2021年广西北海市中考数学二模试卷

2021年广西北海市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有

一项是符合要求的）用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑

1.（3分）下列四个实数中，最大的是（）

A.1B.0C.-3

2.（3分）下面四个手机的图标中，属于轴对称图形的是（)

A.

miD.

3.（3分）目前全球新型冠状病毒肺炎疫情防控形势依旧严峻,我们应该坚持“勤洗手，戴

口罩，带有各种细菌约75000万个,将数据75000万用科学记数法表示为（）

A.7.5X109B.7.5X108C.7.5XI05D.7.5X104

4.（3分）下列运算正确的是（)

A.(-3a2)3=-27/B.-8/+(4a)=2a

C.3a+2b=5abD.4a3,3。2=12/

5.（3分）下列说法错误的是（)

A.J'解某班同学的数学成绩,采用全面调查

B.了解北海市中学生睡眠时间，采用抽样调查

C.气象局预报说“明天的降水率为85%”，意味着明天一定下雨

D.在统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图

6.（3分）根据规定，我市将垃圾分为了四类：可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾

四大类.现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋

不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶（）

A.AB.Ac.J-D.j-

681216

7.（3分）如图，在长方形A8C£＞中，NAC8=68°,可求出Na等于（)

D.34°

8.（3分）暑假期间，某科幻小说的销售量急剧上升.某书店分别用600元和800元两次购

进该小说，第二次购进的数量比第一次多40套，每套书的进价相同.若设书店第一次购

进该科幻小说x套，由题意列方程正确的是（）

A.600二800B.600=800

xx-40x-40x

C.600二800D600二800

x-x+40x+40-x

9.（3分）定义运算：加例如：4i!r2=4X22-4X2-1=7,则方程1☆x

=0的根的情况为（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.只有一个实数根

10.(3分)正方形ABC£>的顶点4(-2,2),8(-2,2),C(-2,-2),反比例函数y

则图中的阴影部分的面积是（)

4C.8D.6

11.（3分）如图，己知零件的外径25〃所，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和8力相等,

OC=OD),若OC：AC=\：3,量的C£>=10，“m()

A.2mmB.2.5mmC.3mmD.3.5mm

12.（3分）如图，在平面直角坐标系中，0P的圆心坐标是（3,“）（”>3）,函数y=x的

D.3+73

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13.（3分）某市一天最高气温是10℃,最低气温是-1℃,则这天的日温差是℃.

14.（3分）在函数y=,1中,自变量x的取值范围是

V2x-3

15.（3分）小明从家步行到学校需走的路程为1800米.图中的折线OAB反映了小明从家

步行到学校所走的路程s（米）与时间/（分钟）的函数关系，当小明从家出发去学校步

行8分钟时，到学校还需步行米.

16.（3分）室内装修完要经常开窗通风，加强空气流通，才能加快屋内异味的扩散.如图1,

其中一端固定在窗户边OM上的点A处，另一端3在边ON上滑动.如图2为某一位置

从上往下看的平面图，AB长为20cm.若测得乙403=37°,则OA的长度为cm.

（参考数据：sin37°七0.6,cos37°M）.8,tan37°七0.75,&F.4,结果精确到1cm）

图1图2

17.（3分）观察等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2；….已知按一

定规律排列的一组数：2仙，2101,2102,…，2199,22（X,,若2i°°=S,则2⑼+2“"+2i°2+…

+2199+2200=.（用含有$的式子表示）.

18.（3分）如图，菱形ABC。的边长为4,2840=120°,点尸是AC上的一动点，则EF+BF

的最小值是.

三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（6分）计算：（6-TT）°-（-5）-3tan30°+|-VSI-

20.（6分）先化简，再求值：+里二］，其中m=」.

'm-2Jm-22

21.（8分）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，点4

的坐标为（-1,0）.

（1）将AABC向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度,画出平移后的△481。，

并写出点81的坐标；

（2）画出AABC关于坐标原点O成中心对称的zM282c2，并写出点C2的坐标.

