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文档简介

利用仿射变化解决椭圆问题x2yx2y2椭圆一+1=l,(a>b>0)经变换｛a2b2b后变成圆X2+Y2=a2,在此变换下有y=Ya以下一些性质：aQ点变换后，横坐标不变，纵坐标变为原来的厂倍baQ直线变换后仍然是直线，且斜率为原来的丁倍bQ平行线经变换后仍平行Q区域D变换后成为D，则面积S=aSDbDQ两平行线段的比是不变量1a2Q线段PQ经变换后变为PQ，贝y:IPQ1=1PQL.cos2a+—b2sm2aX2y21.求证：直线1:Ax+By+C=0与椭圆+-=1,(a>b>0)相切的充要条件是:a2b2证明：作仿射变换：\证明：作仿射变换：\(aA)2+(bB)2=C2

fx=Xy=-Ya椭圆变为圆：X2+Y2=a2bB直线l变为l':AX+——Y+C=0a直线l'与圆相切的充要条件是圆心到直线l'的距离7ICId=-jA2+a2整理得：(aA)2+(bB)2=C2•••原命题得证。x2y22直线y二k(x-m)与椭圆：一+1二1交于M,N两点，试求IMNIa2b2解：过右焦点作MN的平行线b2易知：|FM'|= 一a+ccosU|FN卜b2a一ccosU2ab2p=|MN'|二a2一c2cos2U作仿射变换1x=X

bY，

y=-

a椭圆变为圆：X2+Y2=a2直线l变为：akX—bY—akm=0MN直线l变为：akX—bY—akc=0MN'圆心到两直线的距离分别为IakmIIakcId=，d=1 v;(ak)2+b2 2 \.；(ak)2+b2弦长分别为：LiI(a2—m2)k2+b2二2a2abpk2+1，v(ak)2+b2长度之比是仿射不变量MN二2—m2)c2+b2\

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