安徽省“皖东县”2021-2022学年高三上学期理数期末联考试卷

安徽省“皖东县中联盟”2021-2022学年高三上学期理数期末联考试卷

阅卷人

单选题（共12题；共24分）

得分

1.(2分)已知全集［7=&A=(x\x<0］,B={x\x>2］，则集合的(4UB)=()

A.{x|x>0}B.{x|x<2}

C.{x|0<x<2}D.{x|0<x<2}

【答案】D

2.（2分）若（1—i）z=2—4i,i为虚数单位，贝lj|z|=（）

A.10B.V10C.V5D.V2

【答案】B

3.（2分）在平面直角坐标系中，若角8的终边经过点P（-sin?cos筋则cos。=（）

A.1B.一JC.乌D.一立

2222

【答案】D

4.（2分）设等差数列{a"的前n项和为工，已知。3+%3=12,贝!JS”=（）

A.90B.180C.45D.135

【答案】A

5.（2分）若直线1经过圆C：/+y2+4x—2by=0的圆心，且倾斜角为金，则直线1的方程为

)

A.V3x—y+3V3=0B.x+V3y-1=0C.V3x+y+V3=0D.x—V3y+5=0

【答案】B

6.（2分）在如今这个5G时代，6G研究己方兴未艾.2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际

研讨会在北京举办.会上传出消息、，未来6G速率有望达到ITbps,并启用毫米波、太赫兹、可见光

等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延

达到亚毫秒级水平.香农公式。=勿1（^2（1+点）是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表

示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信

道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫叫做信噪比.若不改变带宽W,而将信噪比部9提升至

161,则最大信息传递率C会提升到原来的（）参考数据：log23=1.58,log25=2.32.

A.2.4倍B.2.3倍C.2.2倍D.2.1倍

【答案】C

7.（2分）已知m,n不全为0,则“直线-ny-2=0与圆好+y2=4相离”是“点（小，力在圆

x2+y2=4内”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

8.（2分）已知F为双曲线C：匕>。）的上焦点，过F作双曲线一条渐近线的垂

线，垂足为P，若|PF『—|OP|2=a2,则双曲线C的离心率为（）

A.V2B.V3C.2D.3

【答案】B

9.（2分）若函数/（x）=ex（cosx—a）在区间[0,兀]上单调递减，则实数a的取值范围是（）

A.[—+00）B.[1,+8）C.（1,+co）D.（—V2,+8）

【答案】B

10.（2分）已知定义在R上的函数2）的图像关于直线4=2对称，当XW0时，f（x）=2X+

2x,若f（2x—l）>f（x+3）,则实数x的取值范围是（）

A.（—00,4）B.（4,+00）

77

C.（-oo,—可）U（4,+00）D.（—,4）

【答案】D

2

11.（2分）已知点A,B在椭圆号+y2=i上，点A在第一象限，0为坐标原点，且0414B.若

△0AB是等腰三角形（点0,A,B按顺时针排列），则0A的斜率为（）

A.3+V5或3->/5B.V5+1或—1C.D.2+'或2—V3

【答案】A

12.（2分）足球运动成为当今世界上开展最广、影响最大、最具魅力、拥有球迷数最多的体育项目

之一，2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛.比赛于2022年11月21日至12月18日在卡

塔尔境内7座城市中的12座球场举行.已知某足球的表面上有四个点A,B,C,D满足AB=BC=

AD=BD=CD=V2dm.二面角A-BD-C的大小为冬，则该足球的体积为（）

A.噜［加3B.学算dm3C.翳dm3D,衿算d/

z/z/乙/z/

【答案】A

阅卷入

—二、填空题(共4题；共4分)

得分

(x+y<4

13.(1分)若变量x,y满足约束条件忸一y22,则目标函数z=2x+y的最大值为________.

