考点17圆-备战2022年中考数学必考点与题型全归纳（全国通用）（原卷版）

考点17圆

命题趋势

该板块内容以考查综合题为主，也是考查重点，除了填空题和选择题外，年年都会考查综合题，对多数考

生来说也是难点，分值为12分左右。预计2022年各地中考肯定还是考查的重点在选择、填空题中考查三

角形的外心、正多边形、弧长、扇形面积，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结

合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形

式给出，难度较大。关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分。

知识梳理

一、圆的有关概念

1.与圆有关的概念和性质

1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.

2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.

3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.

4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.

5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.

6）弦心距：圆心到弦的距离.

2.注意

1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；

2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.

3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.

二、垂径定理及其推论

1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直

角三角形.

2.推论

1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

三、圆心角、弧、弦的关系

1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.圆心角、弧和弦之间的等量关系

必须在同圆等式中才成立.

2.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各

组量都分别相等.

四、圆周角定理及其推论

1.定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

2.推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.2）直径所对的圆周角是直角.

圆内接四边形的对角互补.在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角

间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.

五、与圆有关的位置关系

1.点与圆的位置关系

设点到圆心的距离为d.（l）d<ro点在。。内：（2）d=r=点在。。上；（3）d>r=点在。。外.

判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可.

2.直线和圆的位置关系

位置关系相离相切相交

图形

公共点个数0个1个2个

数量关系ct>rd-rd<r

由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.

六、切线的性质与判定

1.切线的性质

I）切线与圆只有一个公共点.2）切线到圆心的距离等于圆的半径.3）切线垂直于经过切点的半径.

利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.

2.切线的判定

1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.

2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.

3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共

点时，作垂直，证垂线段等于半径.

七、三角形与圆

1.三角形的外接圆相关概念

经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接

三角形.外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.

2.三角形的内切圆

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外

切三角形.内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等.

八、正多边形的有关概念

正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.

正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径.

正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角.

正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

九、与圆有关的计算公式

1.弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长上吗；扇形的面积养竺

1803602

2.圆锥与侧面展开图

1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.

2）若圆锥的底面半径为r,母线长为/,则这个扇形的半径为/,扇形的弧长为2”,

圆锥的侧面积为S|W删/圆锥的表面积：S网域衣=SMtsns+S网锥底=兀〃+兀，2=兀厂.（/+r）.

2

在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解.

重点考向

考向1圆的基本认识

1.在一个圆中可以画出无数条弦和直径.

2.直径是弦，但弦不一定是直径.

3.在同一个圆中，直径是最长的弦.

4.半圆是弧，但弧不一定是半圆.弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°,劣弧的度数小于180°,优弧

的度数大于180°.

5.在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧.

典例引领

1.（2021•湖南娄底市•中考真题）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个

角就是1弧度角，记作Irad.已知a=lrad,，=60。，则a与夕的大小关系是a夕.

2.（2021•山东临沂市•中考真题）数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知

识，说法正确的是一（只填写序号）.

①射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”；

②车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”；

③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”；

④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等

EIS

变式拓展

1.（2021•江苏徐州市•中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，己知圆的直径与正方形的

对角线之比为3：1,则圆的面积约为正方形面积的（）

A.27倍B.14倍D.3倍

2.（2022•黑龙江•大庆市九年级期末）如图，在等腰RAABC中，AC=BC=3&，点P在以斜边AB为直

径的半圆上，M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点8时，点M运动的路径长是

考向2垂径定理

1.垂径定理中的“弦''为直径时，结论仍然成立.

2.垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了理论依据.

典例引领

1.（2021•湖北鄂州市•中考真题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全

书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心。为圆心的圆，如图2,已

知圆心。在水面上方，且。。被水面截得的弦A3长为6米，0。半径长为4米.若点C为运行轨道的最

低点，则点。到弦AB所在直线的距离是（）

图1图2

A.1米B.（4—J7）米C.2米D.（4+⑺米

2.（2021•四川自贡市•中考真题）如图,AB为。。的直径，弦CD1A8于点F,OEJ_A。于点E,若OE=3,

08=5,则CD的长度是（）

A.9.6B.475C.56D.19

变式拓展

1.（2021•四川广安市•中考真题）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到B地有观赏路

（劣弧A3）和便民路（线段AB）.已知A、8是圆上的点，。为圆心，/403=120。，小强从A走到3,

A.6万-66B.6乃-9百C.12万-9百D.12%-186

2.（2021•浙江中考真题）如图，已知是。。的直径，NACD是AO所对的圆周角，ZACD=30°.

