历名牌大学自主招生数学考试试题及答案

历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案_文档视界上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题

一、填空题（每小题5分，共50分）

1．设函数()fx满足2(3)(23)61fxfxx+-=+，则()fx=．2．设,,abc均为实数，且364ab==，则11a

b

-=．3．设0a>且1a≠，则方程2122xaxxa+=-++的解的个数为．

4．设扇形的周长为6，则其面积的最大值为．5．11!22!33!!nn?+?+?++?=．

6．设不等式(1)(1)xxyy-≤-与22xyk+≤的解集分别为M和N．若MN?，则k的最小值为．7

．

设

函

数

()x

fxx

=

，则

2112()3()()nSfxfxnfx-=++++=．

8．设0a≥，且函数()(cos)(sin)fxaxax=++的最大值为

25

2

，则a=．

9．6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为．10．已知函数121

()1

xfxx-=

+，对于1,2,n=，定义11()(())nnfxffx+=，若

355()()fxfx=，则28()fx=．

二、计算与证明题（每小题10分，共50分）

11．工件内圆弧半径测量问题．

为测量一工件的内圆弧半径R，工人用三个半径均为r的圆柱形量棒

123,,OOO放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺

水平面到中间量棒2O顶侧面的垂直深度h，试写出R用h表示的函数关系式，并计算当

10,4rmmhmm==时，R的值．

12．设函数()sincosfxxx=+，试讨论()fx的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性），求其极值，并作出其在[]0,2π内的图像．13．已知线段AB长度为3，两端均在抛物线2xy=上，试求AB的中点

M到y轴的最短距离和此时M点的坐标．

参考答案：

1.21x-

2.1

2-3.24.94

5.()1!1n+-

6.2

7.()()()1

10211210

4

n

nnxnx?+>???+--?与圆22(2)3xy-+=交于AB、两点，线段AB的中点在yx=上，求p．解：设11(,)Axy，22(,)Bxy，联立22(2)3xy-+=与22ypx=，得：22(2)10xpx+-+=．知

12

22

xxp+=-，121xx=；22212121212()22()yyyyyypxx+=+-=+且1212yyxx+=+．得124(2)(1)yypp=--．

又2222121244yypxxp==．所以21228124yyppp==-+

解得p=

p=（舍）．2011年同济大学等九校(卓越联盟)自主招生数学试题一、选择题,

1.已知向量,ab为非零向量,(2),(2),ababab-⊥-⊥则,ab夹角为()A.6

πB.3

πC.3

2πD.6

5π

2.已知sin2()sin2,rnαβ+=则tan()

tan()

αβγαβγ++=-+()

A.11

nn-+B.

1n

n+C.1nn-D.11

nn+-3.在正方体1111ABCDABCD-中,E为棱1AA的中点,F是棱11AB上的点,且

11:1:3AFFB=,则异面直线EF与1BC所成角的正弦值为()

4.i为虚数单位,设复数z满足||1z=,则2221zzzi

-+-+的最大值为()

1B.21D.25.已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,ABC?三个顶点都在抛物线上,且ABC?的重心为抛物线的焦点,若BC边所在的直线方程为

4200xy+-=,则抛物线方程为()

A..216yx=

B.28yx=

C.216yx=-

D.28yx=-6.在三棱柱111ABCABC-中,底面边长与侧棱长均不等于2,且E为1CC的中点,则点1C到平面1ABE的距离为()

B

D.

2

7.若关于x的方程2

||

4

x

kx

x

=

+

有四个不同的实数解,则k的取值范围为()

A.(0,1)

B.1(,1)

4

C.1(,)

4

+∞D.(1,)

+∞

8.如图,ABC

?内接于O,过BC中点D作平行于AC的直线,ll交AB于E,交O于GF

、,交O在A点处的切线于P,若3,2,3

PEEDEF

===,则PA的长为()

D.

9.数列{}

k

a共有11项,111

0,4,

aa

==且1

||1,1,2,,10

kk

aak

+

-==

满足这种条件的不同数列的个数为()

A.100

B.120

C.140

D.160

10.设σ是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为2

7

π的旋转,

τ表示坐标平面关于y轴的镜面反射.用τσ表示变换的复合,先做τ,再做σ.用kσ表示连续k次σ的变换,则234

στστστσ是()

A.4σ

B.5σ

C.2στ

D.2

τσ

二、解答题

13.已知椭圆的两个焦点为

12

(1,0),(1,0)

FF

-,且椭圆与直线yx=-相切.

