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第二十七章检测卷一、选择题1．观察下列每组图形，相似图形是()2．下列线段中，能成比例的是()A．3、6、8、9B．3、5、6、9C．3、6、7、9D．3、6、9、183．已知△ABC∽△DEF，且AB∶DE＝1∶2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为()A．1∶2B．1∶4C．2∶1D．4∶14．如图，在6×6的正方形网格中，连接两格点A，B，线段AB与网格线的交点为M，N，则AM∶MN∶NB为()A．3∶5∶4B．1∶3∶2C．1∶4∶2D．3∶6∶55．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(4，4)，B(6，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的eq\f(1,2)后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为()A．(2，2)，(3，2)B．(2，4)，(3，1)C．(2，2)，(3，1)D．(3，1)，(2，2)6．如图，为测量河流的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B、C、D，使得AB⊥BC，点E在BC上，并且点A、E、D在同一直线上．若测得BE＝15m，EC＝9m，CD＝16m，则河的宽度AB等于()A．35m\f(65,3)m\f(80,3)m\f(50,3)m7．下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是（）A．∠A=∠E且∠D=∠F B．∠A=∠B且∠D=∠FC．∠A=∠E且 D．∠A=∠E且8．如图，已知在等腰△ABC中，顶角∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线，则eq\f(AD,AC)的值为()\f(1,2)\f(\r(5)－1,2)C．1\f(\r(5)＋1,2)9．如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B、C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB∶S四边形CBFG＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC，其中正确结论的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.若AB∶BC＝1∶2，DE＝3，则EF的长为________．11．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件______________，使△ABC∽△ACD(只填一个即可)．12．如图，在△ABC中，M、N分别为AC、BC的中点．若S△CMN＝1，则S四边形ABNM＝________．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（）A． B． C． D．314．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶eq\r(3)，点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标是________．15．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：CF2=GF•EF．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在BC，AB上，且∠BDE＝∠CAD.求证：△ADE∽△ABD.17.如图，已知A（﹣4，2），B（﹣2，6），C（0，4）是直角坐标系平面上三点．（1）把△ABC向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到△A1B1C1．画出平移后的图形，并写出点A的对应点A1（2）以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，得到△A2B2C2，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形．18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF.(1)判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若PF∶PC＝1∶2，AF＝5，求CP的长．19．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度，如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝.已知李明直立时的身高为，求路灯CD的高．20．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：（1）当t=3秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．（3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？21如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线BC交于点D(3，－4)．(1)求直线BD和抛物线对应的函数解析式；(2)在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M，O，N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(第3题)参考答案与解析1．D8．B解析：∵等腰△ABC中，顶角∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°.又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝36°＝∠A.∵∠C＝∠C，∴△BDC∽△ABC，∴eq\f(CD,BC)＝eq\f(BC,AC).设AD＝x，AB＝AC＝y，则CD＝y－x.∵∠A＝∠ABD＝36°，∴BD＝AD＝x，∠BDC＝72°＝∠C，∴BC＝BD＝x，∴eq\f(y－x,x)＝eq\f(x,y).设eq\f(x,y)＝k，则上式可以变化为eq\f(1,k)－1＝k，解得k＝eq\f(\r(5)－1,2)或eq\f(－\r(,5)－1,2)(不符合题意，舍去)，∴eq\f(AD,AC)的值为eq\f(\r(5)－1,2).B解析：∵四边形ABCD是正方形，AB＝12，BM＝5，∴AM＝13.∵AM⊥ME，∴∠E＋∠EAM＝90°.