22.（8分）某学校开展了“交通法规”讲座活动，为了解全校学生对交通法规的了解情况，

从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分x均为不

小于60的整数）（60Wx<70）,合格（70<x<80）,良好（80Wx<90）（90Wx<100）,

制作了如图所示的不完全统计图.

所抽取的学生知识测试成绩的频数直方图所抽取的学生知识测试成绩的扇形统计图

♦频数（人）

小

V合吵/

60708。90100成绩（分）

根据以上的信息，解答下列问题：

（1）本次测试成绩合格的学生人数有_______名并补全频数分布直方图，在扇形统

计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数为O»

（2）这次测试成绩的中位数是什么等级：

（3）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果,估计该校获得优秀的学生有

多少名.

23.（8分）如图，在四边形ABCD中，AD//BC,对角线AC、8。相交于点0，OA=OB.

（1）求证：四边形ABCQ是矩形；

（2）若AB=5,NAOB=60°,求BC的长.

24.（10分）九二班计划购买A、B两种相册共42册作为毕业礼品，已知A种相册的单价

比8种的多10元，买4册A种相册与买5册8种相册的费用相同.

(1)求A、B两种相册的单价分别是多少元？

(2)由于学生对两类相册喜好不同，经调查得知：购买的A种相册的数量要少于B种相

册数量的旦，但又不少于B种相册数量的2

45

①有多少种不同的购买方案？

②商店为了促销，决定对A种相册每册让利〃元销售(12W.W18),B种相册每册让利〃

元销售，当总费用最少时，求此时。的值.

25.(10分)如图，已知为。。的直径，以AB为边作正方形A8CZ),连接AG交0。于

点R过点。作。氏LAG于点E.

(1)求证：DE=AF；

(2)若处」，求地的值；

EF2AB

(3)连接。F,当点G在BC上什么位置时，。尸与。。相切？并说明理由.

26.(10分)如图1,抛物线＞=—+云+3与x轴交于点A(-1,0),C(3,0),点B为

2

抛物线顶点，BC,AB与y轴交于点D

(1)求该抛物线解析式，并写出顶点8的坐标；

(2)判断aABC的形状，并说明理由；

(3)如图2,连接。8,抛物线上是否存在点。，当tana=2时，请直接写出点。的横

坐标，说明理由.

2021年广西北海市中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有

一项是符合要求的）用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑

1.（3分）下列四个实数中，最大的是（）

A.1B.0C.-3D.^2

【考点】算术平方根；实数大小比较.

【解答】解：••,-3<0<7<近，

.♦.最大的数是我，

故选：D.

2.（3分）下面四个手机的图标中，属于轴对称图形的是（）

A.ORPO

mi

【考点】轴对称图形.

【解答】解：A、本选项中手机的图标不属于轴对称图形；

B、本选项中手机的图标属于轴对称图形；

C、本选项中手机的图标不属于轴对称图形；

。、本选项中手机的图标不属于轴对称图形；

故选：B.

3.（3分）目前全球新型冠状病毒肺炎疫情防控形势依旧严峻，我们应该坚持“勤洗手，戴

口罩，带有各种细菌约75000万个，将数据75000万用科学记数法表示为（）

A.7.5X109B.7.5X108C.7.5X105D.7.5X104

【考点】科学记数法一表示较大的数.

【解答】解：75000万=750000000=7.5X1（）8.

故选：B.

4.（3分）下列运算正确的是（）

A.（-3a2）3=-27a6B.-8a24-（4a）=2a

C.3a+2b=5abD.4a3•3a2=12a3

【考点】整式的混合运算.

【解答】解：A.（-3/）7=-27不，故此选项符合题意；

B.-8a8-?（4i?）=-2a,故此选项不合题意；

C.7〃+2人无法合并，故此选项不合题意；

D.4«6-3a2-12a7,故此选项不合题意；

故选：A.

5.（3分）下列说法错误的是（）

A.了解某班同学的数学成绩，采用全面调查

B.了解北海市中学生睡眠时间，采用抽样调查

C.气象局预报说“明天的降水率为85%”，意味着明天一定下雨

D.在统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图

【考点】全面调查与抽样调查；扇形统计图；概率的意义.

