已知椭圆C：，+g=1（。>/?>0）的左、右焦点分别为

Fi,尸2,离心率为土过正2的直线与椭圆C交于A,B两点,若△RA8的周长为8,则

椭圆方程为（）

2292

A-4+3B,16+12-1

v2x2v2

C.y+j2=lDJ+2=1

（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点（一宗（）,他,小），则椭

圆方程为.

（3）过点（小，一小），且与椭圆乐+卷=1有相同焦点的椭圆的标准方程为.

【答案】⑴A（2启+,=1（3后+；=1

【解析】（1）如图，由椭圆的定义可知，的周长为4a,

.♦.4a=8,a=2,又离心率为今

c=1,82=3,

72

所以椭圆方程为5+1=L

（2）设椭圆方程为m/+〃产=1（析,n>0,m^n）.

由］（一|A+（|）2〃=1,

13加+5〃=1,

解得加=:，〃==.

椭圆方程为片+器=1.

（3）法一（待定系数法）设所求椭圆方程为八匕+壬=1伏<9）,将点（小，一小）的坐标

K?K

(—A/5)2(-\/3)2

代入可得一N0D第K7'+吉y〃K,=1，解得&=5(k=21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为

^+4=1-

29

法二(定义法)椭圆根+，=1的焦点为(0,—4),(0,4),即c=4.

由椭圆的定义知，2a=7(#—0),+(一小+4)2+yj(A/3—0)2+(―^/5—4)2,

解得a=2小.

由c2=a2—b2可得b2=4.

所以所求椭圆的标准方程为舄+3=1.

【方法技巧】

根据条件求椭圆方程的主要方法有：

(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.

(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的。，＞当不知焦点在哪一个坐标轴上

时，一般可设所求椭圆的方程为mx1+ny2—1(/??＞0,n＞0,〃?#〃)，不必考虑焦点位置，

用待定系数法求出〃?，〃的值即可.

(3)椭圆系方程

2292

①与3+$=1共焦点的椭圆系为.2二l(k＜b2).

②与'+$=1有共同的离心率的椭圆系为$+*=2或5+'=%(尢＞0).

【跟踪训练】

1.已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3,0),并且以坐标轴为对称轴，则椭圆

的标准方程为.

?2V2

【答案】7?+/=1或已+万=1

yo1y

99

【解析】法一若椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为方=1(。＞比＞0).

2〃=3x2/7,

a—3,

由题意，得＜解得

自+£=1，b=l.

所以椭圆的标准方程行+产1.

若焦点在y轴上，设椭圆的方程为，+为=1（。>/?>0）.

2a=3x2b,

。=9,

由题意得&工9_解得<

.了十中=匕b=3.

所以椭圆的标准方程为言+器=1.

O17

992

综上所述，椭圆的标准方程为5'+y2=l或Q+器=1.

yoly

法二设椭圆的方程为+亍=l（m>0,〃>0,*〃），

[9=)

1,

则由题意，知沁或'in

2\[m=3x2y/n2\l7t=3x2y[m,

m=9,m=9,

解得,或，

[n=l、〃=81.

所以椭圆的标准方程为5+V=l或第

考点三椭圆的几何性质

【例3】（1）已知椭圆C：:+]=1的一个焦点为（2,0）,则。的离心率为（

)

A.gB，2

「应n空

23

⑵（2022.成都质检）已知椭圆C的方程为/+方=l（a>Z»0）,焦距为2c,直线/：

与椭圆C相交于A,8两点，若HB|=2c,则椭圆。的离心率为（）

近3

B-

24

11

CD-

2-4

2,2

⑶（2022・淮北一模）设椭圆C：/+方=1（。>/?>0）的左、右焦点分别为尸1,尸2,过放作

龙轴的垂线与C相交于A,8两点，R8与y轴相交于点。，若ADJ_Fi8,则椭圆C的

离心率为.

