《直线上向量的坐标及其运算》示范公开课教学设计【高中数学人教】

《直线上向量的坐标及其运算》教学设计教学目标教学目标1．了解直线上向量的坐标的概念，能够表示直线上向量的坐标．培养数学抽象的核心素养．2．理解直线上向量的运算与坐标的关系并能进行正确的运算．提升数学运算的核心素养．教学重难点教学重难点教学重点：表示直线上向量的坐标．教学难点：直线上向量的运算与坐标的关系并能进行正确的运算．课前准备课前准备PPT课件．教学过程教学过程一、整体概览问题1：阅读课本，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结章引言的内容．预设的答案：（1）本节主要研究所有始点与终点都在同一条直线上的向量．（2）这一小节的内容比较基础，但是这一小节呈现知识的顺序与方式非常重要．事实上，这一小节是为了向学生渗透维数的观念而特意设置的．教材首先利用共线向量基本定理引入了向量的坐标，并将向量坐标与对应坐标系进行了联系，讨论了怎样写出向量的坐标；然后呈现了向量的运算与坐标的关系，讨论向量的相等与坐标的联系；最后讨论向量坐标的应用，例如导出对应坐标系中的基本公式等．事实上，教材后续的平面向量、空间向量的坐标，都是按照上述思路进行呈现的希望教师教学的时候充分注意到这一点．本节的教学，可以考虑培养学生自主学习的能力．设计意图：通过章引言内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．二、探索新知1、形成定义教师讲解：给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的任意一个向量，一定存在唯一的实数x，使得，此时，x称为向量的坐标．问题2：如果直线上向量的坐标为x，那么x能否表达向量的大小和方向？师生活动：小组讨论，教师根据学生情况作出解答．预设的答案：如果直线上向量的坐标为x，则x既能刻画的模，也能刻画向量的方向．事实上，此时．当x＞0时，的方向与的方向相同；当x＝0时，a是零向量；当x＜0时，的方向与的方向相反．也就是说，在直线上给定了单位向量之后，直线上的向量完全被其坐标确定．设计意图：通旨在强调x与向量大小与方向的关系．问题3：如果直线上向量的坐标为x，那么x的几何意义是什么？师生活动：学生通过阅读课文，尝试找出答案，教师根据学生情况作出解答．预设的答案：如图所示，在直线l上指定一点O作为原点，以的方向为正方向，的模为单位长度建立数轴，对于l上的任意一个向量，如果我们把它的始点平移到原点O，那么的终点对应的数就是向量的坐标．图中，向量的坐标为－4．特别地，的坐标为1．设计意图：旨在强调共线向量基本定理中的是一个非零向量，这是定理成立的前提条件．问题4：向量的坐标是如何统一确定的，如何求直线上向量的坐标？师生活动：学生自行总结出向量坐标建立的标准，教师根据学生情况作出解答．预设的答案：为了方便起见，以后谈到直线上向量的坐标时，总是默认为已经按照上述方式指定了单位向量，并建立了数轴；而且，谈到数轴时，也默认为已经指定了与数轴正方向同向的单位向量．此时：如果数轴上一点A对应的数为x（记为A（x），也称点A的坐标为x），那么向量OA对应的坐标为x；反之，这一结论也成立．因此，为了求出直线上向量的坐标，可以选择如下两种方法中的任何一种：（1）将向量用单位向量表示出来；（2）将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标．设计意图：明确直线上的点的坐标的统一方式和求法，教师不仅应给学生画出水平方向的数轴，还应给学生画出竖直方向的数轴，甚至是斜的数轴，让学生深刻体会直线上向量坐标的本质含义．三、初步应用例1如图所示，求出直线上向量的坐标．师生活动：引导学生表示向量，学生自己尝试解答问题．预设的答案：因为的始点在原点，因此由的终点坐标可知的坐标为2，因为，所以的坐标为－3．设计意图：通过实际例子让学生理解直线上向量的坐标的求法，为了帮助学生巩固有关数轴的知识，另一方面也是为了让学生在原有的基础上有所提升，也就是在数轴上引入向量的概念，从而对数轴的方向能有新的理解．问题5：直线上的向量有了坐标之后，向量的相等以及运算与它们对应的坐标之间有什么关系？师生活动：学生同桌之间商量问题的答案，教师给出解答．预设的答案：假设直线上两个向量的坐标分别为，即，当时，有，由是单位向量可知；反之，结论也成立．这就是说，直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等．另外，因为，所以的坐标是．这就是说，直线上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和．同样，，所以的坐标是．设计意图：强化直线上向量坐标的运算．培养学生自主学习的能力．例2已知直线上向量的坐标为－2，的坐标为5，求下列向量的坐标．（1）（2）（3）师生活动：学生根据学习，自己进行运算．预设的答案：（1）的坐标是－2＋5＝3；（2）的坐标是；（3）的坐标为．设计意图：利用向量直线的坐标表示求坐标，巩固所学的知识．问题6：利用上述直线上向量的运算与坐标之间的关系，由数轴上任意两点的坐标，是否可以求出它们之间的距离，以及它们中点的坐标？师生活动：学生同桌之间商量问题的答案，教师给出解答．预设的答案：假设是数轴上的两点，O是坐标原点，则因此，，所以不难看出，．这就是数轴上两点间的距离公式．另外，假设M（x）是线段AB的中点，则，又因为因此，x＝是数轴上的中点坐标公式．设计意图：总结出两点之间的距离公式和中点公式．例3设数轴上两点A，B的坐标分别是3，－7，求：（1）向量的坐标，以及A，B的距离．（2）线段AB中点的坐标．师生活动：学生根据学习情况，自己进行运算．预设的答案：（1）由题意可知的坐标为3，的坐标为－7，又因为＝－，所以的坐标为－7－3＝－10，而且（2）设线段AB的中点的坐标为x，则设计意图：利用向量距离公式和中点公式求解，巩固所学的知识．巩固练习教科书第160页练习A1，2，3题．四、归纳小结，布置作业问题5：（1）直线上向量的坐标是什么？（2）数轴上两点间的距离公式是什么？两点的中点公式是什么？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充．预设的答案：（1）给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的任意一个向量，一定存在唯一的实数x，使得，此时，x称为向量的坐标．（2）数轴上两点间的距离公式：；数轴上的中点坐标公式：x＝．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加理解本节内容．五、目标检测设计1．设数轴上A，B的坐标分别是2，6，则AB的中点C的坐标是________．设计意图：考查学生对中点公式的理解．2．已知e为λ上的单位向量，a＝－2e，b＝8e，则c＝8a＋5b的坐标为________．设计意图：考查学生对数轴上点的坐标的理解与应用．3．已知在数轴上点A，B，C的坐标分别为1，7，－3．（1）求eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→))的坐标；（2）若CD＝4，求D点的坐标．设计意图：考查学生对数轴上点的坐标的应用．参考答案：1．4解析：∵xA＝2，xB＝6，∴AB中点C的坐标为xC＝eq\f(xA＋xB,2)＝eq\f(2＋6,2)＝4．2．24解析：向量c的坐标为（－2）×8＋5×8＝24．3．解：（1）∵点A，B，C的坐标分别为1，7，－3，∴eq\o(OA,\s\up8(→))的坐标为1，eq\o(OB,\s\up8(→))的坐标为7，eq\o(OC,\s\up8(→))的坐标为－3，又∵eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o