【解答】解：A.了解某班同学的数学成绩，原说法正确；

B.了解北海市中学生睡眠时间，原说法正确；

C.气象局预报说“明天的降水率为85%”，原说法错误；

D.在统计图中，原说法正确.

故选：C.

6.（3分）根据规定，我市将垃圾分为了四类：可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾

四大类.现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋

不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶（）

A.AB.Ac.AD.-L

681216

【考点】列表法与树状图法.

【解答】解：可回收物、易腐垃圾，B,C,。表示，b,c,d表示、b,

画树状图如图：

共有12个等可能的结果，分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，

二分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率为工；

12

故选：C.

开始

b3盘

7.（3分）如图，在长方形A8CZ）中，NACB=68°,可求出Na等于（)

A.68°B.56°C.44°D.34

【考点】矩形的性质；作图一基本作图.

【解答】解：如图，

•..四边形A8C。为矩形，

J.AD//BC,

.♦.ND4C=NACB=68°,

由作法得z1-AZDAC-A,

72

由作法得N4=90°,

；./l+N2=90°,

：.Z6=90--34°=56°,

.,.Za=Z2=56°.

故选:B.

8.（3分）暑假期间，某科幻小说的销售量急剧上升.某书店分别用600元和800元两次购

进该小说，第二次购进的数量比第一次多40套，每套书的进价相同.若设书店第一次购

进该科幻小说X套，由题意列方程正确的是（）

A.600800B.600二800

xx-40x-40x

c600_800D.600二800

x-x+40x+40-x

【考点】由实际问题抽象出分式方程.

【解答】解：若设书店第一次购进该科幻小说X套，

由题意列方程正确的是600~800,

xx+40

故选：C.

9.（3分）定义运算：机例如：4i;r2=4X22-4X2-1=7,则方程

=0的根的情况为（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.只有一个实数根

【考点】实数的运算；根的判别式.

【解答】解：由题意可知：1食》=7-犬-3=0,

A=1-3X1X（-1）=4>0,

•••有两个不相等的实数根

故选：A.

10.（3分）正方形ABCO的顶点A（-2,2）,8（-2,2）,C（-2,-2）,反比例函数y

=2与y=-2,如图，则图中的阴影部分的面积是（）

A.2B.4C.8D.6

【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征.

【解答】解：根据对称性可知，阴影部分的面积=正方形A8C。的面积的』=2,

22

故选：C.

11.（3分）如图，已知零件的外径25〃M,现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和5。相等,

OC=OD\若。C：AC=l：3,量的。=10mm()

A.2mtnB.2.5mmC.3mmD.3.5mm

【考点】相似三角形的应用；中心投影.

【解答】解：•・•两条尺长AC和8。相等，OC=OD,

：.OA=OB,

VOC：AC=1：3,

：.OC：0A=5：2,

AOD：OB=OC：OA=1：4,

・・・NCOO=NAO&

JAAOBSACOD,

：.CD：AB=OC：OA=1：2,

VCD=10/WH,

：.AB=20（刖），

**•6x+20—25,

•\x=2.5（mm）,

故选：B.

12.（3分）如图，在平面直角坐标系中，OP的圆心坐标是（3,a）（a>3）,函数丁=%的

图象被0P截得的弦A8的长为均历，则。的值是（）

A.4B.3-*V2c.372D.S-h/3

【考点】一次函数图象上点的坐标特征；勾股定理；垂径定理.

【解答】解：作尸轴于C,交AB于D,连接P2,

的圆心坐标是（3,a）,

：.0C=3,PC=a,

把x=2代入y=x得y=3,

・・・。点坐标为（3,2）,

：.CD=3,

:•△OCD为等腰直角三角形，

:ZED也为等腰直角三角形，

.•.AE=BE=}B==2&,

在RtZsPBE中，PB=2,

PE=d32T2=6,

:.PD=6f>E=^,

.'.a—6+y[2.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13.（3分）某市一天最高气温是10℃,最低气温是-1℃,则这天的日温差是11°C.

【考点】有理数的减法.

【解答】解：该天的温差为10-（-1）=10+1=11（℃）,

故答案为：11.