（1）求ND钻的度数；（2）过点。作垂足为E，DE的延长线交。。于点尸.若A5=4,

求。E的长.

考向3弧'弦'圆心角'圆周角

1.圆心角的度数等于它所对弧的度数，把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是1。的角，1。

的圆心角对着1。的弧.

2.圆周角要具备两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可.

典例引领

1.（2021•山东泰安市•中考真题）如图，四边形A8CD是。。的内接四边形,ZB=90°,/BCD=120。,

AB=2，CD=\,则AD的长为（）

A.273-2B.3-6>C.4-V3D.2

二一

ie

2.（2021•湖北武汉市•中考真题）如图，AB是。。的直径，BC是。。的弦,，先将BC沿BC翻折交AB于

点、D.再将80沿A8翻折交8。于点E.若BE=DE，设NABC=a，则a所在的范围是（）

A.21.90<a<22.3°B.22.3°<«<22.7°C.22.70<a<23.1°D.23.10<a<23.5°

变式拓展

1.（2021•浙江绍兴市•中考真题）如图，正方形A8C。内接于点尸在AB上，则NP的度数为（）

BC

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.（2021•广西贵港市•中考真题）如图，点A,B,C,。均在。O上，直径A8=4,点C是3。的中点，点

。关于A8对称的点为E,若N£>CE=100。，则弦CE的长是（）

A.2bB.2C.V3D.1

考向4点'直线与圆的位置关系

1.点和圆的位置关系：①在圆上；②在圆内；③在圆外.

2.直线和圆的位置关系：相交、相切、相离.

典例引领

1.（2021•浙江嘉兴市•中考真题）已知平面内有。。和点A,B,若。。半径为2cm,线段。4=3cm,

OB=2cm,则直线AB与。。的位置关系为（）

A.相离B.相交C.相切D.相交或相切

2.（2021•上海中考真题）如图，已知长方形A8CD中，AB=4,AD=3,圆8的半径为1,圆A与圆8

内切，则点与圆A的位置关系是（）

A.点C在圆A外，点。在圆A内B.点C在圆A外，点。在圆A外

C.点C在圆A上，点力在圆A内D.点C在圆A内，点力在圆A外

3.（2021•四川成都市•中考真题）如图，在平面直角坐标系X。），中，直线）=立》+空与0。相交于A,

33

B两点，且点A在x轴上，贝I弦AB的长为

变式拓展

1.（2021•青海中考真题）点p是非圆上一点，若点P到。。上的点的最小距离是4cm,最大距离是9cm,

则QO的半径是.

2.（2020•上海中考真题）在矩形A8CD中，48=6,BC=8,点。在对角线AC上，圆。的半径为2,如果圆

O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是—.

考向5切线的性质与判定

有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径，这是圆中作辅助线的一种方法.

典例引领

1.（2021•山东泰安市•中考真题）如图，在AAbC中，AB=6,以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相

切于点。，与AC,A3分别交于点E和点G,点F是优弧GE上一点，ZCDE=18°,则NGFE的度数是

（）

C.45°D.36°

2.（2021•江苏连云港市•中考真题）如图，中，NA3C=90°,以点C为圆心，CB为半径作OC,

。为G）C上一点，连接A。、CD,AB^AD，AC平分（1）求证：AO是OC的切线；（2）

延长4）、5c相交于点E,若S.E℃=2S»BC，求tan/B4c的值.

3.（2021•河南中考真题）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固

定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机

构”.小明受此启发设计了一个“双连杆机构“，设计图如图1,两个固定长度的“连杆”AP,5P的连接点P

在OO上，当点尸在O。上转动时，带动点A,B分别在射线QM,ON上滑动，Q0_LQN.当AP与。。

相切时，点3恰好落在。。上，如图2.