(1)求椭圆的方程;

(2)过

1

F作两条互相垂直的直线12,ll,与椭圆分别交于,PQ及,MN,求四边形PMQN面积的最大值与最小值.

14.一袋中有a个白球和b个黑球.从中任取一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋

中.在重复n次这样的操作后,记袋中白球的个数为nX.(1)求1EX;

(2)设()nkPXakp=+=,求1(),0,1,,;nPXakkb+=+=

(3)证明:11

(1)1.nnEXEXab

+=-++参考答案:一.选择题1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.BDBCADCBBD

二.解答题

13.【解】设椭圆方程为22

221(0)xyabab

+=>>,

因为它与直线yx=只有

一个公共点,

所以方程组22

2

21,xya

byx?+=???=?

只有一解,

整理得2222222()30abxxaab+-+-=.所以

2222222(23)4((3)0,aabaab=--+-=得223ab+=.

又因为焦点为12(1,0),(1,0)FF-,所以221,ab-=联立上式解得222,1ab==

所以椭圆方程为2

212

xy+=

.

(2)若

PQ

斜率不存在(或为0)时,则

||||

22

PMQNPQMNS?=

==四边形.

若PQ斜率存在时,设为(0)kk≠,则MN为1k

-.

所以直线PQ方程为ykxk=+.设PQ与椭圆交点坐标为1122(,),(,)PxyQxy

联立方程22

1,

2.xyykxk?+=???=+?

化简得2222(21)4220kxkxk+++-=.

则22121222422

,2121

kkxxxxkk--+==++

所以

12

|||

PQxx

=-==

同理可得||

MN=

所以

2

2242

224242

1

||||(1)2112

4444()

2(2)(21)2522252PMQN

k

PQMNkkk

S

kkkkkk

?+++

====-

++++++四边形

2

42

2

2

111

4()4()

1

2410424410

k

kkk

k

=-=-

++++

因为2

2

1

44101018

k

k

++≥=（当且仅当21

k=时取等号）

所以,

2

2

11

(0,],

118

4410

k

k

∈

++

也所以

2

2

1116

4()[,2]

1

29

4410

k

k

-∈

++

所以综上所述,

PMQN

S

四边形

的面积的最小值为16

9

,最大值为2.

14.【解】(1)1

n=时,袋中的白球的个数可能为a个(即取出的是白球),

概率为a

ab

+

;也可能为1

a+个(即取出的是黑球),概率为

b

ab

+

,故

2

1

(1)

abaabb

EXaa

ababab

++

=?++?=

+++

.

(2)首先,

10

(0);

n

a

PXaP

ab

+

=+=?

+

1

k≥时,第1

n+次取出来有ak+个白球的可能性有两种;

第n次袋中有ak+个白球,显然每次取出球后,球的总数保持不变,即ab+个白球(故此时黑球有bk-个),第1

n+次取出来的也是白球,这

种情况发生的概率为;

k

ak

P

ab

+

?

+

第n次袋中有1

ak

+-个白球,第1

n+次取出来的是黑球,由于每次球的总数为ab+个,故此时黑球的个数为1

bk

-+.这种情况发生的概率为1

1

(1)

k

bk

Pk

ab

-

-+

?≥

+

.

故111()(1).nkkakbkPXakPPkab

ab

+-+-+=+=?+?≥++

(3)第1n+次白球的个数的数学期望分为两类:

第n次白球个数的数学期望,即nEX.由于白球和黑球的总个数为

ab+,第1n+次取出来的是白球,这种情况发生的概率是

n

EXab

+;第1n+次取出来的是黑球,这种情况发生的概率是n

abEXab

+-+,此时白球的个数

是1.nEX+

故21()(1)(1)(1)nnnn

nnnnEXabEXEXEXEXEXEXEXabababab++-=+?+=+-+++++

22()())1

1(1)1nnnnnEXEXEXEXEXabababab

=+-+-=-+++++

清华大学保送生暨自主招生北京冬令营

数学笔试试题（2009年12月30日）

1.求()x

efxx

=的单调区间及极值.