14.（3分）在函数y=自变量x的取值范围是x>L5

【考点】函数自变量的取值范围.

【解答】解：由题意得2x-3>5,

解得x>1.5.

故答案为：x>8.5.

15.（3分）小明从家步行到学校需走的路程为1800米.图中的折线0A8反映了小明从家

步行到学校所走的路程s（米）与时间，（分钟）的函数关系，当小明从家出发去学校步

行8分钟时，到学校还需步行840米.

【考点】一次函数的应用.

【解答】解：由题意可得，当小明从家出发去学校步行8分钟时.

故答案为：840.

16.（3分）室内装修完要经常开窗通风，加强空气流通，才能加快屋内异味的扩散.如图1,

其中一端固定在窗户边OM上的点A处，另一端B在边ON上滑动.如图2为某一位置

从上往下看的平面图，长为20的.若测得NAOB=37°,则0A的长度为23cm.

（参考数据：sin37°g0.6,cos37°g0.8,tan37°g0.75,我544,结果精确到3"）

图1图2

【考点】解直角三角形的应用；由三视图判断几何体.

【解答】解：作于点”，

Vsin45°=迎,

AB

.♦.A，=AB・sin45=20X

Vsin37°=迎，

AO

：.AO=—里—=22返七23(cm).

sin37°0.3

故答案为：23.

17.（3分）观察等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2；—.已知按一

定规律排列的一组数：2100,210,,2102,…，2199,2200,若2i°°=S,则2侬+2皿+2曲+…

+2199+2200=2s2-2S.（用含有S的式子表示）.

【考点】列代数式；规律型：数字的变化类.

【解答】解：：2+27=23-8；

2+28+23=84-2；

4+22+53+22=25-8；

.,.2+26+23+54+—+2n=6,,+l-2,

A4IOO+21O1+21O2+...+8199+22OO

=2100X(7+2+27+23+—+4100)

=2l00X(2101-8)

=2l00X(2X5100-2),

V2100=S,

二原式=S(45-2)

=2S7-2S.

故答案为：2S4-25.

18.（3分）如图，菱形ABC。的边长为4,ZBAO=120°,点尸是AC上的一动点，则EF+BF

的最小值是，板一

【考点】菱形的性质；轴对称-最短路线问题.

【解答】解：连接。B,DE,连接MB,延长8A,

•.•四边形A8C。是菱形，

.,.AC,BO互相垂直平分，

...点B关于AC的对称点为D,

：.FD=FB,

：.FE+FB=FE+FD2DE.

只有当点尸运动到点M时，取等号（两点之间线段最短）,

中，AD=AB,

：.ZHAD=60Q,

'：DH±AB,

:.AH=1ADJ^AD,

22

•.•菱形48CC的边长为4,E为AB的中点，

：.AE=3,AH=2,

：.EH=4,OH=6«,

O£=26=,2+2

在RtAEHD中，VEH+DH\/4（3>/3）^,

：.EF+BF的最小值为2d7

故答案为：7折.

三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（6分）计算:（6-n）°-（-5）-3tan3O°+|-Vai.

【考点】实数的运算；零指数幕；特殊角的三角函数值.

【解答】解：原式=i+5-3X除动

=1+5-75W3

=6.

2

20.(6分)先化简，再求值：其中m=」

〈m-2'm-2m2

【考点】分式的化简求值.

［解答］解：原式=m(m-2)+l.nr2

m-6(m+1)(m-4)

二(mT产.irr2

m-3(m+1)(m-6)

_m-l

m+1

21.(8分)如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，点A

的坐标为(-1,0).

(1)将AABC向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度,画出平移后的△481。，

并写出点81的坐标；

(2)画出△ABC关于坐标原点O成中心对称的282c2,并写出点C2的坐标.

【考点】作图-平移变换；作图-旋转变换.

【解答】解：(1)如图所示，△4B1C3即为所求.点劭的坐标为(-1,4).

（2）如图所示，282c3即为所求.点C2的坐标为（4,6）.