请仅就图2的情形解答下列问题.（1）求证：NPAO=2NPBO；（2）若。。的半径为5,AP=—,求

3

3P的长.

变式拓展

1.（2021•四川泸州市•中考真题）如图，。。的直径AB=8,AM,BN是它的两条切线，QE与。。相切于点

E,并与AM,8N分别相交于£>,C两点，BD,OC相交于点F,若CZ>=10,则3F的长是

A8gD10V1708厉「10V15

9999

2.（2021•湖北随州市♦中考真题）如图，。是以A8为直径的。。上一点，过点。的切线。E交AB的延长

线于点E,过点B作8CLOE交的延长线于点C,垂足为点F.（1）求证：AB=BC；（2）若。。

的直径A3为9,sinA=-.①求线段BE的长；②求线段BE的长.

3

考向6三角形的内切圆与外接圆

典例引领

1.（2021•浙江中考真题）如图，已知点。是AABC的外心，NA=40°,连结80,CO,则ZBOC的度

数是（）.

A.60°B.70°C.80°D.90°

2.（2021•四川泸州市•中考真题）在锐角AABC中，ZA,NB,/C所对的边分别为a,b,c,有以下结论:

bc

=2R（其中R为AABC的外接圆半径）成立.在AABC中，若乙4=75。，NB=45。,

sinAsinBsinC

c=4,则AABC的外接圆面积为（）

16兀64万

A.——B.——C.16%D.64%

33

3.（2021•陕西•西安益新中学模拟预测）如图，圆。是四边形A8CD的内切圆，连接A。、BO、CO、DO,

记^AOD,△AOB,△COB、△OOC的面积分别为Si、8、5人S4,则S/、$2、8、S,的数量关系为

变式拓展

1.（2021•山东中考真题）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法，其

步骤是：①在。。上任取一点A,连接40并延长交。。于点8,8。为半径作圆孤分别交于C,。两

点，。。并延长分交。。于点E,F；④顺次连接8C,FA,AE,DB,得至U六边形AFCBCE.连接A。，交

于点G,则下列结论错误的是

A.AAOE的内心与外心都是点GB.ZFGA=ZFOAC.点G是线段EF的三等分点D.EF=猴AF

2.（2021•青海西宁•中考真题）如图，A45C的内切圆板与A8,8C,AC分别相切于点。，E,F,连接。£,

OF,NC=90。，AC=6,BC=8,则阴影部分的面积为（）

A.2--7CB.4--7TC.4一4D.1--7T

224

3.（2019•山西中考真题）阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：

莱昂哈德・欧拉是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，

下面是欧拉发现的一个定理：在AABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内

心，则

如图1,。。和。1分别是AABC的外接圆和内切圆，。1与AB相切分于点F,设。O的半径为R,。1的

半径为r,外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离01

=d,则有d2=R2-2Rr.

下面是该定理的证明过程（部分）：

延长AI交（DO于点D,过点I作。O的直径MN,连接DM,AN.

V/D=/N,/DMI=/NAI（同弧所对的圆周角相等），

.-.△MDI^AANI,,：.IAID=IMIN①,

1AIN

如图2,在图1（隐去MD,AN）的基础上作。O的直径DE,连接BE,BD,BLIF,

VDE是OO的直径，,ZDBE=90°,

【与AB相切于点F,AZAFI=90°,/DBE=NIFA,

/BAD=/E（同弧所对圆周角相等），.•.△AIFs^EDB,

•必IF

；•②

'~DE~~BDIABD=DEIF,

任务：（1）观察发现：IM=R+d,IN=（用含R,d的代数式表示）;

（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1）,（2）的结论，按

照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；（4）应用：若AABC的外接圆的半径为5cm,内切圆的半

径为2cm,则4ABC的外心与内心之间的距离为cm.

