2022年高考数学二轮复习：函数的极值最值

2022年高考数学二轮复习：函数的极值、最值

[考情分析]利用导数研究函数的极值、最值是重点考查内容，多在选择题、填空题靠后的

位置考查，或以解答题的形式出现，难度中等偏上，属综合性问题.

考点一利用导数研究函数的极值

【核心提炼】

判断函数的极值点，主要有两点

(1)导函数/(X)的变号零点，即为函数人X)的极值点.

(2)利用函数(x)的单调性可得函数的极值点.

例1已知函数1x)=alnx+Jd—(“+])x+1.

(1)当a=0时，求曲线y=/1)在点(2,负2))处的切线方程；

(2)若函数«r)在x=l处取得极小值，求实数。的取值范围.

解(1)当a—0时，

所以/(x)=x—1,

所以k=f(2)=1,

因为火2)=^X22—2+1=1,

所以切线方程为y=x-l.

(2)函数«r)的定义域为(0,+8).

因为/x)=alnx+2，—(〃+])x+],

“a..x2—(a+l)x+a

所以/(x)=~+x-a-l=--.

令f(x)—0,即炉一(a+l)x+a=0,解得x=l或x=a.

①当“WO时，当x变化时，/(x),兀t)的变化情况如表所示：

X(0,1)1(1,+°°)

fW一0+

於)\极小值/

所以当x=l时，40取得极小值.所以“W0成立.

②当0<“<1时，当x变化时，f(x),火x)的变化情况如表所示.

X(0,a)a(«,1)1(1,+°0)

f(X)+0一0+

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於)/极大值X极小值

所以当X=1时，段)取得极小值.所以0<4<1成立.

③当。=1时,f(x)eo在(0,+8)上恒成立,

所以函数y(x)在(O,+8)上单调递增，没有极小值，不成立.

④当4>1时，当X变化时，/(X),./(X)的变化情况如表所示.

X(0,1)1(1.«)a{a,+8)

fW+0一0+

危)/极大值极小值/

所以当X=1时，./(X)取得极大值.所以不成立.

综上所述，a<l.

易错提醒(1)不能忽略函数的定义域.

(2)f(沏)=0是可导函数式外在x=xo处取得极值的必要不充分条件，即(x)的变号零点才

是人x)的极值点，所以判断段)的极值点时，除了找/(x)=0的实数根松外，还需判断/(x)

在xo左侧和右侧的单调性.

(3)函数的极小值不一定比极大值小.

跟踪演练1(1)(2021•全国乙卷)设若x=a为函数,/U)=a(x—“)2(x—力的极大值点，则

()

A.a<bB.a>b

C.ab<a2D.ab>a2

答案D

解析方法一(分类与整合法)因为函数,/(x)=a(x—a)2.(x—。)，所以f(x)—2a(x—a)(x—b)

+a(x—a)2=a(x—a)-(3x—a—2b),令f(x)=0,结合aWO可得x=a或x="3I

(1)当a>0时，

①若专即入内此时易知函数段)在(一8,4)上单调递增，在Q,弓”)上单调递减，

所以x=a为函数7U)的极大值点，满足题意；

②若吟丝=4,即〃=a,此时函数<x)=a(x—a)3在R上单调递增，无极值点，不满足题意；

③若专纥“，即从“，此时易知函数人x)在仲言，J上单调递减，在3,+8)上单调递增，

所以x=a为函数|x)的极小值点，不满足题意.

(2)当〃<0时,

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①若W四>“，即比>“，此时易知函数负x)在(一8,“)上单调递减，在Q,仁衿上单调递增,

所以x=a为函数«r)的极小值点，不满足题意；

In〃

②若一=a,即〃=a,此时函数式x)=a(x—。)3在R上单调递减，无极值点，不满足题意;

③若专即Xa,此时易知函数应r)在GF，J上单调递增，在(a,+8)上单调递减,

所以x=a为函数<x)的极大值点，满足题意.

综上，tf>0且满足题意，a<0且Xa也满足题意.因此，可知必有“冷好成立.