22.（8分）某学校开展了“交通法规”讲座活动，为了解全校学生对交通法规的了解情况，

从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分x均为不

小于60的整数）（60Wx<70）,合格（70Wx<80）,良好（80Wx<90）（90WxV100）,

制作了如图所示的不完全统计图.

所抽取的学生知识测试成绩的频数直方图所抽取的学生知识测试成绩的扇形统计图

根据以上的信息，解答下列问题：

（1）本次测试成绩合格的学生人数有200名,并补全频数分布直方图，在扇形统计

图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数为144°；

（2）这次测试成绩的中位数是什么等级；

（3）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有

多少名.

【考点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数.

【解答】解：（1）304-15%=200（名），200-30-80-40=50（名）.

补全频数分布直方图如下：

“良好”所对应的扇形圆心角的度数为360°X备-144。，

故答案为：200,144；

（2）•.•一共有200个数据，其中位数是第100,而第100,

:.这次测试成绩的中位数等级是良好；

（3）1500X-^-=300（名），

答：估计该校获得优秀的学生有300名.

23.（8分）如图，在四边形A8CO中，AD//BC,对角线AC、3。相交于点O,04=08.

（1）求证：四边形ABC。是矩形；

（2）若AB=5,NAOB=60°,求BC的长.

【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质.

【解答】（1）证明：

AZABC+ZBAD=1SO°,ZADC+ZBC£)=180°,

NABC=ZADC,

；.NBAD=NBCD,

四边形488是平行四边形,

:.OA^OC=1AC^-BD,

22

'：OA=OB,

：.AC=BD,

，四边形ABC。是矩形.

(2)解：'：OA=OB,/AOB=60°,

.♦.△A08是等边三角形，

'.0A=AB=5,

由(1)得：四边形ABCD是矩形，

AZABC=90°,AC=5OA=10,

•**BC=VAC2-AB2=V402-52=5^2-

24.(10分)九二班计划购买4、B两种相册共42册作为毕业礼品，已知A种相册的单价

比8种的多10元，买4册A种相册与买5册8种相册的费用相同.

(1)求A、B两种相册的单价分别是多少元？

(2)由于学生对两类相册喜好不同，经调查得知：购买的A种相册的数量要少于B种相

册数量的3,但又不少于B种相册数量的2

45

①有多少种不同的购买方案？

②商店为了促销，决定对A种相册每册让利a元销售(12W.W18),B种相册每册让利匕

元销售，当总费用最少时，求此时a的值.

【考点】一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用.

【解答】解：(1)设A种相册的单价为,〃元，B种相册的单价为〃元，

依题意，得：卜-n=10,

I4m=5n

解得：fm=50.

ln=40

答：A种相册的单价为50元，8种相册的单价为40元.

，9

x<w(42-x)

(2)①依题意，得：|,

、9

XA^"(42-X)

6

解得：12Wx<18.

又为正整数，

可取12、13、15、17.

②设购买总费用为w元，

依题意，得：卬=(50-a)x+(40-b)(42-x)=(10-a+b)x+42(40-/,).

♦购买所需的总费用与购买的方案无关，则W的值与X无关,

/.10-〃+%=0,

.'.b—a-10,

；.w=42(40-6)=42(40-(a-10)]=-42a+2100.

；-42<0,

•••卬随〃的增大而减小.

又\T2WaW18,

...当a=18时，w取得最小值.

答：当总费用最少时，a的值为18.

25.(10分)如图，已知A8为。。的直径，以AB为边作正方形ABC。，连接AG交。。于

点F,过点。作OELAG于点E.

(1)求证：DE=AF；

(2)若逵」，求理•的值；

EF2AB

(3)连接OF,当点G在BC上什么位置时，。尸与。0相切？并说明理由.

【考点】圆的综合题.

【解答】(I)证明：连接8F,

'：AB为OO的直径,

・・・/4尸8=90°,

又・・・£>E_LAG,

・・・NAEQ=NAFB=90°.

又・・•四边形A8CO为正方形,

：.AB=ADfNBAD=90°,

AZBAF+ZDAE=90°,ZBAF+ZABF=90°,

・•・NDAE=NABF,

：.AABF^ADAE(A4S),

：.DE=AF；

(2)解：:迪=A,

EF2

：.EF=4AE,

又丁/XABF^ADAE,

:・BF=AE,

•・FnNBAF啮嗡

又：tan/BAG卡•晋'

•.•BG8.»

