第04练 正弦定理 -2022年【分层作业】高一数学（人教A版必修第二册）

第04练正弦定理

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积累运用

【知识梳理】

知识点一正弦定理

【知识点的知识】

1.正弦定理和余弦定理

定理正弦定理余弦定理

内容a1=tr+cz-2bccosA,

-5_=_h___2_=2R

sinAsinBsinC

b2=a1+c2-2accos3,

（R是△ABC外接圆半径）

c2=«2+/?2-labcQsC

变形①〃=2RsinA,b=2Rsin3,c=27?sinC；,2^22

cosA=—,

形式②sinA=-^-,sinB=-^-,sinC=-^-；2bc

2R2R2R2上2,2

cosB=a+c-b,

③〃：b：c=sinA：sinB：sinC；2ac

®asinB=bs\nA,Z?sinC=csinB,〃sinC=2-22

cosC=a+b-c

csirtA2ab

解决①已知两角和任一边，求另一角和其他两①已知三边，求各角；

三角条边；②己知两边和它们的夹角，求第三边和

形的②已知两边和其中一边的对角，求另一边其他两角

问题和其他两角

在aABC中，已知“，6和角A时，解的情况

A为锐角A为钝角或直

角

系

式

解一解两解一解一解

的

个

数

由上表可知，当4为锐角时，a<bsinA,无解.当A为钝角或直角时，aWb,无解.

2、三角形常用面积公式

1.（儿表示边a上的高）；2.S=LbsinC=LcsinB=」bcsinA.

2222

3.S=—rCa+b+c）（r为内切圆半径）.

2

【正余弦定理的应用】

1、解直角三角形的基本元素.2、判断三角形的形状.3、解决与面积有关的问题.

4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方

面都要用到解三角形的知识

（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理

就可解决.

一.选择题（共8小题）

1.在AABC中，“sin2A+sin28>sin2。”是“AABC是锐角三角形”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.A/WC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知加inA+acosB=0,则N8=（

）

A.-B.-C.—D.—

4344

3.在AABC中，角A、8、C的对边分别是a、b、c,若a=2,b=24,A=30。，则8

等于（）

A.60°B.120°C.60°或120°D.60°或135°

4.在AA8C中，内角A,3,C所对的边分别是。，>,c.若“=»,则3shMsin'Tiir8=（

sin-A

）

A.-B.-C.2D.-

452

5.在AA8C中，已知a=4,6=46,8=60。，则角A=()

A.60°B.45°C.30°D.30°或150°

6.在AA8C中，AB=yf2,B=—,C=~,则AC=()

34

A.73B.3&C.2百D.

7.在AABC中，A=60°,8=45°,BC=30,则AC=()

A.76B.GC.2x/3D.45/3

8.在A48C中，已知b=2,8=45。，c=R,则角。为（）

A.60°B.30°或150C.60°或120°D.120°

二.多选题（共5小题）

9.在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论正确的有（）

A.若A>8,贝IsinA>sin8

B.若acosA=/2COs3,则AABC一定为等腰三角形

C.若a8s3-68SA=C,则AABC一定为直角三角形

D.若片+户>02,则A48C一定为锐角三角形

10.A4BC中，角A、B、C所对的边为a,b,c,下列叙述正确的是（）

A.若sinA>sin8,则A>8

B.若A=45。，a=14,6=16,则AA5c有两个解

C.若acosA=b8sB,则AABC是等腰三角形

-IT

D.右2bcosC,,2a-c,则5w（0,一）

3

11.若AABC的内角A,B,C所对的边分别为a,h,c,且满足6-2”+4“41?4土勺=0,

2

则下列结论正确的是（）

A.角C一定为锐角B.a2+2b2-c2=0

C.sin3+2sinAcosC=0D.3tanA+tanC=0

12.在A4BC中，下列命题错误的是（）

A.若A>5,则sinA>sinB

B.若sin2A=sin2B,则AABC一定为等腰三角形

C.若”2+从=。2,则AABC一定为等腰三角形

D.若三角形的三边满足/+层＞。2,则该三角形的最大角为钝角

13.在AABC中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,且。=4,A=-.若AABC有

6

二解，则〃的值可以是（）

A.1B.26C.V5D.275

三.填空题（共3小题）

14.在A4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足"&+a=2c,则角

cos3

B=___•

15.AA8C中，A=-,B=-,BC=0则AA8C的周长是

34

16.已知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,KacosB+>/367sinB=c+l,h=\,

点G是AABC的重心，且AG=",则A4BC的面积为

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能力提升练

一.选择题（共2小题）

17.秦九韶是我国南宋数学家，其著作《数书九章》中的大衍求一术，三斜求积术和秦九韶

算法是具有世界意义的重要贡献，秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，三

斜求积术即已知三边长求三角形面积的方法，用公式表示为：

SMBC=心a2c2_（矿+；_价）2］，其中a，b,C是AABC的内角A，B,C的对边•已知

A4BC中，4=cosA=a-8sA,则布。面积的最大值为（）

b2-cosBcosB

A.-B.-C.—D.y/3

332

18.已知A48c中，角A,B,C的对边分另ij为a,c.若4a%os28+4/sin2A=3廿一3c2,

则8sA的最小值为（）

A及B60用D3

3344

二.填空题（共3小题）

19.设AAfiC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2acosC=2b+c,点M在边3c上,

AM是Z4的平分线，AM=2,则AA8C的面积的最小值为,。+2c的最小值为.

20.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜塞，并大斜嘉，减

中斜幕，余半之，自乘于上；以小斜幕乘大斜幕，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平

方得积.把以上文字写成公式，即5=,；［。2/_（+；/>-『］（其中S为三角形的面积，

a,b,c为三角形的三边）.在斜AABC中，a,b,c•分别为内角A,B,。所对的边，

若a=c（cosS+GcosC）,且〃sinC=6sin3.则此AABC面积的最大值为.

21.在AABC中，角力，B,C所对的边a,b,c满足0+?=的，则角C的大小

COSCCC

是—.若边长C=G,求a+力的最大值是—.

一.填空题（共3小题）

22.在A48C中，内角A,B,C所对的边为a,〃，c,点P是其外接圆O上的任意一点,

若a=2上,b=c=不，贝U用2+而。+而*的最大值为.

23.在A4BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若」—则

2cosA3cos86cosC

cosAcosBcosC=.

24.己知AABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c,且acosC+ccosA=〃sinB,A=—,

6

若点。是AABC外一点，DC-2,DA=3,则当四边形面积最大时，sinD=.

二.解答题(共2小题)

25.已知函数/(x)=asinx+Acosx(a>0)的图象的一条对称轴为直线x=-(,且此轴与函

数图象交点的纵坐标为

(I)求函数f(x)的单调递增区间；

(H)在三角形ABC中，两个内角A,3满足A=43,且/(A)=上，求内角A,3所对

的边的比q的值.

b

26.在三角形A8C中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,2Z>cosB-acosC+ccosA

(1)求角5的大小；

(2)若线段8c上存在一点。，使得4)=2,且AC=",CD=S1,求