方法二当a=l,6=2时，函数y(x)=(x—l)2.(x—2),画出该函数的图象如图1所示，可知

x=l为函数兀0的极大值点，满足题意.从而，根据a=l,6=2可判断选项B,C错误；当

a=—\,/>=—2时，函数/(x)=—(x+l)2(x+2),画出该函数的图象如图2所示，可知x=一

1为函数,/(X)的极大值点，满一足题意.从而，根据。=-11,6=-2可判断选项A错误.

1

图1图2

方法三当。>0时，根据题意画出函数yw的大致图象，如图3所示，观察可知％〉a.

*

图3

当“<0时，根据题意画出函数兀v)的大致图象,如图4所示，观察可知

图4

综上，可知必有成立.

(2)(2021・湘潭模拟)已知函数./)=8—以2+2ax有两个极值点，贝!lja的取值范围是()

A.(e,+°°)B.(j,+°°J

C.(e2,+°°)D.fy,+°°)

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答案D

解析因为式x)=e，一62+2"有两个极值点，所以，(x)=0有两个不同实数根，所以e'一

2ax+2a=0有两个不同实数根，

所以1)有两个不同实数根，显然a#0,

所以或=才有两个不同实数根，

X—12—x

记g(x)=-^r-,g'(x)=­r,

当Xd(—8,2)时，g'(x)>0；当xe(2,+8)时，g'(x)<0,

所以g(x)在(一8,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减，所以ga'nmMgQ'np,

又因为当xe(—8,I］时，g(x)wo；当XG(1,2)时，g(x)W(O,2)；当x£［2,+8)时，

g(x)w(。，卜，

所以当■有两个不同实数根时，=e(o,白，

c乙a\c/

e2

所以2a>e2,所以

考点二利用导数研究函数的最值

【核心提炼】

1.求函数4X)在m，句上的最大值和最小值的步骤

(1)求函数在3,份内的极值.

(2)求函数在区间端点处的函数值<。)，j［b).

(3)将函数/(x)的各极值与|a),#8)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

2.若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函

数的最值.

例2⑴函数以)=/—6加+〃在区间上的最大值为3,最小值为-29m>0),则〃，

b的值为()

A.。=2,b=—29B.。=3,Z?=2

C.a=2,b=3D.以上都不对

答案c

解析函数段)的导数，(x)=3ax2—12ax—3ar(x—4),

因为“>0,所以由f«<0,计算得出0a<4,此时函数单调递减，

由，(x)>0,计算得出x>4或x<0,此时函数单调递增，

即函数在［—1,0］上单调递增，在［0,2］上单调递减，

即函数在x=0处取得极大值同时也是最大值，

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则式0)=b=3,

则=ox3—bax2+3,

7(-1)=-7a+3,y(2)=-16a+3,

则火—1)次2),

即函数的最小值为<2)=-16a+3=—29,

计算得出a=2,b—3.

(2)(2021.新高考全国I涵数以)=|2xT|-21nx的最小值为.

答案1

解析函数式x)=|2x—1|-21nx的定义域为(0,+8).

①当时，y(x)=2r—1—21nx,所以/'(x)=2—~=--一力,当］<%<1时，，(x)<0,当x>l

时，,(x)>0,所以危)min=*)=2-l-21nl=l；

②当0<xW；时，4X)=l—2x—21nX在(0,义上单调递减，所以_/(x)min=/0=-21ng=21n2

=ln4>lne=l.综上，式项面=1.

易错提醒(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较大小才能下结论.

(2)求函数无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值，还需研究单调性，结合单调性

和极值情况，画出函数图象，借助图象得到函数的最值.

跟踪演练2(1)(2021•重庆联考)函数段)=x+2cosx在［0,n］上的最大值为()

71

A.兀-2B%

C.2

答案D

解析由题意得，/⑴=1—2sinx,

当OWsinxW；,即x在［o,看］和愕，兀］上时，/(x)20,危)单调递增；

当gvsinxWl,即x在(袁，芸)上时，f(x)<0,式x)单调递减；

•\/W有极大值诡)=5+黄，有极小值/管)=知一小，而端点值加)=2,加=兀-2,则

/蜴》0)>刎学闺,

.•JU)在［0,兀］上的最大值为劳+小.