2.设正三角形1T边长为a，1nT+是nT的中点三角形，nA为nT除去1

nT+后剩下三个三角形内切圆面积之和.求1limn

knkA→∞

=∑.3.已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道，其中每个部件工作的概率如下图所示.能听到声音，当且仅当A与B中有一工作，C工作，D与E中有一工作；且若D和E同时工作则有立体声效果.

求：（1）能听到立体声效果的概率；

（2）听不到声音的概率.

4.(1)求三直线60

xy

+=，

1

2

yx

=，0

y=所围成三角形上的整点个

数；

(2)求方程组

2

1

2

60

yx

yx

xy

?

?

+=

??

的整数解个数.

5.已知(1,1)

A--，△ABC是正三角形，且B、C在双曲线1(0)

xyx

=>一支上.

(1)求证B、C关于直线yx

=对称；

(2)求△ABC的周长.

复旦大学2010年选拔生考试数学试题

一、填空(每小题5分，共45分)

1．sinx+siny=0，则cos2x-sin2y=___________________．

2．平面π1,π2成α的二面角，平面π1中的椭圆在平面π2中的射影是圆，那么椭圆短轴与长轴之比为__________．

3．(x2+2x+2)(y2-2y+2)＝1，则x+y=________________________．

4．电话号码0，1不能是首位，则本市电话号码从7位升到8位，使得电话号码资源增加____．

5．2002=83a3+82a2+8a1+a0，0≤a0,a1,a2,a3≤7正整数，则

a0=______________．

6．15

(x

的常数项为_________________．7．

n＝__________________．8．空间两平面α,β，是否一定存在一个平面均与平面α,β垂直？___________．

9．在△ABC中，cos(2A-C)＝cos(2C-B)，则此三角形的形状是________________．二、解答题(共87分)

1．求解：cos3xtan5x＝sin7x．

2．数列3，3-lg2，…,3-(n-1)lg2．问当n为几时，前n项的和最大？

3．求证：x∈R时，|x-1|≤4|x3-1|．4．a为何值时，方程

22lglg()

log(1)lg2lg2

xaxa-+=-有解？只有一解？5．一艘船向西以每小时10公里的速度航行，在它的西南方向有一台风中心正以每小时20公里速度向正北方向移动，船与台风中心距离300米，在台风中心周围100米处将受到影响，问此船航行受台风影响的时间段长度？

6．x3-2y3

＝1的所有整数解(x,y)，试证明：1

334

|2|||

xyy--3

C．m>-1

D．138

m-≤≤

4．若一项数为偶数2m的等比数列的中间两项正好是方程x2+px+q＝0的两个根，则此数列各项的积是

()A．pm

B．p2m

C．qm

D．q2m5．设f’(x0)＝2，则000

()()

lim

hfxhfxhh

→+--

()A．-2

B．2

C．-4

D．4

3、证明与计算（本题61分）

1．(6分)已知正数列a1，a2，…，an，且对大于1的n有123

2

naaan++

+=

，12

1

2

nnaaa+=

．试证：a1，a2，…，an中至少有一个小于1．

2．(10分)设3次多项式f(x)满足：f(x+2)＝-f(-x)，f(0)＝1，f(3)＝4，试求f(x)．

3．(8分)求极限112lim(0)ppp

pnnpn

+→∞+++>．4．(10分)设2,0

(),

0xbxcxfxlxmx?++>=?+≤?在x＝0处可导，且原点到f(x)

中直线的距离为13

，原点到f(x)中曲线部分的最短距离为3，试求b，c，l，m的值．(b,c>0)

5．(8分)证明不等式：34

1sincos2xx≤+≤，[0,]2

xπ

∈．

6．(8分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是12

．若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率．7．(11分)如图所示，设曲线1

yx

=上的点与x轴上的点顺次构成等腰直

角三角形△OB1A1，△A1B2A2，…，直角顶点在曲线1

yx

=上．试求An的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在．

1.数12825N=?的位数是_______________。

2.()()()234342423logloglogloglogloglogloglog0xyz===????????????求xyz++=

_______________。

3.8log3p=，3log5q=，则用,pq表示lg5=_______________。

4.2sinsincosαθθ=+，2sinsincosβθθ=，求

cos2cos2α

β

=_______________。5.0,2xπ

??∈????

