黑龙江省青冈县第一中学2023-2023学年高二下学期期中考试A卷数学（理）试题

第7页2023-2023学年度高二下学期期中考试数学试题A〔理科〕总分值：150分考试时间：120分钟第I卷〔总分值60分〕选择题〔本大题共12个小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〕1.，那么复数Z=〔〕A.B.C.D.2.以下式子正确的个数是〔〕.A.1个B.2个C.3个D.4个3.假设曲线在点处的切线的倾斜角为，那么等于〔〕A.2B.-2C.3D.-14.X～B〔n，p〕，EX=8，DX=1.6，那么n与p的值分别是〔〕A．100，0.08 B．20，0.4 C．10，0.2 D．10，0.8有一段“三段论〞推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点.以上推理中〔〕大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.结论正确得分布列为-101那么在以下式中：①；②；③.正确的个数是〔〕A.0B.1C.2D.37.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外〞，其中的“筹〞原意是指?孙子算经?中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是，那么8335用算筹可表示为〔B〕 B． C． D．8.函数f〔x〕=﹣+cx+bc在x=1处有极值﹣，那么b=〔〕A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．﹣1或39.用数学归纳法证明：时，由不等式成立，推证时，左边增加的代数式是〔〕A.B.C.D.10.假设在〔﹣1，+∞〕上是单调减函数，那么b的范围是〔〕A．[﹣1，+∞〕 B．〔﹣1，+∞〕C．〔﹣∞，﹣1〕D．〔﹣∞，﹣1]11.一个篮球运发动投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为，〔〕，他投篮一次得分的数学期望是2，那么的最小值为〔〕A.B.C.D. 12.函数在R上可导，且其导函数为.假设满足：，，那么以下判断一定正确的选项是〔〕A.B.C.D.第II卷〔总分值90分〕填空题〔本大题共4个小题，每题5分〕13.，是虚数单位，假设，那么=．14.．15.椭圆=1〔a＞b＞0〕在其上一点P〔x0，y0〕处的切线方程为=1．类比上述结论，双曲线=1〔a＞0，b＞0〕在其上一点P〔x0，y0〕处的切线方程为．16.直线与曲线有三个不同的交点，且,那么.解答题〔本大题共6个小题，总分值70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤〕17.〔本小题总分值10分〕函数且.〔1〕求的值；〔2〕求函数的单调区间．18.〔本小题总分值12分〕设数列的前n项和为Sn，且满足〔n∈N*〕．〔Ⅰ〕计算的值；〔Ⅱ〕猜测的表达式，并用数学归纳法证明你的结论.19.〔本小题总分值12分〕随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．〔Ⅰ〕假设从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；〔Ⅱ〕假设从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．20.〔本小题总分值12分〕设函数．〔1〕求函数的单调递增区间；〔2〕假设关于的方程在区间[1，3]内恰有两个相异实根，求实数的取值范围．21〔本小题总分值12分〕2023年3月智能共享单车工程正式登陆某市，两种车型〔“小绿车〞、“小黄车〞〕采用分时段计费的方式，“小绿车〞每30分钟收费0.5元〔缺乏30分钟的局部按30分钟计算〕；“小黄车〞每30分钟收费1元〔缺乏30分钟的局部按30分钟计算〕．有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行〔各租一车一次〕．设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为，，，三人租车时间都不会超过60分钟．甲、乙均租用“小绿车〞，丙租用“小黄车〞．〔I〕求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；〔Ⅱ〕设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．22.函数．〔Ⅰ〕假设函数在其定义域上是增函数，求实数的取值范围；〔Ⅱ〕当时，求出的极值；〔Ⅲ〕在〔Ⅰ〕的条件下，假设在内恒成立，试确定的取值范围．

2023-2023学年度高二下学期期中考试数学试题A〔理科〕答案一、选择题123456789101112ABADACBACDDC填空题14.15.16.7解答题17.〔本小题10分〕解：〔1〕f′〔x〕=3x2+2ax﹣1，∴f′〔〕=+a﹣1=a，解得：a=﹣1；〔2〕由〔1〕得：f〔x〕=x3﹣x2﹣x+c，f′〔x〕=3x2﹣2x﹣1=〔3x+1〕〔x﹣1〕，令f′〔x〕＞0，解得：x＞1或x＜﹣，令f′〔x〕＜0，解得：﹣＜x＜1，∴函数f〔x〕的单调增区间为〔﹣∞，﹣〕，〔1，+∞〕，单调减区间为〔﹣，1〕．18.〔本小题12分〕〔1〕，所以，

，所以，

，所以，

，所以。

〔2〕猜测：。

下面用数学归纳法证明：①当时，，猜测显然成立。

②假设当〔〕时猜测成立，即。那么当时，，即。

又，所以，从而，即当时，猜测也成立。故由①和②，可知猜测成立。

19.〔本小题12分〕解：〔Ⅰ〕设“至少1名倾向于选择实体店〞为事件A，那么表示事件“随机抽取2名，〔其中男、女各一名〕都选择网购〞，那么P〔A〕=1﹣P=1﹣=．〔Ⅱ〕X的取值为0，1，2，3．P〔X=k〕=，P〔X=0〕=，P〔X=1〕=，P〔X=2〕=，P〔X=3〕=．E〔X〕=0×+1×+2×+3×=．20.〔本小题12分〕解：〔1〕f′〔x〕=，∵x＞0，x∈〔0，1〕时，f′〔x〕＞0，所以函数f〔x〕的单调递增区间是〔0，1]．〔2〕将f〔x〕代人方程f〔x〕+x2﹣x﹣2﹣a=0得2lnx﹣x﹣2﹣a=0，令g〔x〕=2lnx﹣x﹣2﹣a那么g′〔x〕=；∴x∈[1，2〕时，g′〔x〕＞0；x∈〔2，3]时，g′〔x〕＜0；∴g〔2〕是g〔x〕的极大值，也是g〔x〕在[1，3]上的最大值；∵关于x的方程f〔x〕+x2﹣x﹣2﹣a=0在区间[1，3]内恰有两个相异实根；∴函数g〔x〕在区间[1，3]内有两个零点；那么有：g〔2〕＞0，g〔1〕＜0，g〔3〕＜0，所以有：解得：2ln3﹣5＜a＜2ln2﹣4，所以a的取值范围是〔2ln3﹣5，2ln2﹣4〕．21.解：〔I〕由题意得，甲乙丙在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为．记甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用为事件A．那么，答：甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率为，〔Ⅱ〕ξ可能取值有2，2.5，3，3.5，4，甲、乙、丙三人所付的租车费用之和ξ的分布列为：ξ22.533.54P22.〔本小题12分〕解：