(2)(2021.芜湖模拟)已知关于x的不等式R—依221nx恒成立，则实数。的取值范围为()

A.(—8,1］B.(0,1］

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1

D.(—8,0]

答案A

解析因为不等式x3—恒成立，

所以不等式在(0,+8)上恒成立，

,Inx„,,%3-1+21nx

令g(x)^x--,则g(x)=----3----

2

令〃(x)=V—1+2Inx,则(x)=3x2+->0,

所以〃(x)在(0,+8)上单调递增，又以1)=0,

所以当0<x<l时，/z(x)<0,即g'(x)<0,

当x>l时，h(x)>0,即g'(x)>0,

所以当x=l时，g(x)取得最小值g(l)=l,所以aWl.

考点三导数的简单应用

I核心提炼】

构造函数解方程、不等式的解题策略

观察题设，化简变形所给的条件，构造函数使化简变形后的代数式为所构造新函数的函数值,

再利用新函数的单调性解方程或不等式.

例3(1)(2021・威海模拟)若关于x的方程Inx—依=/在(0,+8)上有两个不等的实数根，

则实数。的取值范围为()

A.(—8,—1]B.(―°°,—1)

C.[-1,+°°)D.(-1,+8)

答案B

InX

解析因为Inx—所以。=%二一x,

、n~Inx

设大工)=三-一心

I,<1—Inx1-Inx—x2

则/(尤)=一^一］=—p—

设g(x)=l—Inx—x2,x>0,

则g'a)=—2x<o,

所以g(x)=l—Inx-X2在(0,+8)上单调递减,g⑴=o.

故当x£(0』)时，g(x)>0,即r(x)>0；

当xe(i,+8)时，ga)〈o,即/a)<o.

InY

故yu)=q--%在(o,i)上单调递增，在a，+8)上单调递减.

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/(X)max=Hl)=—1,

且Xf。时，/U)f—8;%f+8时，式x)f—8,

InY

y=a与,人穴)=一1一工的图象有两个交点，

则。的取值范围为(—8,—1).

(2)(2021•包头检测)若「2。+义3—1)2=€Z+；(26—1)2,则()

A.a>2bB.a=2b

C.a<2bD.a>b2

答案B

解析设式》)=笈-1)2—e',

xe

则/(x)=x—1+e~,设g(x)=x—1+屋。则g'(x)=l—e^=e，r

g'U)>0=>x>0=>f(x)在(0,+8)上单调递增；

g'(x)<0nx<0=f(x)在(一8,0)上单调递减，

所以/(x)min=/(0)=0,即/'(X)NO恒成立，

又因为40=：(X—1)2—e、不是常函数，

所以y(x)=T(x—1)2—e"在(-8,+8)上单调递增，

+1)2=「+；(2》-1)2化为:(4—1)2一—"=；(2匕-1)2-126,

即式4)=K2份=>4=26.

易错提醒(1)分离参数时，等式或不等式两边符号变化、以及除数能否等于0,易忽视.

(2)作图时，端点值的变化趋势易忽视.

跟踪演练3(2021・晋中模拟)若存在实数x,y满足Inx—x+3》a+e-F,则x+y等于()

A.-1B.0C.1D.e

答案C

解析令函数y(x)=lnx—x+3,

11--Y

可得/'(》)=:-1=丁，

当xe(0,l)时，f(x)>0,於)单调递增；

当Xd(l,+8)时，f(x)<0,/(x)单调递减，

所以当x=l时，可得y(x)max=Al)=ln1—1+3=2,

令函数g(y)=a+e

则e>'+eF>2,当且仅当y=0时取等号，

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又由Inx—x+3^ev+e

所以Inx—x+3=eJ+e-v=2,

所以x=l,y=0,所以x+y=l.

专题强化练

一、单项选择题

-4-2jr

1.若函数40=一二的极大值点与极小值点分别为a,b,则a+匕等于（）

A.-4B.A/2

C.0D.2

答案C

解析/（%）=y,当一也＜%＜/时，f（x）＞0；

当x＜一也或心时，f（x）＜0.

