与“费马点”相关问题的处理策略

与"费马点”相关问题的处理策略费马点的定义：如图1,在任意险BC中，点P是三角形内任意点，当P^A+PB+PC的和最小时，点P即为*BC的费马点.此时，ZAPC=ZBPC=ZAPB=120。.本文着重研究与"费马点”相关的"三线碰头”问题的处理方法.一、与"碰头三线和”有关的问题例1如图2,在RtAABC中，AC=1，/B=30。，在AABC内部是否存在一点P，使得PA+PB+PC的和最小?若存在，请求出这个最小值;若不存在，请说明理由.分析PA，PB，PC形成"三线碰头”基本图形，我们尝试通过适当变换将三条未连接的"碰头三线”转化为连接的三折线.于是，将含有两条动线PA，PB的APAB绕点A顺时针旋转60°至^NAM，连结NP(如图2).该旋转变换的四大作用是：通过全等变换(APAB=ANAM)将线段PB转化为等长线段NM;通过出现的等边VAN使线段PA转化为等长线段PN;由①②实现"碰头三线”、"连接三折线”的转化；使ZCAM=60。+600=1200，从而可以构造含有特殊角60°的直角三角形，通过解直角三角形求线段和的最小值.所以，由"两点之间，线段最短”得知，如图3,当C，P，N,M共线时，(PA+PB+PC)=(PN+NM+PC)=CM.作MD±CA的延长线于点D，通过解RtAADM与RtMDM求出CM的长度即可.注需要说明的是，在该题中，因为AABC的三个内角均为特殊角，旋转方式可有多种，读者可自行

研究.，求变式1如图4,菱形ABCD的对角线AC上有一动点P,且BC=6,£ABC=15°。，求^A+PB+PD的最小值.分析如图4，连结BD，则问题变为"碰头三线和的最小值”问题，且^ABD=^ADB=75。.仿例1,当绕点A旋转时，因为"30°+旋转角60。=90。"，所以将AAPD绕点A逆时针旋转60°,连结MB，线段MB的长即为三线和的最小值.变式2变式2如图5,在平面直角坐标系中，点A（4,0）、点B（°，一4），点P是直线J=一X上一个动点，连结PA，PB,当PA+PB+PO的和最小时，求点P的坐标及其最小值.分析这依然是"碰头三线和的最小值”问题.如图5所示，由题意可知ZOAB='OBA=45。.因为在顶点A或B处旋转均有"45°+旋转角60°=105°非特殊角”，而在顶点0处有"90°+60°=150°特殊角”，所以旋转中心应定在0点.将AAP0绕点0逆时针旋转60°,连结BD,线段BD的长即为三线和的最小值点P即为直线BD与直线>=一工的交点.变式3如图6,已知正方形ABCD内一点E,E到A，B，C三点的距离之和的最小值为巫+*''6，求该正方形的边长.分析本题是已知"碰头三线”之和的最小值，求正方形的边长，是典型的正向问题（求最小值）逆向（最值已知）命题的方式.由于在顶点A或C处均有"45°+旋转角60°=105°非特殊角”，而在顶点B处有“90°+旋转角60°=150°特殊角”，所以旋转中心定在B点.将险EB绕点B逆时针旋转60°,如图6,设正方形边长为2a在RtACGF中，由勾股定理，得a2+（2+寸3）2a2=（41+扁2,解得】T,所以正方形边长为2.