【答案】(1)C(2)A(3片■

【解析】(1)不妨设a>0.因为椭圆C的一个焦点为(2,0),所以焦点在x轴上，且c=2,

所以层=4+4=8,所以。=2啦，所以椭圆C的离心率6=]=乎.

(2)设第一象限的交点为A(x,y),直线y=*x的倾斜角为a,由tana=坐,得sina=1,

2^2

cosa—Q9

把点A的坐标代入椭圆方程，整理得8e4—18e2+9=0,即(4e2-3>(2e2—3)=0,又0<e<l,

所以6=坐.

(3)由题意知B(—C,0),F2(C,0),其中c=N“2一尻因为过尸2且与X轴垂直的直线为X

=c,故由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A&,日，4。，一§.因为AB平行于y

轴，且R。=。22,所以4。=。8,即。为线段川8的中点，所以点。的坐标为(0,一蜘.

及_(_豹_^_0

又所以总即‘、—0~"——(；(一=一1,整理得小。2=2℃,所

以，§(/一/)=2数又e=5，0<e<l,所以，5e2+2e—/=0,解得e=坐.

【例4】(1)已知点A(0,2)及椭圆。+、2=1上任意一点P,则|以|的最大值是.

(2)(2021江西大联考)椭圆G：鑫+卓=1(»〉0)的两个焦点为B(—c,0),F2(C,0),M

是椭圆上一点，且满足而加•■=().则椭圆离心率e的取值范围为()

A(0,阴B(0,坐)

C.停,1)D惇1)

【答案】(1)率(2)D

【解析】⑴设P(xo,yo),则一2刍饪2,—l<yo<l,

，|%F=x3+3o—2产,普+y8=1,|必F=4(]—J8)+(>,O—2)2=-3jyS—4>'o+8=—

/,2A2,28

3陋+?+y.

228

V—l<yo<l,，当yo=-g时，|融扁ax=y,

Er2\/21

即|Rl|max=3.

(2)法一设点M的坐标为3),yo),•・•巾•=0,Fi(-c,0),F2(c,0),A(xo+c)-(xo

—c)+)3=0,即％3+讨=/・①

92

又知点M在椭圆G上，.常+患=1,②

&2(/—心)

由①②联立结合/一按=/解得高=————，由椭圆的性质可得0夕8飞2,即

72(g2—匕2)

c22，(c2>b2,

〈2/2,2、即V2,22所以C?泌2,又知。2=。2一/,二,?三/—。2,即2/三/，

a2(c2-Z?2)l?-Z>2<c2,

I9

解得又知0<e<l,.•.乎土<1,故选D.

法二•.•椭圆G上存在点M使%=0,.•.MBLMF2,即△MAFz是以M为直角

顶点的直角三角形，

22222

\MF\|+IMF2I=2a,|FiF2|=2c,(fMFi|+|MF2|)<2(|MFI|+|MF2|)=2|FIF2|=8c,|MFi|

+附乃区26c,・~=而舞扇弓意=坐，当且仅当|MA|=|MF2尸啦c,时，等号成

立，又知0<e<l,

，ee［乎，1).故选D.

【方法技巧】求椭圆离心率的方法

(1)直接求出凡c的值，利用离心率公式直接求解.

(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式)，借助于庐=/一0?消去"转化为含有e

的方程(或不等式)求解.

（3）利用公式e=1—%求解.

利用椭圆几何性质求值域或范围的思路

（1）将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系.

⑵将所求范围用a,b,c表示，利用a,b,c自身的范围、关系求范围.

【跟踪训练】

1.（2022・长沙一模）设R,巳分别是椭圆E：f+gfCXXl）的左、右焦点，过点为的

直线交椭圆E于A,8两点.若|AFi|=3|BB|,轴，则椭圆E的方程为.

【答案】/+界=1

【解析】由题意，\AF2\=b2,|c,一D

3

椭圆方程为/+学=1.

