2023版高三一轮数学复习电子教参（新高考人教版）：第1-3章

学

案

第一章集合、常用逻辑用语、不等式

第一讲集合

知识梳理•双基自测

ZHISHISHULISHUANGJIZICE

回回囤回

知识点集合的基本概念

一组对象的总体构成一个集合.

(1)集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性.

(2)集合中元素与集合的关系：对于元素“与集合A,々CA或局4,二者必居其一.

(3)常见集合的符号表示.

数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*或N+ZQR

(4)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法、区间表示法.

(5)集合的分类：集合按元素个数的多少分为有限集、无限集，有限集常用列举法表示,

无限集常用描述法表示.

知识点二集合之间的基本关系

关系定义表示

相等集合A与集合B中的所有元素都/且回—A_=_B

子集A中的任意一个元素都是B中的元素A_^_B

真子集A是5的子集，且B中至少有一个元素不属于AA____B

注意：(1)空集用「表示.

(2)若集合A中含有八个元素，则其子集个数为2",真子集个数为2"-1,非空真子

集的个数为一2"-2.

(3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合、的真子集.

(4)若BNC,则C.

知识点三集合的基本运算

符号

交集AC1B并集AU8补集［以

语言

图形•

语言

意义AAB={x|xeA且xG8}AUB={x|xeA或xdB}[uA=U|xeU且KA}

画画国画

1.AClA=A,AG0=0.

2.AUA=A,AU0=A.

3.AC([uA)=。，AU([uA)=U，[MCU4)=A

4.AG8台AG8=A0AU8=B今[uA3[uBOAG([u8)=0.

囱国画画

题组一走出误区

I.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)集合A中含有三个元素0,1,x,且feA,则实数x的值为-1.(V)

(2){x|y=f}={y|)，=f}={(x,y)|y=W}.(X)

(3)集合{xWN|『=x}用列举法表示为{1}.(X)

(4)若ACB=AAC,则B=C.(X)

(5)设U=R,A={x|lgx<l},则(uA={x|lgxel}={x|x210}.(X)

题组二走进教材

2.(必修IP9Tl改编)若集合P={xGN|xW隹砺},a=事,则(D)

A.a®PB.{a}ep

C.{a}QPD.a^P

[解析]小阵N,故选D.

3.(必修IP13Tl改编)设全集U=R,集合A={x|0Wx<2},8={y|l〈yW3},则([uA)U

B=(-8,0)U1l,+8).

[解析]因为(〃={x|x>2或x<0},B={y|lWyW3},所以([(/A)UB=(-8,0)U[l,+

°°).

题组三走向高考

4.(2020•课标川,1,5分)已知集合4={1,2,3,5,7,11},B={x|3<r<15},则ADB

中元素的个数为(B)

A.2B.3

C.4D.5

I解析1VA={1,2,3,5,7,11},B={x|3a<15},.-.AnB={5,7,11),：.AHB

中元素的个数为3,故选B.

5.(2021•全国乙，1,5分)已知全集。={1,2,3,4,5},集合/={1,2},N={3,

4),贝比MMUM=(A)

A.{5}B.{1,2}

C.{3,4}D.{］,2,3,4)

［解析］先求MUN,再求(MMUN),即可得出结果.由题意得MUN={1,2,3,4},

则("MUN)={5},故选A.

易错警示学生易因混淆交集和并集的运算而出错.

6.(2021•全国乙，2,5分)已知集合5={小=2〃+1,〃GZ},T={t1t=4n+1,nSZ),

则snr=(c)

A.0B.s

C.TD.Z

［解析J首先结合集合S、7的元素特征得到7S,然后依据集合的交集运算得出结果.依

题知TS,则SCT=T,故选C.