AB3

(3)解：当点G在BC的中点时，。尸与。。相切.

理由如下：连接。凡

；G为8c的中点,

・11

••BG=yBC-yAB)

tanZBAG=7^

AB2

乂,tanZ^BAF=TZT,

AF

・BF1

’.而在

：.AF=2BF,

由⑵，MlBF=AE,

：.AF=2AE,即点E为AF的中点.

\'DE±AG,

：.AD=DF,

：.ZDAE=ZDFE,

又；OA=OF,

:.NOAE=NOFE,

ZDFE+ZOFE=ZDAE+ZOAE=ZBAD=90",

：.OF±DF,即。尸与。。相切.

26.(10分)如图1,抛物线y=o?+fcv+旦与x轴交于点A(-1,0),C(3,0),点8为

2

抛物线顶点，BC,A8与)，轴交于点。

（1）求该抛物线解析式，并写出顶点B的坐标；

（2）判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）如图2,连接08,抛物线上是否存在点Q,当tana=2时，请直接写出点。的横

坐标，说明理由.

【考点】二次函数综合题.

【解答】解：（1）把点A（-1,0）,5）代入抛物线y=ax2+bx+|-

’3

a-b+-=5

得，

9a+3b+^~=0

解得：a-/，

b=l

•••抛物线的解析式为丫=-^+乂专

•y-^x+xq=-y(x-5)+2'

二顶点B的坐标为(5,2)；

(2)ZXABC的形状是等腰直角三角形.

理由：VA(-1,2),0),2),

.'.AC4=(3+1)8=16,

人群=(1+3)2+26=4+4=6,

Bd=(3-6)2+(2-8)2=4+5=8,

：.AB2+BCi=AC2,

：.ZABC=90°,AB=BC,

：.XABC的形状是等腰直角三角形；

(3)分两种情况：①当。在x轴的下方时，

如图，延长84,过尸作FG_Ly轴于G,

ZBCA+ZQCA=Za,且tana=2,

•BF。

..而=8'

,/BC=AB=2亚，

，AF=2后，

,：ZFAG=ZBAC=45a,

...△4G尸是等腰直角三角形，

：.AG=FG^2,

：.F(-3,-2).

VC(3,5),

同理得直线CF的解析式为y」x-5-

3

Tx"+xAJx-］即4厂-4x-15=2

CtCtO

解得：xi=3,-——,

xX53

.••点。的横坐标为上；

3

②当。在x轴的上方时，如图，

,：ZQCA^ZQ\CA,0D=0H=3,

由对称性得：CQi经过点O,

：-CQ\的解析式为y=4+］，

3

令62,上1_

v方x+x+y=-yx+k1P

解得：xi=5,xc='，

X28

点。的横坐标为」.

7

综上，点Q的横坐标为£或_1.

33

考点卡片

1.有理数的减法

（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即：a-b=a+（-b）

（2）方法指引：

①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；

②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数

的性质符号（减数变相反数）；

【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律.

减法法则不能与加法法则类比,0加任何数都不变,0减任何数应依法则进行计算.

2.科学记数法一表示较大的数

（1）科学记数法：把一个大于10的数记成aX10〃的形式，其中a是整数数位只有一位的

数，〃是正整数，这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式:“X10",其中lWa<10,

〃为正整数

（2）规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位

数少1;按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数加

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此

法表示，只是前面多一个负号.

3.算术平方根

（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即？=a,那么这个正数

x叫做〃的算术平方根.记为寸［

（2）非负数a的算术平方根。有双重非负性：①被开方数。是非负数；②算术平方根。本

身是非负数.

（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平

方根时，可以借助乘方运算来寻找.

4.实数大小比较

实数大小比较

（1）任意两个实数都可以比较大小.正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负

实数，两个负实数绝对值大的反而小.

（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比

左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小.

5.实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、幕的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

6.列代数式

（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，

就是列代数式.