解题小结通过以上分析可知，与"碰头三线和”有关的问题的处理策略为:三线碰头思旋转，旋转中心巧斟酌;折变直求最小值，构造并解直角三角形.即"形外”旋转60。-等边三角形（等长转化）。连接三折线。折化直（两点之间，线段最短）。构造并解直角三角形.二、与"碰头三线和”无关的问题例2如图7,等边*BC中，已知PA=3,PB=4,PC=5,尸是三角形内一点，求^APB的度数.分析条件信息"PA=3,PB=4,PC=5”与待求问题的关系并不明显.但仔细审题便可注意到，"3,4,5”是一组勾股数，虽然三条线段在图中的位置关系并非直角三角形，但可以尝试通过旋转变换将三条线段转化到一个三角形中.比如将阪PB绕点B顺时针旋转60°至'CQB（如图7），则PQ=PB=4,CQ=AP=3在RtyQC中，由"勾股定理逆定理”得^CQP=90°,所以/APB=ZCQB=90°+60°=150°AA注①因为PA，PB，PC这三条线段具有同等地位，所以以其中任一线段为腰顺时针或逆时针旋转60°均可.②本题也可看作在等边AABC的背景下重新构造一个新等边APBQ，使得AABC与APBQ构成等边三角形"手拉手”基本模型，易证AAPB=ACQB，所以CQ=AP=3,其余思路同上.变式1如图8,等边AABC中，已知PA=1，PB=2，PC=,求AABC的面积.分析"三线碰头思旋转”，因为"L2,*3”依然是一组勾股数，所以依然可以通过旋转60°变换将其转化到一个三角形中解决问题.选取第2大长度的线段PC为腰，绕点C顺时针旋转60°,如图8,易得/BQP=90°,/BPQ=30°，所以/BPC=30°+60°=90°.在RtABPC中，由勾股定理求得BC=『，所以S麟bc=毛BC2=743.变式2如图9,RtAABC中,/ABC=90°,AB=BC,P是三角形内一点，已知PA=1,PB=2,PC=3，求/APB的度数.分析因为"1,2,3”不再是勾股数，所以再通过旋转60°进行等长线段转化毫无意义.但是这三条线段的数值存在这样的关系:12+（2点）2=32,即PA2+G.2PB）2=PC2，所以PA，兵PB,PC构成直角三角形.因为在任意等腰直角三角形中，底边和腰长之间存在关系"底边提腰长”，所以将线段PB绕点B逆时针旋转90°至BD（如图9）,连结PA,AD，可得等腰RtAPBD，所以底边PD=<^PB，实现了"隐形线段、江PB、显性线段PD”的转化.易证AABD=ACBP，所以AD=CP=3，由"全等三角形对应边相等”，实现了等长线段转化.在RtAADP中，由"勾股定理逆定理”，可得曷PD=90。，所以ZAPB=90°+45°=135。.图9注①本题也可看作在等腰RtAABC的背景下重新构造一个新的等腰RtADBP，AABC与ADBP形成等腰直角三角形"手拉手”模型易证AABD=ACBP，所以AD=CP=3，其余思路同上.②该题中PA，PB，PC，ZAPB之间是"知三求一”的关系，可自行尝试计算.变式3如图10，正方形ABCD内有一点P，满足PA=2\.‘2PB=1，PD=qr.求曷PB的度数和正方形ABCD的边长.E图10分析因为42+12=（©7）2，即（＜2pA）2+PB2=PD2，所以t'2PA，PB，PD构成直角三角形.如图10将线段PA绕点A顺时针旋转90°至线段EA连结PE,EB，则可得等腰RtAPAE,所以PE=（2PA=4.由等腰直角三角形的腰底关系实现了"隐形线段涯PA-显性线段PE”的转化.易证AApD=AAEB，所以BE=Dp=盘7，由"全等三角形对应边相等”实现了等长线段转化.在RtAPBE中，由“勾股定理逆定理，，，可得ZBPE=90。，所以ZAPB=90。+45。=135。作BF上AP的延长线于点F，可得等腰RtABPF，解RtABpF和RtAABF即可求出AB的长.当然也可将线段PA绕点A逆时针旋转90°进行转化，不再赘述.解题小结与"碰头三线和”无关的问题（如求角度、求边长等）的处理策略为："三线碰头”思旋转:一条线段通过全等变换转化为另一条线段;一条线段通过旋转得到的等腰三角形进行腰底转化.旋转角度细斟酌:等长变换转60°;扩大J2倍转90°;由此推出扩大W3倍转120°.三、"加权费马点”的问题例3如图11,等边3C的边长为1,在平面内找一点P，使得:⑴PA+PB+pc的和最小，并求其最小值；⑵PA+*pB+pc的和最小，并求其最小值.AA图11图12解析(1)如图11，将APBC绕点B顺时针旋转60°至A£BF，连结PE，AF，则PE=PB,EF=PC.所以PA+PB+PC=AP+PE+EF>AF，当且仅当A,P,E,F四点共线时取等号，即(PA+P+PC)min=AF.在AABF中，AB=BF=1，ZABF=120。，所以AF=J3，即PA+P+PC的最小值为百;(2)如图12，将^如绕点B顺时针旋转90°至AEBF，连结PE，AF，则PE=\'2PB，EF=PC.所以PA+42PB+PC=AP+PE+EF>AF，当且仅当A,P,E,F四点共线时取等号，即(PA+42PB+PC)min=AF.作FD±AB