考点突破•互动探究

KAODIANTUPOHUDONGTANJIU

考点一集合的基本概念——自主练透

*■例1(1)(多选题)已知集合4={,也=3忆+1,AGZ},则下列表示正确的是(AB)

A.-2GAB.2023eA

C.33+传AD.-3544

(2)(2020•全国川卷汜知集合集={(左y)\x,)，GN*,y》x},B={(x,y)|x+y=8},则ACS

中元素的个数为(C)

A.2B.3

C.4D.6

(3)已知集合4={。+2,(a+l)2,〃+34+3},若IWA,则2023"的值为」_；若IS,

则a不可能取得的值为-2,—1,0,一1I也，—I；邓.

［解析］(1)当-2=3%+1时，k=-lEZ,故A正确；当2023=3k+l时，k=674GZ,

故B正确；'：kGZ,：.lcGZ,显然弘2+16A,故C不正确；当-35=3%+1时，％=—12

EZ,故D不正确.故选A、B.

(2)4CB={(x,y)|x+y=8,x,yGN*,且y》x}={(l,7),(2,6),(3,5),(4,4)).

(3)若a+2=1,则a=-1»A—{1,0,1},不合题意；若(a+1>=1,则a=0或一2,

当a=0时，A={2,1,3},当〃=-2时，A={0,1,1},不合题意；若〃+30+3=1,则

a=-1或一2,显然都不合题意；因此”=0,所以2023°=1.

VHA,；.a+2Wl,(a+lpWl,解得“WO,-2；4+3“+3工1解得“工一

1,-2.又：a+2、(。+1)2、/+3。+3互不相等，.,.a+2W(a++得aW~~1产；a+2W/

+3〃+3得QW—1；(。+1)2£/+3〃+3得〃W—2；

综上〃的值不可以为-2,-1,0,T产,-11书

名师直披

MINGSHIDIANBO

(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明

白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合.

(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要

注意检验集合中元素是否满足互异性.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.

考点二集合之间的基本关系——师生共研

»■例2(1)(2021•新高考八省联考)已知M,N均为R的子集，且则MU([R/V)

=(B)

A.0B.M

C.ND.R

(2)(多选题)已知集合2j,8={x|or+1=0},且则实数a的可能取值为

(BD)

A.-3B.0

C.2D.3

(3)设集合M={x卜=(+上，kz],N={x,=/+g,,

则下面正确的是(B)

A.M=NB.MN

C.NMD.MCN=。

[解析](1)如图，[RMGN,显然([RN)£M,

・・・MU([RN)=M，故选B.

(@)

所以B={—/冏，Q

(2)本题考查集合之间的关系.由题知8CA,B={x|ar+l=O},

当5={一普时,—1«+1=0,解得。=3；当8={哥时,上+1=0,

解得a=-2；当B=0

时，。=0.综上可得实数a的可能取值为3,0,-2,故选B、D.

(3)解法一：(列举法)，由题意知

111157

M=\…，2'-不6'2'6'6'

(111125

1--

N=<-^①----

10V牙36

16*

显然MN,故选B.

解法二：(描述法)

II2k+1(Ik+2

M=]x\x=—^~,kQZ，%邛产丁

...2Z+1表示所有奇数，而A+2表示所有整数(Z6Z)

：.MN,故选B.

名师克祓

MINGSHIDIANBO

判断集合间关系的3种方法

根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集

列举法

合之间的关系.(如第(3)题解法一)

从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进

描述法

行判断.(如第(3)题解法二)

在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集

数轴法

合之间的关系.

〔变式训练1〕

⑴集合M={x[x=g+1,«ez|,N={)J.y=〃?+g,,则两集合M,N的关系为

(D)

A.MCN=。B.M=N

C.MUND.NJM

(2)(多选题)(2022.重庆市长寿中学月考题)若一个集合是另一个集合的子集，则这两个集

合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合为“蚕食”，

对于集合4={-1,0,2),B={x|a?=2,x@R},若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，

则“的值可以为(ACD)

A.0B.1

C.2D.-I

(3)已知集合4={xCR|/-3x+2=0},8={xGN|0a<5},则满足条件AGCUB的集合

C的个数为4.

