2022年高三数学名校分项汇编专题05解析几何【文科】（解析版）

专题05解析几何

一、单选题

1.【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试(1)】设抛物线.F=2px(p>0)的焦点为F,倾

斜角为，的直线/经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于M,N两点.若前.无=_2俞?,则

sin26=()

A2a1c近D4近

A•--------D.~-------U♦--------

3349

【答案】D

【解析】

如图所示，过点M,N分别作准线的垂线，垂足分别为D,C,直线/与准线交于点已

由题意可得|扁|=2|俞|，

设|FN|=x,则=

由抛物线的定义可知，|CN|=x,\MD\=2x,

|CN|IENIJ

\MD\~\EM\~2

所以|硒|=3x,

在△ENC中，cosNENC=^^=；=cos。，

I匕N|J

所以sin。=冬旦,

3

则sin20=2sin6cos6=

9

故选：D.

2.【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知直线2x-y-1=0的倾斜角为a,则——产=()

【答案】D

【解析】

根据题意，得tana=2,

所以=1.

故选：D.

22

3.【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知c是双曲线C:事-2=1（。>0,。>0）的半焦距，离

a~b~

心率为。，则1+2的最大值是（）

ec

5

A.—B.d2C.y/3D.2

2

【答案】B

【解析】

22

因为c是双曲线C：5—2=1（“>0,6>0）的半焦距，

a2b~

所以。=>/^万，

a+h_a+h

!UiJ-+-=

ecC\la2+b2\a2+b2

当且仅当a=b时，等号成立.

故选：B.

22

4.【河北省衡水中学2皿届高三上学期七调】已知点F,A分别为椭圆C：3+%="a>°,八。）的左焦

点左顶点，过原点。的直线/交C于P,Q两点，直线QF交AP于点B,且砺+丁=2诙，若I尸用的最小

值为4,则椭圆C的标准方程为（）

B,胃+反=1

D.

A.74251636324936

【答案】C

【解析】

如图，连接。8,AQ,

则。8是△PA。的中位线,

.\OB\\OF\1c1

••----=-----=-，即-----=—,

\AQ\\FA\2'fl-c2

：.a=3c,又1尸尸1的最小值为a-c,a-c=4,

，a=6,c=2,吩=a?—/—32.

故椭圆C的标准方程为《+£=1.

3632

故选：C.

5.【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知圆O:/+y2=4与*轴交于M,N两

点，点P在直线/:x+y-4&=0上，过圆。上的任意两点S,T分别向/作垂线，垂足为5',7',以下说法不

正确的是（）

A.1PMi+|PN|的最小值为60

B.两•所为定值

C.NSPT的最大值为？

D.当ST为直径时，四边形SSTT面积的最大值为16

【答案】B

【解析】

设M（-2,0）,N（2,0）,则N关于/对称的点为M（4夜,4夜-2）,所以IP“1+1尸凶的最小值为[MN]=6夜，

故A正确；再展丽=（0而-丽）.（两-丽）=。肉-4不是定值，故8错误；当|。尸|最小，且当PS,PT为

圆O的切线时，ZSPT最大,此时N5PT=（,故C正确；在四边形SS'TT中，SS,//IT',Jl|S5'|+|77j=8.

因此，当最长，即|S'T]=|S7＞4时面积最大，最大值为16,故D正确

故选：B

6.【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】已知双曲线，■-/=1（。＞0力＞0）的

左、右焦点分别为。尸2,若过点作渐近线的垂线，垂足为P,且△£产用的面积为反，则该双曲线的离

心率为（）

A.1+>/3B.1+72C.GD.上

【答案】D

【解析】

双曲线W-1=1（">（U>0）的渐近线方程为y=+-x,则点名（c,0）到渐近线y=士生的距离

a"baa

1尸司=2=6

\lb+a

在AOPF2中，I尸闾=b]OF2\=c,\OP\=a,S/p6=2sqp6=而=吩,

所以。=/?,离心率e=£=J"=5/2.

aVo'

故选：D

7.【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】已知圆C:/+y2=],直线//=2,

P为直线/上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为4B,则直线A5过定点（）

A.（；,0）B.（0,2）C.（2,1）D.6,1）

【答案】A

【解析】

因为P为直线/上的动点，所以可设尸（2,1）,

由题意可得圆心C的坐标为（0,0）,

以线段PC为直径的圆N的圆心为半径为“7万，

所以方程为/+y2-2x-）=0,两圆方程作差，

即得两圆公共弦A8的方程为2x+“-l=0,（2x-l）+（y=0,

所以直线A8过定点

故选：A.

二、填空题

1.【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】对于双曲线5-1=1（。>0/>0）来说，我

a2b

们定义圆f+y2=/为它的"伴随圆”.过双曲线捺一■=1（。>0）的左焦点F,作它的伴随圆的一条切线，设

切点为T,且这条切线与双曲线的右支相交于点p.若M为PE的中点，M在r右侧，且IMOI-IMTI为定值

I,则该双曲线的离心率为.

【答案】叵

2

【解析】

如图，设工为双曲线的右焦点，在/?以。片7中，\OF\=c,\OT\=a,所以|7FJ=b,

阿。|-|劭=*周-（阿耳|-|历|）=%曰-即用-附）=；（|”|-附|）+|巧|=6-。=，=；,解得

a=l,所以e=£=-

a2

故答案为：叵.

2

2.【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类

似双曲线的一支，。为双曲线的一支的顶点.小明经过测量得知，该双曲线的渐近线相互垂直，且A8与OC

垂直，AB=80cm,OC=20cm,若该双曲线的焦点位于直线OC上，则在点。以下的焦点距点。cm.

【答案】30（夜-1）

【解析】

解：设该双曲线的方程为「一Aig〉。,。〉。）.