(x—2y<1

【答案】7

14.(1分)已知225的所有正约数之和可按如下方法得到：因为225=32x52,所以225的所有正

约数之和为(14-3+32)+(5+5X3+5x32)+(52+52x3+52x32)=(1+3+32)(1+5+

52)=403,参照上述方法，可求得500的所有正约数之和为.

【答案】1092

15.(1分)在等腰梯形ABCD中，AB//CD,AB=2CD=4,梯形ABCD的面积为6,E为AB的

中点，F为线段AD上的动点(含端点)，则齐•前的取值范围是.

【答案】/，8］

16.(1分)设函数/(%)=xlnx+2,若存在区间［a,6］c［1,e］,使f(x)在［a,b］(aKb)上的值域

为［k(a+l),k(b+l)］，则实数k的取值范围是.

【答案】(1,第］

阅卷人

三、解答题(共6题；共60分)

得分

17.(10分)在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且siM/l+siMc=siMB+

sin/sinC.

(1)(5分)求B；

(2)(5分)若点M在AC上，且满足BM为44BC的平分线，BM=2,cosC=璋,求BC的

长.

【答案】(1)解：在中，sin2/l4-sin2C=sin2B+sin/lsinC,

由正弦定理得：a2+c2=b2+ac.

2

由余弦定理得：COSB=^+.^p=1

2ac2

因为BG(0,兀)，所以8=

(2)解：因为cosC=半，Ce(0,兀)，所以sinC=—cos2c=J1—(孚)2=岑.

因为DBM为乙4BC的平分线，所以O

所以sinzlBMC=sin[7r-乙MBC-zC]

=sin(zMFC+ZC)

=sinzMSCcoszC+coszMBCsinzC

1vnV32/7

=2X^F+TX~7~

3V21

=-^-

2BC

在AMBC中，由正弦定理得：即初=传，解得：BC=^.

sinesinZ-D/*7c―y——位-2

18.(10分)已知数列｛a4｝的前n项和s”=与网，neN*.

(1)(5分)求数列｛a"的通项公式；

(2)(5分)设%=3%+(-])"一4求数列出”｝的前2n项和.

【答案】(1)解：当n=1时，Si==2=a]，

当"22时，an=Sn—551=吗网一的吗%二口=兀+1，

当九=1时，上式也成立，

所以册=71+1

(2)解：匕=3%+(—1)-。八=3计1+(—1)-1(九+1)，

设数列｛%｝的前2九项和为72九，

则72n=71+勿+%+卜4+--卜^2n-l+』2n

=(32+2)+(33-3)+(34+4)+(35-5)+…+(32n+2n)+(32n+1-2n-1)

=(32+3?+…+32n+i)+[(2—3)+(4—5)+…+(2n—2n—1)]

32x(l-32n)

=1^3n

32n+2-2n-9

=2

19.(10分)已知平面向量而=(鱼cosx—1,sinx),n=(V2cosx4-1,275cos%),函数/(%)=访。

n.

(1)(5分)求函数f(%)的最小正周期和对称轴；

(2)(5分)将函数f(x)的图象向左平移多个单位，然后再将各点的横坐标伸长到原来的2倍得到

函数g(%)的图像，若函数g(%)经过点(0,1),06(-^,求sin。的值.

【答案】(1)解：由题意，平面向量访=(V^cos%—1,sin%),n=(V2cosx+1,2遮cos%),

可得函数/(%)=m-n=(V2cosx-l)(V2cosx4-1)+2\/3sinxcosx

=2cos2%-14-V3sin2x=V3sin2x+cos2x=2sin(2x+看)，

所以函数f(%)的最小正周期为7=兀，

令2%+看=5+kmkGZ9解得％=—+竽,kEZf

即函数f(x)的对称轴的方程为％屋+竽，k€Z

(2)解：由⑴知/(x)=2sin(2x+凯

将函数/⑶的图象向左平移亨个单位，可得y=2sin(2x+%，

再将y=2sin(2x+系)各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到g(x)=2sin(x+系)，