∵∠BAM＋∠EAM＝90°，∴∠E＝∠BAM.又∵∠B＝∠AME＝90°，∴△ABM∽△EMA，∴eq\f(BM,AM)＝eq\f(AM,AE)，∴AE＝eq\f(169,5).∴DE＝AE－AD＝eq\f(169,5)－12＝eq\f(109,5).故选B.10．D解析：∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，∴∠CAD＋∠FAG＝90°.∵FG⊥CA，∴∠G＝90°＝∠ACB，∴∠CAD＝∠AFG.在△FGA和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠G＝∠C，,∠AFG＝∠DAC，,AF＝AD，))∴△FGA≌△ACD(AAS)，∴AC＝FG，①正确；∵BC＝AC，∴FG＝BC.∵∠ACB＝90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBF＝90°，S△FAB＝eq\f(1,2)FB·FG＝eq\f(1,2)S四边形CBFG，②正确；∵CA＝CB，∠C＝∠CBF＝90°，∴∠ABC＝∠ABF＝45°，③正确；∵∠FQE＝∠DQB＝∠ADC，∠E＝∠C＝90°，∴△ACD∽△FEQ，∴AC∶AD＝FE∶FQ，∴AD·FE＝AD2＝FQ·AC，④正确．11．612.∠B＝∠ACD或∠ADC＝∠ACB或AC2＝AD·AB13．315.(eq\r(3)，eq\r(3))17．1解析：∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，CD∥AM，∴eq\f(AB,AM)＝eq\f(NC,MN)，eq\f(AD,AN)＝eq\f(MC,MN)，∴eq\f(AD,AN)＋eq\f(AB,AM)＝eq\f(NC,MN)＋eq\f(MC,MN)＝1.又∵AB＝AD＝1，∴eq\f(1,AM)＋eq\f(1,AN)＝1.18．3解析：如图，作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R.∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，∴四边形PQBR是矩形，∴∠QPR＝90°＝∠MPN，∴∠QPE＝∠RPF，∴△QPE∽△RPF，∴eq\f(PQ,PR)＝eq\f(PE,PF)＝2，∴PQ＝2PR＝2BQ.∵PQ∥BC，∴AQ∶QP＝AB∶BC＝3∶4.设PQ＝4x，则AQ＝3x，BQ＝2x，∴2x＋3x＝3，∴x＝eq\f(3,5)，∴AQ＝eq\f(9,5)，PQ＝eq\f(12,5)，∴AP＝eq\r(,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,5)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)))\s\up12(2))＝3.19．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，(4分)∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)＝eq\f(2,3).(8分)20．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.(2分)∵∠ADB＝∠C＋∠CAD＝∠BDE＋∠ADE，∠BDE＝∠CAD，∴∠ADE＝∠C，∴∠B＝∠ADE.(5分)∵∠DAE＝∠BAD，∴△ADE∽△ABD.(8分)21．解：(1)作出△A1B1C1，如图所示．(4分)(2)作出△A2B2C2，如图所示．本题是开放题，答案不唯一，只要作出的△A2B2C2满足条件即可．(8分)22．解：(1)AB是⊙O的切线．(1分)理由：连接DE、CF.∵CD是直径，∴∠DEC＝∠DFC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠DEC＋∠ACE＝180°，∴DE∥AC，∴∠DEA＝∠CAE＝∠DCF.∵∠DFC＝90°，∴∠DCF＋∠CDF＝90°.(3分)∵∠ADF＝∠CAE＝∠DCF，∴∠ADF＋∠CDF＝90°，∴∠ADC＝90°，∴CD⊥AD，∴AB是⊙O的切线．(5分)(2)∵∠CPF＝∠APC，∠PCF＝∠PAC，∴△PCF∽△PAC，∴eq\f(PC,PA)＝eq\f(PF,PC)，∴PC2＝PF·PA.(8分)设PF＝a，则PC＝2a，PA＝a＋5，∴4a2＝a(a＋5)，∴a＝eq\f(5,3)，∴PC＝2a＝eq\f(10,3).(10分)23．解：由题意知AM＝BN＝，设CD＝xm.∵AE＝AM，AM⊥EC，∴∠E＝45°，∴EC＝CD＝xm，AC＝(x－m.(2分)∵CD⊥EC，BN⊥EC，∴BN∥CD，∴△ABN∽△ACD，(5分)∴eq\f(BN,CD)＝eq\f(AB,AC)，即eq\f,x)＝eq\f,x－，解得x＝.(9分)答：路灯CD的高为.(10分)24．解：(1)∵四边形OABC为矩形，∴AB⊥x轴．∵E为AB的中点，点B的坐标为(2，3)，∴点E的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2))).∵点E在反比例函数y＝eq\f(k,x)的图象上，∴k＝3，∴反比例函数的解析式为y＝eq\f(3,x).(2分)∵四边形OABC为矩形，∴点D与点B的纵坐标相同，将y＝3代入y＝eq\f(3,x)可得x＝1，∴点D的坐标为(1，3)．(4分)(2)由(1)可得BC＝2，CD＝1，∴BD＝BC－CD＝1.∵E为AB的中点，∴BE＝eq\f(3,2).(5分)若△FBC∽△DEB，则eq\f(CB,BE)＝eq\f(CF,BD)，即eq\f(2,\f(3,2))＝eq\f(CF,1)，∴CF＝eq\f(4,3)，∴OF＝CO－CF＝3－eq\f(4,3)＝eq\f(5,3)，∴点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,3))).(7分)若△FBC∽△EDB，则eq\f(BC,DB)＝eq\f(CF,BE)，即eq\f(2,1)＝eq\f(CF,\f(3,2))，∴CF＝3，此时点F和点O重合．(9分)综上所述，点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,3)))或(0，0)．(10分)25．(1)解：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G.∵MN∥AG，∴△ABG∽△MBN.∴eq\f(BG,BN)＝eq\f(AB,MB)，∴eq\f(BG,BN)－1＝eq\f(AB,MB)－1，∴eq\f(BG－BN,BN)＝eq\f(AB－MB,MB)，即eq\f(NG,BN)＝eq\f(AM,MB).(2分)同理，在△ACG和△OCN中，eq\f(NG,CN)＝eq\f(AO,CO)，∴eq\f(CO,AO)＝eq\f(CN,