(4)已知集合4=**一2024%+2023<0},B={x\x^a},若AU8,则实数a的取值范围

是［2023,+8).

I解析］(1)由题意，对于集合M,当"为偶数时，设〃=2k(%ez),则x=k+l伙WZ),

当"为奇数时，设”=2k+l(/eZ),则x=A+l+；(/eZ),：.NQM,故选D.

(2)若B=A,则8=0,解得“W0,故选A、D.

若两个集合有公共元素，则一1G8,解得。=2,

若2C以解得“=今经检验符合题意，故选C.

因此选A、C、D.

(3)由题意可得，A={1,2},B={1,2,3,4}.

XVAECCfi,；.C={1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4),二有4个.

(4)由产一2024x+2023<0,解得1<%<2023,

故A={x［l<x<2023}.

又B={x|xW。},AQB,如图所示，可得“22023.

考点三集合的基本运算——多维探究

角度1集合的运算

»■例3(1)(2021.新高考I,1,5分)设集合A={x|—2<x<4},B={2,3,4,5},则

AAB=(B)

A.{2}B.{2,3}

C.{3,4}D.{2,3,4)

(2)(多选题)(2022・潍坊质检)已知集合A={x|-laW3},集合B={x||x|W2},则下列关系

式正确的是(BD)

A.ACB=0

B.AUB={x|-2WxW3}

C.4U[R8={X|XW-1或x>2}

D.AC[RB=32<XW3}

(3)(2021•浙江杭州模拟)已知全集U=R,集合A={x*—3x+2<0},集合B={x|log3(x

+1)<1},则AU8=(—1,2),(fRA)ng=(-1,11.

[解析](1)在数轴上表示出集合4,如图，由图知4nB={2,3}.

-2-101234

⑵•.泡={4一1<%近3},8={x||xW2}={X-24W2},

；.AnB={M-l<xW3}C{xL2WxW2}={xLl<xW2},A不正确;

AUB={x|-l<xW3}U{x|-2WxW2}={x|-2WxW3},B正确;

[RB={X|X<—2或x>2},

.".AUCRB={X[—1<X<3}U{X\X<—2或x>2]={x\x<-2或x>—I},C不正确;

ACCRB={x|-l<rW3}C{x|x<-2或x>2}={x［2<xW3},D正确.

(3)依题意可知，A^{x\l<x<2］,B={x|0<x+l<3}={x|-1a<2},所以AUB=(-1,2),

［RA={X|XW1或x22},所以(］RA)CB=(-1,I］.

角度2利用集合的运算求参数

»■例4(1)已知集合力={川/-3x<0},B={1,a］,且AAB有4个子集，则实数a

的取值范围是(B)

A.(0,3)B.(0,1)U(1,3)

C.(0,1)D.(一8,1)U(3,+8)

(2)已知集合4={x|-2Wx25},B={x|/n+l忘xW2m-l}#0,若ACB=B,则实数，”的

取值范围为［2,3］.

［解析1(1)因为ACB有4个子集，所以AA8中有2个不同的元素，所以所以

a2-3a<0,解得0<“<3.又所以实数a的取值范围是(0,1)U(1,3),故选B.

(2)由ACB=B知，BQA.

-2m+12m-15x

12m—12〃i+1,

又BW。，贝2,解得2W/n<3,

1.2m-1^5.

则实数机的取值范围为［2,3］.

［引申1］本例⑵中若B=\x\m+11}情况又如何？

I解析I应对B=0和BW。进行分类.

①若8=0,则2m一1<m+1,此时，"<2.

②若BW。,由例得2—

由①②可得，符合题意的实数〃?的取值范围为(-8,3］.

［引申2］本例(2)中是否存在实数〃?，使AUB=8?若存在，求实数"的取值范围：若不

存在，请说明理由.

［〃?+1W—2,

［解析］由AUB=B,即AG8得、〜

［2m—135,

mW—3,

即，不等式组无解，故不存在实数加，使AUB=B.