2.已知椭圆E：$+g=15＞心0）的右焦点为尸，短轴的一个端点为M,直线/：3元一

4

4y=0交椭圆E于A,8两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线1的距离不小于亍则椭圆E

的离心率的取值范围是（）

A卜,坐]B（0,1

C惇1）D,[1,1）

【答案】A

【解析】设左焦点打，连接尸必，FoB,则四边形AF8R）为平行四边形.

•.•|竹+|防=4,

：.\AF]+\AFo\=4,

「・4=2.

4b4

设M(0,b),则与与，：>\<b<2.

离心率e{=\^=、P^=、J殍G[O,坐]，故选A-

2

3.已知点尸(0,1),椭圆，+尸=机(〃z〉l)上两点A,8满足=2,则当m=时，点

8横坐标的绝对值最大.

【答案】5

【解析】设A(»,yi),8(x2,yi),由=2,

—X\2jV2

得c/,、即xi=-2x2,yi=3—2”因为点A,B在椭圆上，所以

U—6=2(”—1),

1竽+(3—2")2=/»,

I4']31591

j,得”=/+1,所以意=，〃―(3-2丫2)2=-/2+/一^=一1(加

泛+父=加，

-5)2+4%,所以当加=5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.

考点四直线与椭圆的位置关系

【例4】已知直线/：y=2x+m,椭圆C：，+，=1.试问当加取何值时，直线/与椭圆

C：

(1)有两个不重合的公共点；

(2)有且只有一个公共点；

(3)没有公共点.

【解析】将直线/的方程与椭圆C的方程联立,

y=2无+〃?,①

得方程组

②

将①代入②，整理得9%2+8m龙+2加2—4=0/§)

方程③根的判别式/=(8附2-4x9x(2加2—4)=-8/+144.

⑴当/>0,即一3/<加<3啦时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不

同的实数解.这时直线/与椭圆C有两个不重合的公共点.

(2)当/=0,即加=±3啦时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的

实数解.这时直线/与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线/与椭圆C有且只有一个

公共点.

(3)当/<0,即能<一3啦或淀>3啦时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.这

时直线/与椭圆C没有公共点.

【方法技巧】研究直线与椭圆位置关系的方法

(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的

个数.

(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.

【跟踪训练】

1.若直线丫=履+1与椭圆曰+5=1总有公共点，则机的取值范围是()

A.m>\B.???>0

C.Q<m<5且D./n>l且m^5

【答案】D

【解析】法一由于直线丫=日+1恒过点(0,1),

所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，

则0<^<1且m^5,

故m>l且m*5.

、_(y=kx+\,

2

法—由nvr+5y-5m=09

消去y整理得(5/+6)%2+10h+5(1—“)=0.

由题意知/=100/一20(1—⑼(5&2+〃?)沙对一切jtER恒成立，

即5mlc+7W2—7?i>0对一切%£R恒成立，

由于m>0且*5,—5A2恒成立，*.m>\Km^5.

考点五中点弦及弦长问题

【例5】已知尸色，为椭圆，+9=1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，

则此弦所在的直线方程为.

【答案】2x+4>—3=0

【解析】易知此弦所在直线斜率存在，设斜率为人,

弦的两端点为A(xi,yi),8(x2,"),则有彳+济=1,宁+奠=1,两式作差，得

(X2-Xl)(X2+X1),,

5+(*—y1)(v+y।)=0，

Vxi+x2=1,yi+j2=1,

X2—XI

—2一+(y2—yi)=O,

••k———o，

X2-X\2

经检验，仁一品足题意，

二此弦所在的直线方程为y—1=-3(九—，

即2元+4y—3=0.

Y-廿1

【例6】如图，在平面直角坐标系xQy中，椭圆，+$=13*0)的离心率为了过椭圆

右焦点尸作两条互相垂直的弦A8与CD当直线AB的斜率为。时，|AB|=4.