，求()cossinfxxxx=+的最小值为_______________。6.有一盒大小相同的球，它们既可排成正方形，又可排成一个正三角形，且正三角形每边上的球恰比每边上正方形多2个小球，球

O

y

x

B1

A2

A1

B2

数为_______________。

7.数列1,3,2,中，21nnnaaa++=-，求100

1iia==∑_______________。

8.()4

212xx+-展开式中7x系数为_______________。

9.一人排版，有三角形的一个角，大小为60，角的两边一边长x，一边长9cm，排版时把长x的那边错排成1x+长，但发现角和对边长度没变，则x=_______________。

10.掷三粒骰子，三个朝上点恰成等差列()1d=的概率为_______________。

11.()()112ab++=，则arctanarctanab+=（）12.A．2πB．3πC．4πD．6

π

13.某人向正东走xkm，再左转150朝新方向走了3km

，结果离出发点

，则x=（）

A

．．3D．不确定

14.11

1

32162121212??????+++=???

???

????

（）A．1

1321122-??-???B．1

13212-??-???C．1

3212-D．1321122??-???

15.0t≥，()(){}

222,Sxyxtyt=-+≤，则（）

A．t?，()0,0S?

B．S的面积[)0,π∈

C．对5t?≥，S?第一象限

D．t?，S的圆心在yx=上16.一个圆盘被2n条等间隔半径与一条割线所分割，则不交叠区域最多有（）个

A．22n+

B．31n-

C．3n

D．31n+

17.()40

cos4590kkik=+=∑（）

A

．

2B

)

2120i-D

)2120i+18.对,xyR+∈，定义*xy

xyxy

=

+，则()*满足（）A．交换律B．结合律C．都不D．都可19.()6090125modN≡≡，则81≡（）()modN

A．3

B．4

C．5

D．6

20.()222fxxx=++，在[],1xtt∈+上最小值为()gt，求()gt。

21.xR+∈，求()()6

6633312

1xxxxfxxxxx--??+-+-???=??+++??

?的最小值。

22.()121

1

xfxx-=

+，()()11nnfxffx+=????，求()28fx23.2226cos9sin8sin9yxxttt=--++（,tRt∈为参数）

①求顶点轨迹，②求在12y=上截得最大弦长的抛物线及其长。24.na为递增数列，11a=，24a=

，在y=

(nnPa，以

1,nnOPOP+与曲线1nnPP+围成面积为nS，若{}nS为4

5

q=

的等比数列，求1

iiS∞

=∑和limnna→∞

。

1．三次多项式f(x)满足f(3)＝2f(1)，且有两个相等的实数根2，则第三个根为___________．

2．用长度为12的篱笆围成四边形，一边靠墙，则所围成面积S的最大值是_______________．

3．已知,xyR+∈，x+2y＝1，则2

2xy

+的最小值是______________．4．有4个数，前3个成等比数列，后3个成等差数列，首末两数和为32，中间两数和为24，则这四个数是___________________．5．已知f(x)=ax7+bx5+x2+2x-1，f(2)=-8，则f(-2)=_______________．6．投三个骰子，出现三个点数的乘积为偶数的概率是_______________．

7．正四面体的各个面无限延伸，把空间分为________________个部分．

8．有n个元素的集合分为两部分，空集除外，可有___________种分法．

9．有一个整数的首位是7，当7换至末位时，得到的数是原数的三分之一，则原数的最小值是___________．10．100!末尾连续有______________个零．二、解答题（本大题共60分，每题10分）

11．数列{an}的a1=1，a2=3，3an+2=2an+1+an，求an和limnna→∞

．

12．3个自然数倒数和为1．求所有的解．

13．已知x1000+x999(x+1)+…+(x+1)1000，求x50的系数．

14．化简：(1)11!22!!nn?+?++?；(2)12

12k

nnnkCCC+++++

+．

15．求证：342

231

aa

aa+++为最简分式．