（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义.列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，

仔细辩析词义.如“除"与‘'除以平方的差（或平方差）"与''差的平方”的词义区分.②

分清数量关系.要正确列代数式，只有分清数量之间的关系.③注意运算顺序.列代数式

时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低

级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来.④规范书写格式.列代数时要按要求

规范地书写.像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除

法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括

号，什么时要加括号.注意代数式括号的适当运用.⑤正确进行代换.列代数式时，有时

需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换.

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题

1.在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量.

2.要注意书写的规范性.用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“X”

简写作“丫或者省略不写.

3.在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成

假分数.

4.含有字母的除法，一般不用“+”（除号），而是写成分数的形式.

7.规律型：数字的变化类

探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要

求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律.

（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字

与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式.

（2）利用方程解决问题.当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x,再利用它们

之间的关系，设出其他未知数，然后列方程.

8.整式的混合运算

（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数

的混合运算顺序相似.

（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地

解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来.

9.分式的化简求值

先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.

在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分，注

意运算的结果要化成最简分式或整式.

【规律方法】分式化简求值时需注意的问题

1.化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.化简时不能跨度太大，而缺

少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=

2.代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选

择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式

都有意义，且除数不能为0.

10.零指数幕

零指数基：a°=l（“W0）

由""+a'"=l,a"=a"'=e/"-"'=a°可推出/=1（a#0）

注意：O°W1.

11.一元一次方程的应用

（-）一元一次方程解应用题的类型有：

（1）探索规律型问题；

（2）数字问题;

（3）销售问题（利润=售价-进价，利润率=型2乂100%）；（4）工程问题（①工作量=

进价

人均效率义人数X时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作

总量）；

（5）行程问题（路程=速度X时间）；

（6）等值变换问题；

（7）和，差，倍，分问题；

（8）分配问题;

（9）比赛积分问题；

（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）.

（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下:首先审题找出题中的未知量和所有的已知量,

直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x,然后用含x的式子表示相关的量，找出

之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、歹人解、答.

列一元一次方程解应用题的五个步骤

1.审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系.

2.设：设未知数（x）,根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知

数.

3.歹U：根据等量关系列出方程.

4.解：解方程，求得未知数的值.

5.答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句.

12.二元一次方程组的应用

（-）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：

（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系.

（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来.

（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组.

（4）求解.

（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答.

（二）设元的方法：直接设元与间接设元.

当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元.无论怎

样设元，设几个未知数，就要列几个方程.

13.根的判别式

利用一元二次方程根的判别式（△=廿-4砒）判断方程的根的情况.

一元二次方程〃/+以+°=0（aWO）的根与△=%2-4ac有如下关系：

①当△>◊时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△=（）时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△<◊时，方程无实数根.

上面的结论反过来也成立.

14.由实际问题抽象出分式方程

由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系.

（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中

的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等.

（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路.

15.一元一次不等式组的应用

对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解.

一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：

（1）分析题意，找出不等关系；

（2）设未知数，列出不等式组；

（3）解不等式组；

（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；

（5）作答.

16.函数自变量的取值范围

自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义.

①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数.例如y=2x+13中的x.

②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零.例如y=x+2x-1.

③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零.

④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问

题有意义.

17.一次函数图象上点的坐标特征

一次函数y=h+b,（�,且。为常数）的图象是一条直线.它与x轴的交点坐标是（-

上，0）；与y轴的交点坐标是（0,b）.

k

直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+h.

18.一次函数的应用

1、分段函数问题

分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科

学合理，又要符合实际.

2、函数的多变量问题

解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根

据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数.

3、概括整合

（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用.

（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键.

19.反比例函数系数k的几何意义

比例系数k的几何意义

在反比例函数y=K图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成

x

的矩形的面积是定值|乩

在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角

形的面积是白内，且保持不变.

2

20.反比例函数图象上点的坐标特征

反比例函数为常数，火¥0）的图象是双曲线，

①图象上的点（x,y）的横纵坐标的积是定值%,即孙=%

②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；

③在y=k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的

面积是定值因.

21.二次函数综合题

（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题

解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系

式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即

为正确选项.

（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难