(1)求椭圆的方程；

48

⑵若八8|十|8|=不，求直线AB的方程.

c1

【解析】(1)由题意知e=7=5，2a—4.

又/=〃+/,解得”=2,b=事,

所以椭圆方程为3+?=1.

(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题

意知|AB|+|C0|=7,不满足条件.

②当两弦所在直线的斜率均存在且不为。时,设直线A8的方程为y=Z(x—l),A(xi,yi),

B(XZ,y2),

则直线的方程为y=-1(x-l).

将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得(3+4d]—8Bc+4Z2-12=0,则加+及=

8d4Zr-12

3+4。3+4&2‘

所以优8|=、上+1阳~X2\

12(M+l)

寸(Xl+x2)2—4X1X2=

=qe+i3+4R

12(d+1)

同理,

3+・3必+4

K

匕「，，,12(£+1),12(^+1)

所以|AB|+CT=3+>+3产+4

84(d+1)248

=(3+4K)(3芯+4)=亍

解得k=±l,

所以直线AB的方程为x—y—1=0或x+y—1=0.

【方法技巧】弦及弦中点问题的解决方法

(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立、消元，利用根与系数关系表示中点；

(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率.

1.弦长的求解方法

(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.

(2)当直线的斜率存在时，斜率为々的直线/与椭圆相交于A(xi,yi),8(尤2,")两个不同

的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：

①|AB|=y1+矽XI—X2]:

②|AB|=J+和一心|(存0);

③|A3|=yj(1+A?)[(xi+x2)2—4xiX2];

④|AB|=y(l+看｝3+券)2—4yi>12].

2.注意两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦

点.

【跟踪训练】

1.（2022.石家庄模拟）过点M（l,1）作斜率为一的直线与椭圆C：a+£=l（a>b>。）相交

于A,8两点，若M是线段A3的中点，则椭圆。的离心率为.

【答案】乎

【解析】设A（xi,yi）,B（X2,yi）9

(%—X2)(xi+x2)(yi—(yi+p)

•••7^=0,

.yi->'2b1x\+x2

"'X\—X2«yi+p-

~~=—^,XI+X2=2,yi+”=2,

X\—X22''

，=2炉.

Xb2=a2-c2,.■.a2=2(a2—c2),

.".a2=2c1,

a2

即椭圆。的离心率e=^.

2.已知斜率为2的直线经过椭圆方+；=1的右焦点F,与椭圆相交于A,8两点，则弦

AB的长为.

【答案】W

【解析】设A(xi,yi),8(x2,yi)9

.（xi-丁2）（元1+十2）（y】-y2）（yi+”）

.y\~y2b1x\+xi

*x\-xia2y\+yi

=

*.*=一7，XI+12=2,yi+y22,

XI-X22y

一当=一〈，Aa2=2b2.

aL2

又：=屋一c2,ci2=2(4—c2),

a2=2c2,芯=乎.

即椭圆C的离心率6=乎.

(2)法一由题意知，椭圆的右焦点F的坐标为(1,0),直线A8的方程为)，=2(》—1),

y=2(x—1),

由,2+上_]消去y,得3f—5x=0,

故得40,-2),B

1的="。-(I+(-2一?=半

法二由题意知，椭圆的右焦点F的坐标为(1,0),直线A3的方程为y=2(x-l),

卜=2(%—1),

由1r2,/消去y得3/—5x=0,

〔针4=1

设A(xi,yi),5(X2,*),

则第+九2=3，11X2=0,

则\AB\=yj(xi—%2)2+(yi-p)2

=、(1+小)[(笛+]2)2—4X1X2]

7(+22)[断一4X0=茅.

考点六直线与椭圆的综合问题

【例6】(2021•广州综合测试)已知椭圆厂，+奈=1(。＞。＞0)经过点M(—2,1),且右

焦点F(小，0).

（1）求椭圆厂的标准方程；

⑵过Ml，0）且斜率存在的直线AB交椭圆，于A,B两点,记/=陶.磔，若f的最大

值和最小值分别为力，f2,求/1+/2的值.

