2022年高考数学痛点问题训练《专题11解析几何小题问题之一面积》（原卷版）

专题11解析几何小题问题之一面积

【基本知识】

1、弦长问题：设圆锥曲线C：/(x,y)=0与直线/:y=Ax+b相交于4(%,yj,8(9,%)两点，

则弦长|A8|为：

1/4却=Jl+k~dx—%21=Jl+k~+*2)-4X/2

直线AB方程：y=kx+m,d=|p"|

直线43过焦点心,A48耳的面积为

=；闺段加一%|=0加一必|=^^

4.平行四边形的面积:

直线AB为y=依+犯，直线CD为y=依+/%

\AB\=J]+攵2k-x2|=，1+公J(X+%)2-4中2

5皿川一内鲁索

5.面积的向量表示：

―>―►1,,

(1)在AABC中，设A8=(x，y)，AC=(x2,y2)<则S^BC=5、％一%川•

(2)SAABC=g"sin6=gJ(WW)2_(£而

R例3如图2-8.在△ABC中，初一(f.y).祀求证:

△ABC的面积S=J|xv—y“|.

/\证明S=||AB|.|^|sinA

-r="|颓|：•|充―

ffi2-8=yy|AB|*•lACHd—cos2A)

=|>/|SB|!•|ST|:-(|7SB|•ISClcosA)2

=|>/(|A5|•|AC|)2-(A5•At)2.

因为油=(*・y)・St=(u.v).

所以S=]"./+♦)(/+—>—(i“十."

Ct

='.(皿-y”)2

=y|xv-

【基本技能】

1、面积问题的解决策略：

(1)求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接

进行表示的底(或高)。

(2)面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高

不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形.

(3)多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”

的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化.

2、面积范围的解决策略：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找

高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析.

方法：首选均值不等式或对勾函数，其实用二次函数配方法，最后选导数思想.

均值不等式：a~+b2>2ab(a,bGR)1^5^：a+b>2\[ab(a,b&R+);ab<(a+^)2e/?+)

2

作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；

当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值

注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一"正"二''定"三”相等

圆锥曲线经常用到的均值不等式形式:

2t2

1)s=-——=——(注意分r=(V>o,f<o三种情况讨论)

F+64/+64

t

2)1|AB「=3+"J+62公/+1=3+蝴-+I£2+6—43+2」x3+一6,当且仅当%2=产±时，等号成立

1*34+25.等+9费加2M篝9急=64

3)

当且仅当25•驾=9•其时等号成立.

9片254

4)S=；J12_|“2•累=；｛；皿2(_m2+8)4；£*"二；一+8=&,当且仅当病=_加2+8时,等号成立.

2——琳+]+以

5)$=2母甘牛罗

当且仅当2公+1=2喈时等号成立.

18左(1+〃)8(工+女)।

6)S=-|P创PG|=--X---=一彳------.设t=k+-,则由k>0得仑2,当且仅当k=\时取

2(1+2《)(2+《ti)1+2己+.2k

8,

等号.因为S=——7在根，+oo)单调递减，所以当片2,即A=1时，S取得最大值.

1+2/

典型例题

例1:设耳，居为椭圆二+y2=l的左右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P,Q两点，当四边形

的面积最大时，所・尸耳的值等于

例2：已知点P是椭圆16/+259=1600上的一点，且在x轴上方，耳，居分别为椭圆的左右焦点，直

线PF2的斜率为-473,则APKK的面积是（）

A.3273B.24百C.32夜D.2472

例3：已知F为抛物线＞2=》的焦点，点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧，。儿。月=2,则AAB。

与△AR?面积之和的最小值是（）

17B__

A.2B.3C.—D.M

8

例4：以椭圆二+二=1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C,其左右焦点分别为片,鸟，已知点M

95

pr.AJFFF-MF

的坐标为（2』），双曲线C上点。（%,为乂毛＞0,%＞0）满足十寸=十寸，则S“M4一

等于（）

A.2B.4C.1D.-1

r22

例5：已知点P为双曲线七-v二=1（"＞0，。〉0）右支上一点，片,鸟分别是双曲线的左右焦点，且

a~b~

恒瑞|=1，/为三角形尸耳月的内心，若%叼=5/弓+/lS,g成立，则2的值为（)

A."2近B.273-1C.V2+1D.V2-1

例6：设抛物线＞2=2x的焦点为F,过点"（6,0）的直线与抛物线相交于A,B两点，与抛物线的准线

相交于c|5H=2,则△比尸与“ICF的面积之比=)