考向7正多边形与圆

任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

典例引领

（•河北中考真题）如图，点。为正六边形对角线上一点，

1.2021A5CDEEFD5AAFO=8,S^CD0=2,

则S正六边形ABC。6的值是()

A.20B.30C.40D.随点。位置而变化

2.（2021•黑龙江绥化市•中考真题）边长为4cm的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是

3.（2021•湖南湘西土家族苗族自治州•中考真题）如图，面积为18的正方形A3CO内接于。。，则A5的

长度为（）

变式拓展

1.（2021•贵州安顺市•中考真题）如图，。。与正五边形A8CDE的两边AE,C£＞相切于AC两点，则ZAOC

A.144°B.130°C.129°D.108°

2.(2021•湖北随州市♦中考真题)等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.它是利用“同一个图形的面

积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等“

等性质解决有关数学问题，在解题中,灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程

简便快捷.

(1)在直角三角形中，两直角边长分别为3和4,则该直角三角形斜边上的高的长为,其内切圆的半

径长为；(2)①如图1,P是边长为。的正AABC内任意一点，点。为AA5c的中心，设点P到

△ABC各边距离分别为九，力2，4，连接小，BP，CP，由等面积法，易知

+%)=SOBC=3SAQAB，可得4+饱+/=；(结果用含。的式子表示)；②如图2,P是

边长为"的正五边形45a>£内任意一点，设点P到五边形ABCDE各边距离分别为九，h2,小，心,%,

Q11

参照①的探索过程，试用含“的式子表示"+4+为+力4+色的值•(参考数据：tan36°»—,tan54°»-5-)

118

(3)①如图3,已知。。的半径为2,点A为。。外一点，Q4=4,A8切。。于点B,弦8C7/Q4,

连接AC,则图中阴影部分的面积为；(结果保留乃).②如图4,现有六边形花坛ABCDEF,由于

修路等原因需将花坛进行改造.若要将花坛形状改造成五边形ABCDG,其中点G在A厂的延长线上，且

要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G的位置，并说明理由.

考向8弧长和扇形面积

1)•弧长公式：/=喘；2).扇形面积公式：s扇形=*或S扇形=；东・

典例引领

1.（2021•湖北宜昌市•中考真题）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形.如图，以边

长为2厘米的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三

角形”，该”莱洛三角形”的面积为___________平方厘米.（圆周率用"表示）

2.（2021•浙江金华市•中考真题）在扇形AO8中，半径。4=6,点尸在0A上，连结P8,将沿PB

折叠得到QBP.

（1）如图1，若NO=75°,且30'与AB所在的圆相切于点艮①求NAP。的度数.②求AP的长.

（2）如图2,BO'与4B相交于点。，若点。为46的中点，且PD//OB,求AB的长.

OB

图2

变式拓展

1.（2021•重庆中考真题）如图，矩形ABC。的对角线AC,8。交于点O,分别以点A,C为圆心，A。长为

半径画弧，分别交AB,CD于点E,F.若BD=4,NCA8=36。，则图中阴影部分的面积为.（结

果保留力）.

DFC

2.（2021•湖北荆州市•中考真题）如图，在菱形ABC。中，"=60°,4?=2，以8为圆心、长为

半径画AC，点P为菱形内一点，连接B4,PB,PC.当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分

的面积为（）

A26+1口26-1「上口。V3-1

A.——式-------B.——兀-----------C.D.24-------

32322

考向9圆锥的相关问题

典例引领1.（2021•广西来宾市•中考真题）如图，从一块边长为2，NA=120°的菱形铁片上

剪出一个扇形，这个扇形在以A为圆心的圆上（阴影部分），且圆弧与BC,8分别相切于点E，F，

将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是

2.（2021•江苏南京市•中考真题）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？

（1）如图①，圆锥的母线长为12cm,B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，AC的长为4乃cm.在

图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点8的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）.

o

（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成.0是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上.设

圆锥的母线长为/,圆柱的高为h.①蚂蚁从点A爬行到点0的最短路径的长为（用含I,h的代数

式表示）.②设AO的长为如点B在母线上，OB=b.圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂

蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路.

变式拓展

1.（2021•江苏宿迁市•中考真题）已知圆锥的底面圆半径为4,侧面展开图扇形的圆心角为120。，则它的侧

面展开图面积为.