【解析】（1）由椭圆为+£=1的右焦点为（S，0）,

22

知足一吩=3,即b=a—39

则今+孚W=l,«2>3.

aa-3

41

又椭圆过点M（—2,1）,・・・7+7二=1,

又屋>3,**•cr=6.

椭圆厂的标准方程为5+1=1.

O3

(2)设直线A3的方程为y=Z(x—1),A(xi,yi),B(X2,yi)9

"=1

由j63得(+2F(x—1产=6,

ly=A(x—1)

即(1+2/)f—4七+2A2-6=0,

•.•点N(l,0)在椭圆内部，.•./>(),

'4d

为+及=[+2d'①

*,2——6„

、加"2=23+1，②

则/=必•磔=。|+2)(敝+2)+。1-1)("-1)

=X1X2+2(X1+X2)+4+(AXI-k—1)(^2—攵―1)

=(1+K)xiX2+(2—Z)(xi+元2)+/+2女+5③，

将①②代入③得，

2法—64小

/=(1+]>2冒+]+(2—&2-%>2.+]+1+2&+5,

.15d+23-l

：'t=2F+1-，

.,.(15—2。3+22-1—r=0,攵£R,

则J1=22+4(15-2r)(1+0>0,

.,.(2/-15)(r+l)-l<0,

即2?-13r-16<0,

13

由题意知力，"是2』一13f—16=0的两根，...人+/2=宁.

【方法技巧】1.求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想，即根据题意，列出

有关的方程，利用代数的方法求解.为减少计算量，在代数运算中，经常运用设而不求的

方法.

2.直线方程的设法，根据题意，如果需要讨论斜率不存在的情况，则设直线方程为x=ry

+m,避免讨论：若所研究的直线的斜率存在，则可设直线方程为丫=依+人的形式，若

平行于坐标轴的直线都包含，则不要忘记斜率不存在的情况的讨论.

【跟踪训练】

已知椭圆C：,+1=1，过A(2,0),8(0,1)两点.

(1)求椭圆C的方程及离心率；

(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线以与y轴交于点M,直线与九轴交

于点N,求四边形ABNM的面积.

【解析】(1)由题意知，。=2,b—1,

所以椭圆C的方程为1+丁=1.

因为(?=62-力2=小,

所以椭圆C的离心率6=：=坐

(2)设P(xo,yo)(xo<O,yo<O),则x8+4y8=4.

因为A(2,0),仇0,1),

所以直线出的方程为丫=常5(%一2)，令x=0，得),"=一]^，从而=

,_2yo

xo-2'

直线尸8的方程为丁=咛4+1,令y=0,得必=一*,从而|AN|=2一欢=2+3Y.

Jxo'yo-1yo-\

所以四边形A3NM的面积

S=^\AN]-\BM\

=42+37M1+苦

21"一1八xo—2J

+4yd+4尤oyo—4xo-8yo+4

2（xoyo一与）—2yo+2）

2xoyo—2xo一■4yo+4

=-------------------i---=2,

xoyo-xo-2川+2'

所以四边形A8NM的面积为2.

达标检测要扎实

一、单选题

1.明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示,

北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）、（2）、（3）中

椭圆的长轴长与短轴长的比值分别蔡、!|、y,设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为外、

G、4，则（）

A.eI>e3>e2B.e2>e3>

C.et>e2>e3D.e2>e1>e3

【答案】A

【解析】因为椭圆的离心率e=£

a

所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大.

因为«1.24,—*1.43,则>—>—»所以6>%>5•故选：A.