因为函数g(x)经过点(。，|),可得2sin(。+%=即sin(。+/=

又因为0e(T，，)，可得0+得€弓，岑)，所以cos(6+%=-卷，

所以sin®=sin[(0+•)—=sin(0+患)cos普—cos(0+^-)sin^-

4易134

-XX-=-

5(-2o

20.(10分)如图，在三棱锥M—4BC中，MB，平面ABC,乙4cB=90。，MB=2,AB=4.

c

(1)(5分)求证：平面MAC，平面MBC；

(2)(5分)若直线AB与平面MBC所成角为45。，点E为AM的中点，求二面角B-CE—A的

正弦值.

【答案】(1)证明：在三棱锥M—4BC中，MB1平面ABC,ACu平面ABC,

所以MB1AC,又NACB=90。，AC1BC,

且=MB,BCu平面MBC,

所以AC_L平面MBC,ACu平面MAC,

所以平面MACJ_平面MBC；

(2)解：由(1)知4CJ?P®iMBC,故乙4BC即为直线AB与平面MBC所成角，

则N4BC=45°,故BC=4Bcos45°=2^2,

以B为坐标原点，在平面ABC内过点B作AB的垂线，作为x轴，BA为y轴，BM为z轴，建立

则8(0,0,0),C(2,2,0),M(0,0,2),E(0,2,1),A(0,4,0),

故而=(0,2,1),CE=(-2,0,1),EA=(0,2,一1),

设平面BCE的法向量为沅=(x,y,z),

则舁器::，即｛绥工I，

可取％=1,则得平面BCE的一个法向量为沆=(1,-1,2),

设平面ACE的法向量为记=(Q,b,c)，

C5：S，唱23

可取a=1,则得平面ACE的一个法向量为元=(1,1,2).

故cos〈记，元)=滞需=熹=|，

由图知二面角B—CE—A为钝角，其余弦值为一|,

则二面角B-CE-4的正弦值为李.

21.(10分)已知抛物线C：y2=2p%(p〉0)的焦点为F,点P(4,%)是抛物线C上一点，点Q是

PF的中点，且Q到抛物线C的准线的距离为

(1)(5分)求抛物线C的方程；

(2)(5分)己知圆M：(x—2)2+y2=%圆M的一条切线1与抛物线C交于A,B两点，0

为坐标原点，求证：OA,0B的斜率之差的绝对值为定值.

【答案】⑴解：根据题意可列p+%4=7np=2

故抛物线C的方程为V=4X

(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，直线48的方程为x=4,4(4,-4),8(4,4).k0A=

-1,=I,Ik%—kosl=2.

②当直线4B的斜率存在且不为0时，故设直线4B的方程为y=kx+b,

圆M的一条切线1与抛物线C交于A,B两点，故d=七+"=2nkb=l-q

“+1’

设4(乙，XI).B(XB,yB)

把直线AB的方程与抛物线进行联立=k2x2+(2kb—4)x+反=0

4-2协b2

XA+XBp—,xA-xB=p-.

k—力_y

K0A—XA，KkOB-XB'

....仙

yB,__b\xB-XA\b^xB+xAf-4XAXB

\K0A~K0BI_I三XA三XB-I_IXvAXvBI_IXvAXvBI_IXvAXvBI

_।।_।4N4

-I------p------1-'-b~'-1---b----1-W.

?

综上所述：0408的斜率之差的绝对值为定值为2.

11

22.(10分)已知f(%)=-a%?+瓶%,5(x)=—mlnx(m6R).