/九33,

［引申3］本例(2)中，若B={X|/M+1<XW1—2相},AB,则m的取值范围为(一8,一

3］_.

1<-2,

［解析］由题意可知，.八、厂解得mW—3.

1—2〃?25,

5X

m+l-25l-2m

名帅点极

MINGSHIDIANBO

集合的基本运算的关注点

1.集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.

2.有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于

解决.

3.注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.

4.根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后应用数形结合求解.

(变式训练2〕

(1)(角度1)(2021•全国甲)设集合M={1,3,5,7,9},N={x\2x>7],则MCN=(B)

A.{7,9}B.{5,7,9}

C.{3,5,7,9}D.{1,3,5,7,9}

(2)(角度1)设全集U=R,集合A={x|0WxW2},8={y|lWyW3},贝贝0A)UB=(D)

A.(2,3]B.(一8,1|U(2,+8)

C.[1,2)D.(一8,0)U[l,+8)

(3)(角度2)(2020・全国卷I)设集合A={x*—4W0},B={x|2%+aW0},且AAB={x|-

2Wx〈l},则a=(B)

A.-4B.-2

C.2D.4

(4)(角度2)已知集合A={x|-3WxW4},8=国2%—1WxW%+1},且BU4,则实数m

的取值范围是J—1,+8」.

[解析](1)对可化简的集合，先化成最简形式；注意仔细审题，利用“n”的含义，进

行基本运算.N={x|2x>7}=>卜4},故MAN={5,7,9},故选B.

(2)[源={小<0或x>2},则(CuA)UB={x|x<0或x》l},故选D.

(3)解法一：易知A={x|-2Wx<2},,W-5),因为ACB={x|-2Wx〈l},所

以一彳=1,解得〃=一2.故选B.

解法二：由题意得A={x|-2〈xW2}.若a=-4,贝U8={x|xW2},又A={x|-2〈xW2},

所以ACB={x|-2WxW2},不满足题意，排除A；若。=一2,则8={*仅忘1},又A={x|

一2WxW2),所以AC8={x|—2WxWl},满足题意；若〃=2,则8={彳|^(-1},又A={R

-2WxW2),所以An8={x|-2WxW-l},不满足题意，排除C；若〃=4,则B={x|xW-

2},又A={x|-2WxW2},所以AAB={x|x=-2},不满足题意，故选B.

(4)；BUA,

①当8=0时，2机一1>m+1,解得机>2,

2m—1<%+1,

②当8W0时，<2m—12—3,

yn+1^4,

解得一1

综上，实数相的取值范围是［-1,+8).

名师讲坛•素养提升

MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG

集合中的新定义问题

»■例5定义集合的商集运算为於卜卜唱m&A,

n^B,已知集合A

，则集合(穿UB中的元素个数为(B)

A.6B.7

C.8D.9

［解析］由题意知，

B={0,1,2},彳={。,不4'3'2'4,

则作)UB={(),1,1,1,2p共有7个元素.

名师直祓

MINGSHIDIANBO

集合新定义问题的“3定”

(1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素.

(2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集

与补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题.

(3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素.

〔变式训练3〕

对于任意两集合A,B,定义A-B={x|xe4且涓B},4*B=(A-8)U(B—A),记人=

{x|x》O},B={x|-3Wx<3},则4*8=闺-3<<0或x>3}.

［解析］VA=lxlx^O},8={M-3WxW3},

；.4-B={x|x>3},B-4={x|-3Wx<0}.

.•・A*8={x］—3<x<0或x>3}.