SJCF

例7已知椭圆/+2＞2=1,过原点的两条直线,1和,2分别于椭圆交于A、B和c、D,记得到的平行

四边形ABCZ）的面积为S.设A（X，yJ,0（々，%），用A、C的坐标表示点0到直线4的距离，并证明

5=2|玉乂-3|

【针对训练】

一、单选题

1.【天津市部分区2019-2020学年高三上学期期末数学试题】

22

已知双曲线c：3—与=1（。＞0,匕＞0）的右焦点为尸（指，0）,点p在。的一条渐近线上，若

ab~

|PO|=|PF|（O是原点），且,0/的面积为斗，则。的方程是（）

A.---^-=1B.--一二=1C.=1D.—~y2=1

4224335

2.【2020届山东省滨州市高三上学期期末考试数学试题】

已知抛物线丁=4x的焦点为E准线为/,P为该抛物线上一点，PA1/,/为垂足.若直线/尸的斜率为,

则△A4E的面积为（）

A.2百B.4gC.8D.8百

3.[2020届湖北省第五届高考测评活动高三元月调考文科数学试题】

已知尸为椭圆三+y2=i的一个焦点，点尸在椭圆上，满足IOP1=1OFI（。为坐标原点），则△OPF的

4

面积为（）

11至>3

A.-B.-C.---D.—

4244

4.【浙江省丽水市2018-2019学年高二上学期期末教学质量监控数学试卷】

x22

椭圆上+2v1=1的左焦点为尸，直线x=/与椭圆相交于点当的周长最大时,AMV的面积

54

是

A75R475「6乔n875

5555

5.【湖南省岳阳市2019-2020学年高三上学期末数学文科试题】

已知产为抛物线C:V=4x的焦点，过户作两条互相垂直的直线/”4,直线4与C交于A8两点，直线4

与C交于。,七两点，则四边形ADBE面积的最小值为（）

A.16B.24C.32D.64

6.【湖北省宜昌市2019-2020学年高三期末数学（文）试题】

22

点A、8为椭圆氏1+[=1（。>6>0）长轴的端点，C、D为椭圆E短轴的端点，动点M满足

a~b~

瞿2=2,记动点M的轨迹为曲线「，若曲线r上两点M,满足面积的最大值为8,

△M2c。面积的最小值为1,则椭圆的离心率为（）

A.也B.BC.BD.克

3322

7.【重庆市渝中区巴蜀中学2019-2020学年高三“一诊”模拟测试卷数学（理）试题】

已知抛物线C：/=2px（p>0）,过其焦点厂的直线与。交于A，B两点,。是坐标原点，记AAO8的

面积为S,且满足|4a=3忻用=半5,则"=（）

8.【河南省天一大联考2019-2020学年高三阶段性测试（三）数学（理）试题】

如图所示，在直角坐标系X。），中，AA8C和ABDE都是等腰直角三角形，ZABC=ZBDE=90，且

。4=。8.若点。和点£都在抛物线丁=2*（〃>0）上，则AABC与ABZ汨的面积的比值为（）

B.3-2y/2

D.yp2,—1

9.在平面直角坐标系xOy中，直线x+0y-20=O与椭圆C:二+==1（。>。>0）相切，且椭圆C

的右焦点尸（c,0）关于直线的对称点E在椭圆。上，则AOE尸的面积为（）

jn

A.-B.4C.1D.2

22

10.【新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2019-2020学年高三第一次诊断性测试数学文试题】

3

已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点/到准线的距离为2,点P在抛物线上，且|PF|=],延长尸F交

C于点0,则△。尸。的面积为（）

A逑B.逑C.逑D.迪

24816

11.12020届湖北省武汉市武昌区高三元月调研考试理数试题】

已知过抛物线V=4x焦点E的直线与抛物线交于点A，B,\AF\=2\FB\,抛物线的准线/与x轴交于

点C,40，/于点加，则四边形AMCF的面积为（）

A・逑B•磋C.572D.1072

42

2

12.设E，6是双曲线光2一乙=1的两个焦点,P是双曲线上的一点，且31P6|=4忸用，则XPFK的面积等

于（)

A.4&B.8G

C.24D.48

13.设抛物线y2=2pM>>0）的焦点为F，准线为/,过抛物线上一点A作/的垂线，垂足为3,设

cQp,0j,A尸与8C相交于点E,若|Cq=2|A耳，且AACE的面积为3C，则〃的值为

A.、陶B.怎C.置D.炳

14.【2020届江西省吉安市高三上学期期末数学（文）试题】

椭圆C的焦点为6（-c,0）,工（c,0）（c>0）,过尸2与x轴垂直的直线交椭圆于第一象限的A点，点A关

于坐标原点的对称点为3,且NA耳5=120。，SAMB=|V3,则椭圆方程为（）

222227

XV.X21xV.cX,2i

AA.---F—=1BD.F（y=1C.1=1D.Fy=1

433322

15.12020届浙江省嘉兴市高三上学期期末考试数学试题】

已知A,3是椭圆C：二+/=1短轴的两个端点，点。为坐标原点，点P是椭圆。上不同于A,3的

3

动点，若直线B4,PB分别与直线x=Y交于点M，N,则AOMN面积的最小值为（）

A.2473B.1273C.675D.1275

16.已知产是抛物线V=x的焦点，点A,3在该抛物线上且位于x轴的两侧，OAOB=2（其中。为

坐标原点），则A4BO与AAFO面积之和的最小值是（）

A.2B.3C.2也D.V10

8

17.[2020届河南省驻马店市高三上学期期末数学（文科）试题】

22

已知双曲线T—左=1（。>0力>0）的左、右顶点分别是AB,双曲线的右焦点尸为（2,0）,点p在过户

且垂直于x轴的直线/上，当A4BP的外接圆面积达到最小时，点P恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为

（）

18.【云南省昆明市云南师范大学附属中学2019-2020学年高三适应性月考卷（五）】已知E是双曲线G：

=-==1（。>08>0）的一个焦点，4，，2是双曲线的两条渐近线，过户且垂直4的直线与4,4分别交于

a'b"

A，B两点,若三角形AQB的面积5刖。8=26？（。为原点），则双曲线的离心率为（）

A.叵或叵B.如或0

332

「V6VTo八/7VTo

C.二一或----D.J6或-----

222

19.12020届山西省高三2月开学模拟（网络考试）数学（文）试题】

22

设6,工分别为双曲线E:*—2=1（。,6>0）的左、右焦点，以坐标原点0为圆心，I。制为半径的圆与

双曲线E的右支相交于RQ两点，与E的渐近线相交于A,B,C,。四点，若四边形PF]QF2的面积与四边

形A,5,C,O的面积相等，双曲线£的离心率为（）

A.V2B.百C.75D.76

二、填空题

V-2V2

20.在平面直角坐标系X0V中，己知焦距为4的双曲线力>°）的右准线与它的两条渐近

线分别相交于点P,Q,其焦点为耳，尸2，则四边形PFQ