2.（2021•内蒙古呼伦贝尔市•中考真题）将圆心角为120。的扇形围成底面圆的半径为1cm的圆锥，则圆锥的

母线长为.

考点冲关

1.（2021•湖南怀化市•中考真题）以下说法错误的是（）

A.多边形的内角大于任何一个外角B.任意多边形的外角和是360°

C.正六边形是中心对称图形D.圆内接四边形的对角互补

2.（2021•江苏•苏州市振华中学校九年级阶段练习）如图，点。为AABC的内心，ZA=60°,OB=2,0c=4,

则AOBC的面积是（）

A.4百B.2GC.2D.4

3.（2021•广西玉林市•中考真题）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也

与直径垂直''，小熹说：“用反例就能说明这是假命题”.下列判断正确的是（）

A.两人说的都对B.小铭说的对，小燕说的反例不存在

C.两人说的都不对D.小铭说的不对，小熹说的反例存在

4.（2021•青海中考真题）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交

于A,B两点,他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB=16厘米.若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出

海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）.

A.1.0厘米/分B.0.8厘米分C.12厘米/分D.1.4厘米/分

5.（2021•江苏•九年级专题练习）如图，在AABC中，45=4C>BC.小丽按照下列方法作图：

①作ZBAC的角平分线AD,交BC于点。;②作AC的垂直平分线，交AD于点E.

根据小丽画出的图形，判断下列说法中正确的是（）

A.点E是AABC的外心B.点E是“BC的内心

C.点E在D8的平分线上D.点E到AC,8c边的距离相等

6.（2021•山西中考真题）如图，在。。中，A3切。。于点A，连接交。。于点C,过点A作AO//QB

交。。于点。，连接CO.若N8=50。，则NOCD为（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

7.（2019•广西玉林市•中考真题）如图，在RtMBC中，ZC=90°，AC=4,BC=3，点。是AB的三

等分点，半圆。与AC相切，M,N分别是BC与半圆弧上的动点，则的最小值和最大值之和是（）

A.5B.6C.7D.8

8.（2021•上海长宁•二模）如果两个圆相交，且其中一个圆的圆心在另一个圆的圆内时，我们称此两圆的位

置关系为“内相交如图1,已知AABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,点O在边AC上.如果。C与直

线A8相切，以OA为半径的。。与。。内相交”，那么04的长度可以是（）

16c12c4

A.—B.—C.-D.一

5555

9.（2021•河北桥西•二模）“已知点?小,为）和直线＞="+"求点尸到直线丫=履+。的距离d可用公式

4二与7”计算”.根据以上材料解决下面问题：如图，OC的圆心C的坐标为（1,1）,半径为直线/

的表达式为y=-2x+5,M是直线/上的动点，N是。C上的动点，则的最小值是（）

10.（2021•上海市民办新北郊初级中学九年级期末）如图，在AABC中，ZACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,

CM是它的中线，以C为圆心，5cm为半径作OC,则点〃与。C的位置关系为（）

A.点M在G）C上B.点M在。C内C.点M在G）C外D.点M不在。C内

11.（2021•全国•九年级专题练习）已知0。，。02,G）。?是等圆，“8尸内接于。。1,点C,E分别在。。2,

。。3上.如图，①以c为圆心，4P长为半径作弧交。。2于点£>,连接C。；②以E为圆心，BP长为半径作

弧交。Q于点凡连接EF；下面有四个结论：@CD+EF=AB；②C£>+EF=AB；③

ZCO2D+ZEO}F=ZAOtB;④NCDO2+NEFO,=NP,所有正确结论的个数是（）

12.（2022•甘肃平凉•模拟预测）如图，在半径为后的。。中，弦月8与C£>交于点E,2DEB=75。，AB=4,

AE=\,则C。长是（）

3

A.—>/2B.2石C.3亚D.2而

13.（2021•辽宁营口•中考真题）如图，。。中，点C为弦A8中点，连接OC,OB,NCO3=56。，点。是

4B上任意一点，则NADS度数为（）

A.112°B.124°C.122°D.134°

14.（2021•河北中考真题）如图，等腰AAOB中，顶角NAO8=40°,用尺规按①到④的步骤操作:

①以。为圆心，OA为半径画圆；②在。。上任取一点P（不与点A,8重合），连接AP；

③作A8的垂直平分线与。。交于M，N；④作AP的垂直平分线与。。交于E，F.