第二讲充分条件与必要条件

知识梳理•双基自测

ZHISHISHULISHUANGJIZICE

画画画画

知识点一充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p=q,则p是4的区分_条件，q是。的里要一条件

p是q的一充分不必要一条件p=q且q#p

p是q的必要不充分条件p*q且q=p

p是q的一充要一条件pgq

p是q的—既不充分也不必要—条件p*q且q#p

画回园国

1.若人=国0。)},B={x\q(x)},则

(1)若AU8,则p是g的充分条件；

(2)若A2B,则〃是q的必要条件；

(3)若A=8,则p是4的充要条件；

(4)若AB,则p是g的充分不必要条件；

(5)若4B,则p是q的必要不充分条件；

(6)若Ag8且41B,则p是的既不充分也不必要条件.

2.充分条件与必要条件的两个特征：

(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p=q"O“#p”.

(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)

条件,即“p=q且f=>("内且汽”=>“吟”).

注意：不能将“若p,则与“pnq”混为一谈，只有“若p,则为真命题时，才

有“p0q”,即“p0q”台“若p,则为真命题.

国图回回

题组一走出误区

1.判断下列结论正误(在括号内打“J”或“X”)

(1)当4是p的必要条件时，p是〃的充分条件.(J)

(2)已知集合A,B,则AUB=AC8的充要条件是A=A(V)

(3)若已知p：x>l和q：则p是q的充分不必要条件.(J)

(4)“a=/T是"tana=tan.”的充分不必要条件.(X)

TT

［解析］(4)当时，tana.tan.都无意义.因此不能推出tana=tanP，当tana

=tan”时，a—^+kit,kWZ,不一定a=£,因此是既不充分也不必要条件.

题组二走进教材

2.(必修IP22练习T1改编)“x—3=0”是“(x—3)(x-4)=0”的充分必必要.条件.(选

填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）

3.（必修1P22习题T2改编X-Sx+ZWO是xW1的一充分不必要一条件.

［解析Jx=l是X2—3x+2=0的充分不必要条件.

4.（必修IP23T5改编）函数於）=f+/nr+l的图象关于直线x=l对称的充要条件是々

=一2一.

题组三走向高考

5.（2020.天津卷）设aGR,则是“层>"，的（A）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

［解析］由。2>”，得a2-a>0,解得。>1或4<0,

；.“a>1”是％2>浦，的充分不必要条件.

6.（2021・浙江，3,4分）己知非零向量a,b,c,则“a-c="c"是ua=bn的（B）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

［解析］利用平面向量的数量积定义分别判断命题“若a-c=》c,则a=b”与“若a=A,

则。c="c"的真假性即可.

若c与向量a,力都垂直，则由0c="c不一定能得到a=b；

若a=b,则由平面向量的数量积的定义知ac=bc成立，故uac=bc''是"a=b”的

必要不充分条件.故选B.

考点突破互动探究

KAODIANTUPOHUDONGTANJIU

考点一充分条件与必要条件的判断——师生共研

方法1：定义法判断

»■例1（2021・北京，3,4分）设函数4X）的定义域为［0,1］,则“函数段）在［0,1］上

单调递增”是“函数_/（x）在［0,1］上的最大值为负1）”的（A）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

［解析］若式x）在［0,1］上单调递增，则大x）在［0,1］上的最大值为.穴1）;若式x）在［0,1］

上的最大值为70),则兀v)未必在［o,i］上单调递增，如图.故选A.

■例2已知p：<］-log2X<0.则"是q的(B)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

［解析］由知x>0,所以p对应的x的范围为(0,+°°),由k>g2X<0知0a<1,所

以q对应的x的范围为(0,1),显然(0,1)(0,+8),所以p是q的必要不充分条件.

方法3等价转化法判断

»例3⑴给定两个条件p,q,若rp是q的必要不充分条件，则p是rq的(A)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

1JT

(2)“已知命题p：coscc#］,命题0aW］”，则命题p是命题^的(A)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

［解析］(1)因为是g的必要不充分条件，则9=「P，但「P#q,其逆否命题为〃今「4,

但-所以〃是f7的充分不必要条件.

(2)->p：cosa=y丑：。=会显然P*P，「p/F，夕是「P的充分不必要条件，从

而〃是夕的充分不必要条件，故选A.