故的极大值点与极小值点分别为也，一会，

则a=也，b=—y[2,所以a+/＞=0.

2.已知函数./U）的定义域为R,其导函数为/（x）,/（x）的部分图象如图所示，则（）

A.贝x）在区间（0,1）上单调递减

B.Hx）的一个单调递增区间为（一1,1）

c.yu）的一个极大值为五一1）

D.7U）的最大值为式1）

答案B

解析由/（x）的部分图象可得，

在（一1,1）上，/（x）＞0,所以式x）单调递增，所以A不正确，B正确；

由/（-1）=0,导函数在x=—l左右两侧的函数值异号，所以大-1）是火x）的一个极小值，

所以C不正确；

同理可知人1）是贝x）的一个极大值，并不一定是最大值，所以D不正确.

3.（2021・南昌检测）已知函数於）=21nx+"2-3x在尸2处取得极小值，则於）在性3」上的

最大值为（）

A.B.21n3-尚C.—1D.21n2-4

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答案B

解析,・7U)=21nx+ax2—3x,

2

则，(x)=^+2ax—39

由题意可得/(2)=4。-2=0,解得〃=

2

则7U)=21nX+^X~3X9

.2,x2—3x+2

fW=-+.-3=—

令/(x)=0,可得x=l或x=2.当x变化时，f(x),/U)的变化情况如表所示.

X[r01(1,2)2(2,3]

fM+0—0+

火x)/极大值极小值7

函数外)的极大值为4)=-I，极小值为负2)=21n2—4,

又••,/(9=-21n2—*/3)=21n3-1,

95

13)—川)=21n3—5+]=21n3—2=2(ln3—1)>0,则川)J3),

9

・\Ax)max=7(3)=21n3-g.

4.(2021・蚌埠模拟)已知函数Xx)=e'—asinx在区间(0,§上有极值，则实数a的取值范围是

()

A.(0,1)B.(1,e)

兀

C.(l,2e)D.(l,2ei)

答案D

解析fM—ex—acosx,由题意知e'—“cosx=0在(0,号)上有解，即。=意7在(0,号)上

有解,

,eA(cosx+sinx)

记g(x)=，则g(加cMx

COSX

当XG(O,4时，g'(x)>0,g(x)单调递增,

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cos—

3

所以\<a<2e3.

5.函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对

“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次

的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数式x)=x，(x>0),我们可以作变形：fix)

In.r*

=xv=e=evlnJt=e,(r=A-lnx),所以应r)可看作是由函数和g(x)=xlnx复合而成的，

工

即式x)=*、(x>0)为初等函数.根据以上材料，对于初等函数〃(x)=xi(x>0),6。)的极值点为

()

A.(e,0)B.(1,0)C.eD.1

答案C

1,:4,

解析根据材料知/i(x)=x'=eh,"=e，,

所以/?'(幻=0"”｛」lnxj'=e；-^--vlnx+-y^

1-Inx

=­ev(1-lnx),

x

令/?'(x)=0,得太=©.

当Oave时，h'(x)>0,此时函数力。)单调递增；

当x>e时,hf(x)<0,此时函数力(x)单调递减，

£

所以为(x)有极大值且为/?(e)=ee,无极小值.

6.(2021•绍兴模拟)函数y(x)=x+2sin总>0)的所有极小值点从小到大排列成数列｛%｝,设工

是｛〃〃｝的前〃项和，贝1JsinS202］等于()

A.1B.坐C.0D.一坐

答案B

解析f(x)=l+2cosx(x>0),/(x)是周期为2兀的周期函数，

令/(x)=l+2cosx=0,得cosx=—g,

在区间(0,2元］上，由cos尸—解得x=与或X=与，

画出/(元)在(0,2兀］上的图象如图所示，由图可知y(x)在区间(0,2兀］上的极小值点为1=学.

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所以｛小｝是首项为M=与，公差为2兀的等差数列,

近八，4K,2021X2020<,KA,202171

所以S2021=2021X—+-----------义2兀=2021X(TC+于+2021X2020n=2021n+——

+2021X2020n=202P兀+673兀+K，

所以sinS2O2i=sin（20212兀+673兀+号）=sin,=坐.