因为渐近线相互垂直，所以a=b.

.,（a+20）2402

由B题K意知n，-———-----=1，

ah

解得〃=6=30,c=300，

故该双曲线的一个焦点位于点。以下30（a-l）cm.

故答案为：30（虎-1）

三、解答题

1.【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知圆M:（x-通尸+y2=32,点Q是

圆/W上的一个动点，点N（-#,0）.若线段QN的垂直平分线交线段于点T.

（1）求动点r的轨迹曲线C的方程;

（2）设。是坐标原点，点尸（2,1）,点R（异于原点）是曲线C内部且位于y轴上的一个动点，点5与点R

关于原点对称，直线PR,内分别与曲线C交于A,B（异于点P）两点.判断直线A8是否过定点？若过，求

出定点坐标；若不过，说明理由.

22

【答案】（1）—+^1=1；（2）过定点，（0,-2）.

82

【解析】

（1）由题意可知，TM\+\TN\=\TM\+\TQ\=r=442>\MN\=2>/6,

所以动点了的轨迹为以M,N两点为焦点的椭圆.

设椭圆的长轴长为2«,短轴长为3,焦距为2c,则4形=2a,a=20,c=>^.山〃2=从+/，得匕=0，

所以曲线C的方程为《+q=1.

82

（2）设直线AB的方程为、=辰+/,4（不乂）,8（巧,必），

22

xr.y_i

由，T2='消去y,整理得（1+4公卜2+8依+4/-8=o,

y=kx+t,

则△=（8公f-4（1+4公乂4/-8）=16（8公一r+2）＞0,

8kt4厂—8

又直线PA的方程为yT=上|（x-2）,

Xj-z

kx.+f—1/c、

即y-it=———（-v-2）,

—2

（1-2左）$—2t

令x=0,得'=----x-（--z----

因此点R的坐标为0,(1-2"今一21,同理可得，$0,(1-2空~

I芭-2JIX2-2

由°5=R°,得-匚，方+.-^―=o,

化筒得(2—4Zs)XjX2—(2—4k+2f)(七+9)+8/=0,

即(2-4巾繇-(2-4k+2，)卜岛上8-0,

整理得26+4左+/+.2=0，

即(f+2)(2k+t—l)=0.

因为尸（2,1）不在直线y=fcr+r上，故2%+―1w0,

所以1+2=0/=—2,此时，由A>0,得

4

因此直线AB过定点（0,-2）.

2.【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】设抛物线E：>2=2冲6>0）焦点为产，准线为/,A为E

上一点，已知以尸为圆心，E4为半径的圆厂交/于8、。点.

（即若4b。=60。，△皿的面积为拽，求〃的值及圆尸的方程；

3

（即若点A在第一象限，且A、B、尸三点在同一直线4上，直线人与抛物线E的另一个交点记为C,且

CF^XFA>求实数2的值.

【答案】（回）P=2,圆F为:（x-l）2+y2=y；（i3）2=1.

【解析】

解：5）焦点到准线/的距离为P,

又由8b=£D,ZBFD=60°,为正三角形.

则嚼MS

2

12S^BFD=1|BF|sin60°=-^V3,：.p=2,

回圆尸为：（x-l）-+）2.

（回）若A、F、B共线，则同目=忸尸|=|。尸|,.・./8。4=/

17[

^AD=AF=-ABZDBA=-

2f6

回宜线AB的倾斜角为？或与，

由对称性可知，设直线/：x=2+与,A(x，yJ,C(x,,y2),CF=XFA^

联立、=Hy5npy2-苔1=。=>4+%飞2〃=°石一[)。

J2=2〃X[x.%=-p2=-a.y；

团±=(-/Q,.•A；!?—104+3=0,.•.4=3或2=:，

323

又|AF|=|M|>p,K\>&,.-.0</1<1,所以2=；.

3.【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试(全国卷)】已知椭圆C：E+W=l(a>b>。)的左、

ab

右焦点分别为不工，点p在c上，但不在x轴上，当点P在C上运动时，△尸耳心的周长为定值6,且当

0打,/^时，|尸娟=;.

(I)求C的方程.

⑵若斜率为叱。)的直线/交C于点M'MC的左顶点为4且脑,4底成等差数列，证明：直线

/过定点.

。2

【答案】(1)—+^-=1;(2)证明见解析.

43

【解析】

h2_3

T=2'

(1)解：山题意知，-2a+2c=6,

a2=h2+c2,

。=2,

所以,c=L

22

所以椭圆C的方程为三+汇=1.

43

(2)证明：由题意知，A(-2,0).

设直线/：、="+%,与椭圆C方程联立,

w7+T=1-

y=fcr+m,

整理得(3+4公+851r+4^2-12=0.

-8km

x}+x2------

3+

设M（x,,yJ,N（孙％），则{.2\

4/n—12

—=了市，

孰+3工+上=比上+生&2%+（吁2幻.一土异土L=」-=」X2,

玉+2x2+2Xj+2x2+2x}x2+2（x,+x2）+4m-2kk

所以％=2，〃.

所以/:y=2"ix+,"=m（2x+l），恒过点

4.【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】已知椭圆曰5+£=1（“>6>0）的

左、右顶点分别为A,B,M是椭圆E上一点，M关于x轴的对称点为N,且

（1）求椭圆E的离心率；

（2）若椭圆E的一个焦点与抛物线y2=4A^x的焦点重合，斜率为1的直线/与E相交于P,Q两点，在y

轴上存在点R,使得以线段为直径的圆经过点R,且（而+坪）•而=0,求直线/的方程.

【答案】⑴乌（2）y=x±l.

2

【解析】

解:（1）由椭圆E的方程可得A（-“,0）