结论1：顺次连接M，E,N,/四点必能得到矩形；

结论II：。。上只有唯一的点P，使得S扇形=S扇形以…对于结论I和II，下列判断正确的是（）

A.I和n都对B.I和n都不对c.I不对n对D.I对n不对

15.（2021•湖北荆州•中考真题）如图，A3是。。的直径，AC是。。的弦，QDLAC于。，连接OC,

16.（2021•湖北襄阳市♦中考真题）点。是AABC的外心，若N3OC=110°,则ZR4C为.

17.（2021•上海中考真题）六个带30。角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1,求中

间正六边形的面积.

18.（2021•山东泰安市•中考真题）若AAbC为直角三角形，AC=BC=4,以BC为直径画半圆如图所示，

则阴影部分的面积为.

19.（2021•浙江拱墅•二模）如图，点。是△A8C的内心，AO的延长线交△ABC的外接圆于点O,交BC于

20.（2021•广东•九年级期中）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的

距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的

垂线段的长度，叫做点到直线的距离.类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的

长度，叫做点到曲线的距离.依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点A（2,l）到以原点为圆心，以1为

半径的圆的距离为.

21.（2021•山东•郑城县第三中学一模）如图，半径为4的。。中，CD为直径,弦且过半径。。的

中点，点E为。。上一动点，C尸，AE于点F,当点E从点8出发顺时针运动到点。时，点F所经过的路径

长为一.

22.（2021•江苏连云港市•中考真题）如图，OA、OB是。。的半径，点C在。。上，2408=30。，

NOBC=40°,则NQ4C=

23.（2021•浙江宁波市•中考真题）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一.如示

意图，AC,8。分别与相切于点c,D,延长AC,8。交于点p.若/尸=120。，。。的半径为6cm,

则图中CO的长为cm.（结果保留万）

24.（2021•四川凉山彝族自治州•中考真题）如图，等边三角形4BC的边长为4,OC的半径为百，P为

AB边上一动点，过点尸作0c的切线P。，切点为。，则P0的最小值为.

25.（2021•江苏徐州市♦中考真题）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长/为

8cm,扇形的圆心角6=90°,则圆锥的底面圆半径「为cm.

26.（2021•广西百色•中考真题）如图，PM、PN是。。的切线，切点分别是A、B,过点。的直线CE/PN,

交。。于点C、D,交PM于点E,的延长线交PN于点F,若BC〃PM.（1）求证：ZP=45°；（2）若

CD=6,求PF的长.

N

27.（2021•四川泸州市•中考真题）如图，AABC是。O的内接三角形，过点C作。。的切线交BA的延长

线于点F,AE是。0的直径，连接EC（1）求证：NAb=N3；（2）若AB=3C,ADLBC于点O,

FC=4,£4=2,求AD・AE的值

28.（2021•安徽中考真题）如图，圆。中两条互相垂直的弦AB,CD交于点£

（1）M是CC的中点，OM=3,CD=12,求圆。的半径长；

（2）点尸在C£＞上，且CE=EF,求证：AFA.BD.

29.（2021•河北中考真题）如图，。。的半径为6,将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为A“（”

为1~12的整数），过点4作。。的切线交AAi延长线于点P.（1）通过计算比较直径和劣弧长度

哪个更长；（2）连接A,A"，则A7Al和PA有什么特殊位置关系？请说明理由；（3）求切线长P4的值.

30.（2021•湖南邵阳市♦中考真题）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径££＞与母线A。长

之比为1:2.制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB=AC,AD1BC.将扇形AE尸

围成圆锥时，AE，Ab恰好重合.（1）求这种加工材料的顶角44c的大小

（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm,求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积.（结果保留了）

31.（2021•山东蒲泽市•中考真题）如图，在中，A3是直径，弦CDLA3,垂足为H,E为BC上

一点，F为弦。。延长线上一点，连接庄并延长交直径AB的延长线于点G,连接AE交CD于点P,

3

若FE=FP.（1）求证：EE是。。的切线；（2）若。。的半径为8,sinF=-,求BG的长.

