2022年高考数学总复习高中数列常见的类型和解题思维

巧破数列迷阵

数列是一种特殊的函数，即它是定义在正整数集或其子集上的函数，当n从小到大取

值时，所对应的一系列函数值，就是数列。

如一个数列中某项是最大的，它满足｛:常：；，同样的，如果某项是最小的，则｛::鲁:：

通项公式：

用来表示序数和每一项的关系的式子(an=f(n))

题中会给到S0和通项an,a.的递推式，常见的有以下经典类型

20与50的关系对群才(〜)

(一定要检验首项许=鸟是否符合通式，符合的话合并写，不符合的话分

n=1和n>2来表述)

an+i=an+f(n的形式，如果f(n堤个方便求和的关于n的式子。则可以用累差法

an+i-an=f(n)

a

n-an.1=f(n-l)

......左边的加在一起，右边的也加在一起，通项公式就出来了，一定要

a2-a.=f(U

a'=a'检验首项是否符合通式，符合的话合并写，不符合的话分

11=1和门22来表述

第1页共10页

an+1=f(n)a,t,其中f(n层个方便求积的成分。我们用累乘法求通项

-----—=f(n)«f(n-1)*f(n-2)......f(l),得到a。的通式。

anan-<ai

例：在数用向一an=p(an-a”])n>2

5.刍.阻=吐1・“_・t1…….2,进而得到a”的通式。

anan-ia!nn-1n-21

R鼬懒顺嬲

型，其中p,q为常数。我们通过待定系数法，'二匚：：：：构造

b由《麻卿懈郦时捌

a»i=pan+q

,设

借助辅助数列求得,的通项，根据明和aM换算关系得到an

也可以两边同时除以P"'得到舒T+焉，令bn=*则1也=占，用累差法做。

rrrrr

也可以类”斓”推，…心融赢辔蝌

刀一i[------、，贝以看出是一个以~十

Gld1-a3»=a“+>1IJFt>n

设4r1+1r-fMLrP汨公比叱等比我歹u

1bn=an+1-an,bn是一个首项为az-a1，公比为p的等比数列

[I['I1第2页共10页

对于h+：=pan+q”型的，两边同时除以q"+，,变成

据=工41+，，止匕时设bn='，则又化归成

qlqJqq„

问题，按照上边的方法进行计算，就得到结果也可以用待定系数法，思路

是如果强行使得

-舸斓趟鼬儒顺地》畿樨«

递推式为an+2=pan+i+qa”的

第3a.+|=pan+q

它:是美于a—】不口3口白勺迂推式;

a„+2=（«+A,+1-«A^只需令也驾，解得必仇于是得邺向-侬力是以，为公比的等比数列。

求得这个新数列的通项,

已知国的关于n的表达式时,|an与二的关系为｛贮之［；（心2）

用含S”和通项a”，a.的递推式的表达式去推通项公式的时候，一定要检验

a1是否符合这个通式，如果符合，并入通项公式，不符合，单独列出来。如由Sn表达式推出的

1,4,8,16,........的通项公式为=｛墨?2），首项就不符合2”，单独列出来。

n

例1：5n=10-l

nl

a1=9,当nN2时，an=9xlO,检验当n=l时，等于9,我们发现a1刚好也符合这个通式,

则a”通项我们有理由写他・1On-'

例2：S（n）='+1

Hj==2

当n=l时，

nN2时，an=Sb染|=2n-l,检验发现=2不符全n-1,所以我们将a”的通项表示为（an｝=｛溜%

第4页共10页

Sn=®图，求a”

(1)例：求an的通项公式。

①Sn是数列｛22al,的前n项和，Sn=9-6n,

②an中小=1，当nN2时，其前n项和为Sn,满足S；=a(s“-g)