94579745

2.椭圆E：W+X=l（a>0）的右焦点为F,直线丫=》+加与椭圆E交于A,B两点，若钻周长

a23

的最大值是8,则根的值等于（）

A.0B.1C.73D.2

【答案】B

【解析】设椭圆的左焦点为尸,

则AEAB的周长为I4FI+I5尸|+|M|”IAFI+IB尸|+|AF[+忸尸1=4a=8,

当尸、A、B三点共线时等号成立，AE43的周长取得最大值,

所以。=2,此时直线AB过左焦点厂（-1,0）,

所以0=-1+加，所以机=1.故选：B

3.己知尸是椭圆C：5+（=l的右焦点，点*2,苧）在c上，直线A尸与y轴交于点8,点P为C

上的动点，则中•丽的最小值为（）

51n15八13r15

A.—B.—C.----D.

4444

【答案】C

（3石丫

【解析】由题可得2?[T），

---1-------=1

m15

元2V2

，加=16,即椭圆C:=+2-=1,

1615

.1.F（l,0）,直线"方程为丫=亚（％-1）,

设0亿,几），则今+色=1，中=2-%，+-%，方=-xQ,-^--y0

lo15ZZ

PA-PB=（2-x0）（-x0）+X）

/

2c2452cy15245

=x0-2x0+y0-=x0-2x0+15--x0一--

4lo4

=77（*。_16）2__~，又一4工尤0K4,

lo4

13

・••当/=4时，雨.丽有最小值为一二.故选：C.

4

22

4.若椭圆C：三+，一=1的一个焦点坐标为（0,1）,则C的长轴长为（）

tnm-1

A.73B.2C.25/2D.26

【答案】D

22

【解析】因为椭圆C：—+^-=1,焦点（0,1）,

所以々2=/-1,b?=tn,c=l,即62.]=m+],解得加=2或6=一1（舍去）.

所以a="二i=百，长轴为2g.故选：D

5.“心〃>0”是“方程,加+")2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】C

-)2

三+匕-1

【解析】若机>〃>o,则方程工+1一|表示焦点在y轴上的椭圆；

mn

反之，若方程工工表示焦点在y轴上的椭圆，则“>〃>0

mn

所以“加>〃>0”是“方程加声炉=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件故选：C

6.己知椭圆C：上+金=1的离心率为且，则椭圆C的长轴长为()

/n+4m3

A.2有B.4C.46D.8

【答案】C

【解析】由题意知c。=〃?+4-m=4,所以c=2,

又因为、2==且，所以加=8,

所以椭圆C的长轴长为2闹％=46.故选：C.

7.已知P是椭圆!+耳=1上的一个点，片、工是桶圆的两个焦点，若|尸耳|=3,则|产工|等于（）

2516

A.10B.7C.5D.2

【答案】B

【解析】在椭圆1+（=1中，4=5,则附|=加一|「制=7.故选：B.

8.椭圆三+$=1焦点坐标是

54

A.（±1,0）B.（+3,0）C.（0,+1）D.（0,±3）

【答案】A

【解析】因为椭圆的方程为三+匕=1,所以焦点在X轴上，且c?=l，c=l,所以选A.

54

22

9.设B是椭圆C:二+与=l（a>8>0）的上顶点，若C上的任意一点户都满足I心52b,则C的离

a2b~

心率的取值范围是（）

【答案】C

【解析】设P（如儿），由6（0,6）,因为4■+餐=1，a2=h2+c2,所以

=片+（%-6）-=/=一3（%+：+・+/+分2,

因为当-与钎/,,即从2°2时，|即\=劭2,即|冏1mx=»,符合题意，由622c②

1

―自।imax।IIIUA

可得"±2C2,即（）<ev也；

2

当-<>-b,即从<<?时,|?耳；=与+。2+',即勺+&2+〃44〃，化简得,（C2-^2）^0,

显然该不等式不成立.故选：C.

10.曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度

3

22/72\o

越小.已知椭圆C*+方=1（4>6>0）上点尸伍,几）处的曲率半径公式为/?=123+乌一.若

椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆C的离心率为（）

A.|B.-C.立D.―

2224

【答案】C

【解析】因为曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小，

故椭圆在仕。,0）处曲率半径最小，则人,“=%，而椭圆在（0,好）处曲率半径最大，

a

则因为，*=8&而，所以〈=8XQ，所以。=»，e£

bba2

故选：C.