32.（2021•山西孝义•二模）阅读下列材料，并完成相应的学习任务:

我们知道三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.由于三角形的

三条高（或高所在的直线）相交于一点，因此我们把三角形三条高的交点叫做三角形的垂心.下面我们以

锐角三角形为例，证明三角形的三条高相交于一点.

如图，在AABC中，AD,BE分别是2C,AC边上的高，且AZ）与2E相交于点P.连接CP并延长，交AB

于点F.

求证：CF1.AB.

证明：分别过点A,B,C作它们所对边的平行线，三条平行线两两相交于点M,N,Q.

分别连接PM,PN,PQ.,:MNHBC,MQ//AB,NQ//AC,

二四边形MA8C,四边形4VBC,四边形AB0c都是平行四边形.

:.BC=AM=AN,AC=BN=BQ,AB=MC=CQ.

'：AD±BC,：.ZMAD=ZADB=90°,即AO_LMN.：.PM=PN....

学习任务：（1）请将上面剩余的证明过程补充完整；

（2）点P是的一.（填出字母代号即可）

A.内心B.外心C.垂心D.重心

（3）若NC4B=40°,则乙WPN=°.

直通中考

1.（2021•山西中考真题）如图，正六边形ABCDEF的边长为2,以A为圆心，AC的长为半径画弧,得EC，

连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（）

A.2"B.4"C.-7TD.龙~兀

33

2.（2021•河北兴隆•二模）如图，在“ABC中，Q）作AB和BC的垂直平分线交于点。；

（2）以点。为圆心，长为半径作圆；（3）。。分别与A3和BC的垂直平分线交于点N；

（4）连接A",AN,CM,其中AN与CM交于点P.根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中,

①BC=2NC;②A8=24W;③点。是AABC的外心；④点尸是A/WC的内心.

所有正确结论的序号是（）

A.①②③④B.①②③C.①③D.①③④

3.（2021•江苏镇江•中考真题）如图，NBAC=36。，点。在边AB上，。。与边AC相切于点。，交边A8

于点E,F,连接FD,则NAFD等于（）

A.27°B.29°C.35°D.37°

4.（2021•湖北荆州市•中考真题）如图，矩形QABC的边OA,OC分别在x轴、＞轴的正半轴上，点。在

OA的延长线上.若A（2,0）,0（4,0）,以。为圆心、0。长为半径的弧经过点5,交y轴正半轴于点E，

连接。E，BE、则的度数是（）

A.15°B.22.5°C.30°D.45°

5.（2021•山东滨州•中考真题）如图，。。是AABC的外接圆，CD是。。的直径.若8=10,弦AC=6,

则cos/ABC的值为（）

6.（2021•山东青岛•中考真题）如图，43是。。的直径，点E,C在上，点A是EC的中点，过点A画

。。的切线，交8c的延长线于点。，连接EC.若NADB=58.5。，则NACE的度数为（）

A.29.5°B.31.5°C.58.5°D.63°

7.（2021•浙江丽水市•中考真题）如图，A3是的直径，弦CDLQ4于点E,连结OC8.若0。的

半径为％NAOO=Na,则下列结论一定成立的是（）

A.OE=m-tanaB.CD=2m-sinaC.AE—mcosaD.,sincz

8.（2021•浙江金华市•中考真题）如图，在RMABC中，ZACB=90°,以该三角形的三条边为边向形外

作正方形，正方形的顶点及EG,4,M,N都在同一个圆上.记该圆面积为，，5c面积为$2,则U

的值是（）

F、------彳E

54711万

A.-----B.37rC.5%D.——

22

9.（2021•四川广元市•中考真题）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90。的扇形，将剪

下来的扇形围成一个圆锥.那么这个圆锥的底面圆的半径是（）

10.（2021•湖北鄂州•中考真题）如图，MAAB