二、多项选择题

7.（2021•湛江模拟）已知函数应QnR—Slnx—l,则（）

A.段）的极大值为0

B.曲线y=/（x）在（1,耳1））处的切线为x轴

C.<x）的最小值为0

D.於）在定义域内单调

答案BC

解析XJC）=X3-31nx—1的定义域为（0,+°°）,f（x）=3x2—1）,

33

令/（x）=3/—嚏=嚏（/-1）=0，得x=l,

当X变化时，f（X）,火X）的变化情况如表所示.

X(0,1)1(1.+°°)

f（X）一0+

fix)单调递减0单调递增

所以人x）的极小值，也是最小值为火1）=0,无极大值，在定义域内不单调，故C正确，A,D

错误；

对于B,由<1）=0及/（1）=0,所以y=/（x）在（1,次1））处的切线方程为y—0=0（犬一1）,即y

=0,故B正确.

8.已知函数兀c）=eRe是自然对数的底数），g（x）=/的图象在（0,16］上有两个交点，则实数a

的值可能是（）

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答案AB

解析由函数y(x)=e",的图象在(0,16］上有两个交点，

可转化为方程e"*=x2在(0,16］上有两个不等的实数根，

即方程or=21nx在(0,16］上有两个不等实根，

即方程5=乎在(0,16］上有两个不等实根.

设人。)=乎，xG(0,16］,则(x)=l二",

当0<x<e时，h'(x)>0,/?(x)单调递增；

当eaW16时，h'(x)<0,〃(%)单调递减,

所以人(x)W〃(e)=：,

又由/?(16)=^且当xf0十时，h(x)f—8,

故可由此作出的大致图象，如图所示，则由图象可知殍解得竽Wa<1,结合

选项可知A,B符合题意.

三、填空题

9.写出一个存在极值的奇函数40=.

答案sin%(答案不唯一)

解析正弦函数#x)=sinx为奇函数，且存在极值.

10.已知函数次处=d+〃111工的图象在(1,犬1))处的切线经过坐标原点，则函数y=«r)的最小

值为.

答案2^2ln2

解析函数力>)=/+。m占M/(l)=l2+aln1=1,

且/(x)=2r+p所以/(l)=2+a,

所以/(1)=及U=l=2+a,解得。=一1,

所以j(x)=x2—Inx(x>0),

f(X)=2A-p

令/(x)》0,即2x—120,解得x聋;

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令，（x）<0,即2x—*0,解得0<x<乎，

所以函数4x）在区间（0,阴上单调递减，在区间乎，+8）上单调递增.

所以於）min=/（当=G^）_[n坐《Tn^W+gln2.

11.（2021•南宁模拟）函数次V）=R+以2+云+/在x=l处取得极值[0,则。+6=

答案一7

解析由题意知，函数处0二^+公之+云+屏，可得/（x）=3x2+2ax-\-b,

因为7U）在x=l处取得极值10,

/'(l)=3+2a+6=0,

可得・

|y(i)—i+。+/?+〃2=io,

。=4,a=—3

解得<或.

b=—\\b=3,

检验知，当。=-3,力=3时，可得/（x）=3/—6X+3=3（X-1）2E0,

此时函数式x）单调递增，函数无极值点，不符合题意，舍去；

当a=4,方=一11时，可得，（x）=3A2+8x-11=（3x+11）（JC-1）,

当x<—苫■或X>1时，f'（A-）>0,y（x）单调递增；

当一日时，fw<o,y（x）单调递减,

当x=l时，函数./U）取得极小值，符合题意.

所以〃+6=—7.

Inx,xNl,

12.已知函数式x)={1,

若X2>X|且/U1）=/（X2），则Xl-X2的最大值是

§(/+5),x<l,

答案31n3—8

Inx,x21,

解析因为於）=储+5）,日,

作出函数/U）的图象如图所示:

设1%1)=於2)=/,则0W/<2,

由於1)=1(乃+5)=九可得R=3L5,

由述也）=In12=/,可得=e’.

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令g(E)=xi—X2=3f—e'一5,其中0Wf<2,g'⑺=3—9