II.已知椭圆=1（a>%>0）的右焦点为尸，过尸点作x轴的垂线交椭圆于A,8两点，若

OAOB=0,则椭圆的离心率等于（）

A-l+石—1+A/301

RD-T

222

【答案】A

【解析】椭圆C，+R2

y=1（a>6>0）的右焦点为尸，过F作x轴的垂线交椭圆C『A,8两点，由

b2

x=c=>y=±

若丽•方=0，则A04B是等腰直角：曲形（。为坐标原点）,

2

可得b幺=c,即/_。2=双,可得e?+e—1=（）且ee（0,l）,

a

解得e二避二I.故选：A.

2

12.己知耳，尸2分别为椭圆c：£2+2

y=1（“>〃>（））的左、右焦点，过原点。且倾斜角为60。的直线/

与椭圆C的一个交点为〃，若加耳，〃心，则椭圆的离心率为（）

A.4+2&B.4-26C.1-73D.痒1

【答案】D

【解析】依题意可得|OM|=；忻用=c.

又ZMOF2=60°

:.\MF2\=c,\MF}\=y/3c,:.2a=\/3c+c<:.e=-=y/3-l.

故选：D.

22

13.已知椭圆G：工+}=1（0＜。＜而）左、右焦点分别为K，尸2,短轴的两个端点分别为用，

6b"

殳，点P在椭圆C上，且满足|P£|+|P段=|P4|+|P闵，当机变化时，给出下列四个命题：①点P

的轨迹关于），轴对称;②存在机使得椭圆C上满足条件的点P仅有两个;③的最小值为2；④|OP|

最大值为卡，其中正确命题的序号是

【答案】①@

【解析】由椭圆的对称性及|P耳|+归玛|=归4|+归身,

所以可得以⑸，层为焦点的椭圆为椭圆片+_J=i,

66—m~

2222

则点P为椭圆三+与=1与椭圆上+上丁=1的交点，

6m66-tn~

因为椭圆G的长轴顶点（士而,0）,短轴的绝对值小于6，

92.

椭圆3+5^=1的长轴顶点（0,土指），短轴的交点的横坐标的绝对值小于G，

所以两个椭圆的交点有4个，①正确②不正确，

点P靠近坐标轴时（0或根-＞#），|0尸|越大，

点P远离坐标轴时，|。尸|越小，易得病=3时，取得最小值，

此时两椭圆方程为：1---=1,

6363

两方程相加得］+?=2nJx2+y2=2,即|04的最小值为2,③正确；

椭圆上的点到中心的距离小于等于“，由于点尸不在坐标轴上,

：.\OP\<46,④错误.

故答案为：①③.

14.若方程上+《=1表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围为

k-12

【答案】(1,3)53,”)##卜|%>1且攵。3}

【解析】方程上一+£=1表示的曲线是椭圆，则:

k-\2

攵一1>0

解得：女>1且攵w3；

攵一1"2’

故答案为：(1,3)U(3,”).

15.已知「，工是椭圆C：5+：=1的两个焦点，点M在C上,则阿娟叫|的最大值为

【答案】9

【解析1在椭圆C上

.,.1^1+1^!=2x3=6

/.根据基本不等式可得|M用+|M用=622耶丽网,即\MF]-\MF2\<9,当且仅当四用=|g|=3

时取等号.故答案为：9.

16.已知椭圆C:《+《=l的左、右焦点分别为耳，尸."为椭圆C上任意一点，N为圆

43

E:(x—3)2+(y—2)2=1上任意一点，则用的最小值为.

【答案】20-5

【解析】如图，

由M为椭圆C上任意一点，则|M用+|M用=4

又N为圆E:（x—3『+（y-2『=1上任意一点，则|MN|