⑴(5分)若函数/(%)在点(1,/(I))处的切线斜率为1,求函数g(%)的单调区间;

(2)(5分)已知九(%)=f(%)-g(%)的两个零点为%0x2(%i<x2)，且%o为九(%)的唯一极值点,

求证：2x0V+如

【答案】(1)解：f(%)=—%4-m,

因为函数/(%)在点(1,/(I))处的切线斜率为1,

所以/'(1)=一1+m=1，解得TH=2,

所以g(x)=^%2+2%—21n%,(%>0),

则g'(%)=%+2-私=-2,(%>0),

令g(%)>。，则x>遮一1，令g(%)VO,则OVxV机一1，

所以函数g(%)在(0,再一1)上递减，在(国一1,+8)上递增

(2)证明：九(x)=/(%)—g(%)=—工？+mg%,(x>0),

2X+M

h(x)=-2x+Y=-^T(%>。)，

当巾<。时，h'(x)<0>

所函数/i(x)在(0,+8)递减，

故函数h(x)最多一个零点，不符题意,

当血>0时,

口寸,h(x)>0<%>酹时

0<%<h(x)<

场上递增，在/

所以函数九(%)在(0,+8)上递减,

所以%()=J垓，

又因为九(%)=/(%)-g(x)的两个零点为％1，%2(%1V%2)，

所以h(x)max=h(J^)=—夕+4巾1”竽>。，所以m>2e,

所以0V%iV<%2，

=九(%2)=0，

22

BP—x1+mln%1=-x2+rrtlnx2,

令t=宗，(t>1)，

人1

22

则有一％J+m\nx1=—t%1+mint%1，

所以打2=寥，

r-1

要证2%oV+%2，

即证(t+l)xt>V2m,

即证(t+1)2•粤匹>2巾,

t—1

即证(t+l)lnt-2t+2>0,

令3(t)=(t+l)lnt-2t+2,(t>1),

则W'(t)=Int+-2=Int+^—1,(t>1)>

令F(t)=lnt+y-1,(t>1)，

，11t—1

则F(£)=/一理=-p->。，&>1)，

所以函数F(£)在(1,+8)上递增，

所以F(t)>F(l)=O,

即/«)>0在t6(1,+oo)上恒成立，

所以函数0(t)在(1,+8)上递增,

所以0(t)>9(1)=0,

所以Q+l)lnt—2t+2>0,

即2%0<%1+%2•

试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分：88分

客观题（占比）26.0(29.5%)

分值分布

主观题（占比）62.0(70.5%)

客观题（占比）14(63.6%)

题量分布

主观题（占比）8(36.4%)

2、试卷题量分布分析

大题题型题目量（占比）分值（占比）

填空题4(18.2%)4.0(4.5%)

解答题6(27.3%)60.0(68.2%)

单选题12(54.5%)24.0(27.3%)

3、试卷难度结构分析

序号难易度占比

1普通(54.5%)

2容易(40.9%)

3困难(4.5%)

4、试卷知识点分析

序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号

1直线与平面垂直的性质10.0(11.4%)20

2等比数列的前n项和10.0(11.4%)18

3椭圆的简单性质2.0(2.3%)11

4复数代数形式的混合运算2.0(2.3%)2

5圆的一般方程2.0(2.3%)5

6直线与圆的位置关系2.0(2.3%)7

7利用导数求闭区间上函数的最值2.0(2.3%)9

8等差数列的性质2.0(2.3%)4

9直线与圆锥曲线的综合问题12.0(13.6%)11,21

10平面与平面垂直的判定10.0(11.4%)20

11最小公倍数1.0(1.1%)14

12两角和与差的正弦公式20.0(22.7%)17,19

13双曲线的简单性质2.0(2.3%)8

14数量积的坐标表达式11.0(12.5%)15,19

15同角三角函数间的基本关系10.0(11.4%)17

16数列的求和10.0(11.4%)18

直线的图象特征与倾斜角、斜率的

172.0(2.3%)5

关系

18正弦定理10.0(11.4%)17

19点到直线的距离公式2.0(2.3%)8

20正弦函数的单调性10.0(11.4%)19

21余弦定理10.0(11.4%)17

22等差数列的前n项和12.0(13.6%)4,18

23函数单调性的性质13.0(14.8%)10,16,22

24对数的运算性质2.0(2.3%)