17r717r

另解：若cosaW］,则QW2依巧(A£Z),则a也必然不等于？故p吗?；若但a

TTI

=一1时，依然有cosa=/,故所以p是q的充分不必要条件.故选A.

名师支披

MINGSHIDIANBO

有关充要条件的判断常用的方法

(1)根据定义判断：①弄清条件p和结论q分别是什么；②尝试pq0p.若p0q,则

p是4的充分条件；若g=p,则p是q的必要条件；若p=q,q#p,则p是q的充分不必要

条件；若p/q,q=p,则p是q的必要不充分条件；若q=p,则p是4的充要条件.

(2)利用集合判断

记法4={x|p(x)},8={x|q(x)}

关系ABBAA=BA2B且A

〃是夕的充分不必p是q的必要不充p是q的既不充分

结论p是q的充要条件

要条件分条件也不必要条件

(3)利用等价转化法：对4F带有否定性词语的命题，常用此法，即要-削断p是q的什么条

件，只需判断中是rp的什么条件.

〔变式训练1〕

(1)指出下列各组中，p是g的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充

要条件"''既不充分也不必要条件”中选出一种作答).

①非空集合A,B中，p-.xE(AUB),q-.

②已知x,yGR,p：。-1)2+。，-2)2=0,q-.(x-1)。-2)=0；

③在△ABC中，p：A=B,q：sinA=sin&

④对于实数x,y,p：x+》r8,q：x#2或y#6.

(2)“1>1”是”的(A)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

［解析］(1)①显然xC(AUB)不一定有但xGB一定有xG(AUB),所以p是q的

必要不充分条件.

②条件p：x=l且y=2,条件q：x=l或y=2,所以p=>q但故p是q的充分不

必要条件.

③在△ABC中，A=B今sinA=sin8；反之，若sin4=sin以因为A与B不可能互补(三

角形三个内角之和为180。)，所以只有A=8,故p是q的充要条件.

④易知->p：x+y=8,1q：x=2且y=6,显然-«夕=->p,但->p声-所以「q是~>p的充分

不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p是4的充分不必要条件.

(2)V^>1,.\xG(0,1).'：ex~'<\,：.x<\,

即xe(-8,i).二"5>i”是的充分不必要条件.

或用集合法：：①，1)(一8,1),二是％厂七1”的充分不必要条件.

考点二充分、必要条件的应用——师生共研

►►例4(1)已知P={x|/—8X-20W0},非空集合5={川一mWxWl+间.若x

GP是xGS的必要条件，则m的取值范围是［0,3］.

(2)在⑴中若把条件“若xep是XGS的必要条件”改为“若xep是xes的必要不充分

条件”，则，〃的取值范围是10,31.

［解析1(1)由f—8x—20W0,得一2<xW10,

所以尸={x|-2Wx<10},

由xGP是xGS的必要条件，知S=P,

1—mW1+m,

则《1—，”》一2,所以0WznW3,

」+〃iW10,

所以当0W，〃W3时，xep是xes的必要条件，即所求，”的取值范围是［0,3］.

(2)方法一：由(1)若xd尸是xGS的必要条件，则0WmW3,

当机=0时，S={1},满足题意；当机=3时，S={x|-2〈xW4}满足题意，故机的取值

范围为［0,3］.

方法二：若XG尸是XCS的必要且充分条件，则P=S,即,今相无解，

二〃？的取值范围是［0,3］.

名师直拨

MINGSHIDIANBO

本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归

为简单、熟悉的问题来解决.一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题时，常常

要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键.

〔变式训I练2〕

(1)已知「：lWxW2,q：(x-a)(x-a-l)W0,若p是4的充要条件，则实数a的值为

(2)已知p：4X+;M<0,q：x2—x—2>0,若p是q的一个充分不必要条件，求”?的取值范

围.

m.m

［解析］(2)；4x+m<0,：.X<—^,•.•p：x<—^.

Vx2—x—2>0,.*.x<—1或x>2,

:・q：x<—1或x>2.