解：①当n=l时，a|=$=3,当n»2时，an=SnY»W，31检验是否也同样符

合这个急式，经检验，不符合这个通式，故本题的an分两种情况写。

解②n22时，a0=S”-Sn4,我们给an来个巧妙地代换,得至|J25n5n,=Sn-Sn,=£一==2,

令bn=£,则bn是一个以1为首项，2为公差的等差数列，据此我们得到bn的通项,

进而得到Sn,接下来就是熟悉的故事了。

两种常见数列

等差数列:从第二项起，后项与前项之差为定值d的数列，d>0则数列递增，反之递减。

另外，等差中项也是判断等差数列的一个依据。即2a"%4+2旬(北2)

nx中项「中项就是n为奇数时的中间数和1为偶数时的中间两项的

2平均数7

第5页共10页

（Sn的前两个表达式的形式为一个没有常数项的二次函数，可以作为等差数列的一个

判断方法。有时还可以结合二次函数的性态研究Sn单调性，最值，零点等）

特点：①把等差数列每隔相同的t项抽出来按相同的顺序排列，构成的新数列仍然是

等差数列，公差是（t+1）d,剩下的则不确定是什么数列。

②若a”和b”是等差数列，则｛皿“+处力乃然是等差数列。

③若m+n=p+q,则

am+an=ap+aq,同一个数列中的项。即序数的和相等的两部分数列和是相等的

例：an满足a.i=2a_-aMn22）,a,=1,a2=3,求通项。

解：可以用等差数列定义，把右边an移到左边一个,；也可以用等差中项判定，把

a0」移到左边。得到a”是个等差数列。接下来就不说了。。

等比数列：从第二项起，后项与前项之比为定值q的数列，q不为0.

数列求和方法汇总

公式法：能直接用等差数列与等比数列求和公式的以及正整数平方和，立方和公式等

求和的方法。

等差数列：对于a”=aa（n-l）d,S”=*+吗也=gd2n2=以节端（形式为一

个没有常数项的二次函数，不过由于n的取值，这些点是间断的）

等比数列：对an于=a4」，Sn=Wf*,如果我们令言=c,S"c-cqn

第6页共10页

请注意应用常见数列的求和公式：

①正整数前n项和公式：1+2+3+.....+nJ(；+l)

②正整数平方构成的数列｛r?｝的前n项和公式：/+22+32…+n2=(2n+lXn+l)n

6

裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消，剩下首尾若干项。

第7页共10页

常见的裂项公式

注意，以上的公式里的任何一个字母的含义是一个位置，公式传达的是一种变换机制，即它描述了

它把一个量进行如何的加工的过程。字母位置E那里也可以是f(n),比如说，以2n替换n,式子依旧成立

分组转化法：

把原数列中的每一项拆成两项或多项。使其分解为几个等差，等比数列，再求解。

例：an=-------------，求和就分成一个等比数列和等差数列。

并项求和法：

一个‘小"\数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。

形如可采用并项求和，

222222

例如100-99+98-97+……+2-I=(100+99)+(98+97)+----+(2+1)=5050Sn=

第8页共10页

错位相减法:

遇到等差数列与等比数列乘积的形式，考虑错位相减法。

例1：an=*2,求前n项和Sn

我们选择错位相减法。

23

Sn=lx2'+2x2+3x2……+n・2”①

1X22+2X23+3X24......H-n*2n+1

2Sn=②

23

①-②得到2'+2+2....2"-n.2--Sn=

n+l

Sn=（n-l）.2+2

例2：*=n・a|+（n-l）・a2..…+2an.1+an?已知7]=1,n=4

⑴求a”的通项。⑵求7；的通项。

解：an是等比数列，已知1=1，4=4,oa|=l,q=2,故a"2\

求Tn的通项时，我们发现，Tn是一个差比数列前n项和的造型。求它的通项我们可以

借助错位相减法，得到结果。

a+a+a+a1

另外，（2）还可以用累差法做。^-^=>23n=2'-l,这个差是便于求和的。

7；=7]+（m）+Z—琪・•・・+（£—&）=1+（22-1）+（23-1）+..…（2n-l）接下来,进行分组求和即可。

推广：我们知道差比数列求和用到错位相减法，我们又知道差比数列是一定能写成

（a・n+附后的,我们对这个结构使用错位相减操作是一定能得到一个（A・n+8W+°结构

.a„b-A_c

的东西的，这里的A=QB=C=-B>这样差比数列求和就变得傻