、：p=q、fw—1,・••加24.

即加的取值范围是［4,+oo).

［答案］(2)［4,+8)

考点三充要条件的探求——师生共研

m例5已知两个关于x的一元二次方程如2—4x+4=0和x2—4/nx+4/w2—4/n—5=

0,求两方程的根都是整数的充要条件.

［解析］因为加4x+4=0是一元二次方程，所以

又另一方程为X2—4mx+—4^—5=0,且两方程都要有实根，

［4=16(1—〃。20,

所以\、

〔』2=16加2—4(4加2—4/7?—5)^0,

「5-

解得相£一71.

因为两方程的根都是整数，

故其根的和与积也为整数，

f-ez,

m

所以<4/nGZ,

<4/M2—4/«—5GZ.

所以m为4的约数.

"5"

又因为mW—4-1.

所以m——\或1.

当m=-1时，第一个方程^+以一4=0的根不是整数；

而当m=1时，两方程的根均为整数，

所以两方程的根均为整数的充要条件是加=1.

名师堂破

MINGSHID1ANB0

探究充要条件的关键在于转化的等价性，解题时要考虑条件包含的各种情况，保证条件

的充分性和必要性.

〔变式训练3〕

(1)命题“对任意xG",2),为真命题的一个充分不必要条件可以是(B)

A.a》4B.a>4

C.D.a>\

(2)(2022・武汉质检)关于x的方程湛+〃x+c=O(arO)有一个正根和一个负根的充要条件

是ac<0.

［解析］(1)要使“对任意xd［l,2),d-aWO”为真命题，只需要”24,所以“>4是命题

为真的充分不必要条件.

(2)加+法+已=0(〃£0)有一个正根和一个负根的充要条件是$c即QC<0.

胪，

名师讲坛素养提升

MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG

抽象命题间充要条件的判定

■例6己知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，S是r的必要条件，q是

s的必要条件，现有下列命题：①r是q的充要条件；②p是q的充分不必要条件；③，是q

的必要不充分条件；④rp是f的必要不充分条件；⑤r是s的充分不必要条件，则正确命题

的序号是(B)

A.①④⑤B.①②④

C.②③⑤D.②④⑤

［分析］本题涉及命题较多，关系复杂，因此采用“图解法”.

［解析］由题意得显然q0，且r=>s=>q,即q㈡r,①正确；且q/

p,②正确；0q,③错误；由p=>s知F=rp,但s#>p,.,.rp：分f,④正确；rOs,⑤错误.故

选B.

名帅直彼

MINGSHIDIANB0

命题较多、关系复杂时，画出各命题间关系图求解，简洁直观，一目了然.

〔变式训练4〕

若p是r的必要不充分条件，q是r的充分条件，则〃是4的一必要不充分条件.

I解析］由题意可知晶),；.p是q的必要不充分条件.

第三讲全称量词与存在量词

知识梳理双基自测

ZHISHISHULISHUANGJIZICE

画画图画

知识点全称量词与存在量词

1.全称量词与存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符合“一

V”表示.

(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符

号“々_”表示.

2.全称命题和特称命题

名称全称命题特称命题

结构对M中的任意一个x,有p（x）成立存在M中的一个xo，使p（xo）成立

简记汉X）_mxo£M,〃(/o)一

否定->p(xo)_Vx£M,->〃0)

画画回画

1.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.

2.对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定.

3.命题p和R的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定

的真假.

囱国画国

题组一走出误区

1.判断下列结论正误（在括号内打“或“X”）

（1）至少有一个三角形的内角和为无是全称命题.（x）

（2）“全等三角形的面积相等”是特称命题.（X）

（3）写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词.（V）

（4）”长方形的对角线相等”是特称命题.（X）

题组二走进教材

2.（必修IP31练习T1改编）命题f+x+l>0”的否定是三xoGR,叙+必+

1W0.

必修习题改编）命题“三松高的否定是

3.