2023届高考一轮复习通用版9

第二节两直线的位置关系

,最新考纲，

1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.

2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.

3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.

・考向预测•

考情分析：确定两条直线的位置关系，已知两条直线的位置关系求参数，求直线的交点

和点到直线的距离，对称问题，过定点的直线系问题是高考考查的热点.往往和圆锥曲线综

合起来.题型多为解答题.

学科素养：通过两直线位置关系的判定及应用考查直观想象、逻辑推理的核心素养.

积累必备知识——基础落实赢得良好开端

一、必记3个知识点

1.两直线的平行、垂直与其斜率的关系

条件两直线位置关系斜率的关系

平行

两条不重合的直线/2,k\与女2都不存在

斜率分别为h，k

2垂直

k与依一个为零、另一个不存在

［注意J在判断两条直线的位置关系时.，容易忽视斜率是否存在，若两条直线斜率存在,

则可根据条件进行判断，若斜率不存在，则要单独考虑.

2.两条直线的交点

3.三种距离公式

三种距离条件公式

两点间的

A(xi,yi),B(X2,y2)\AB\=____________

距离

点到直线

p（xo,和）到直线Ax+By+C=O的距离为dd=________________

的距离

两平行线直线4t+By+Ci=0到直线Ar+By+C2=0的

d=____________

间的距离距离为d

二、必明2个常用结论

1.两个充要条件

（1）两直线平行或重合的充要条件

直线/i：4x+Biy+G=0与直线以A2x+B2），+C2=0平行或重合的充要条件是4&一

481=0.

(2)两直线垂直的充要条件

直线A：4x+Biy+G=0与直线/2：A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是AlA2+B］B2=

2.六种常用对称关系

(1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(一x,—y).

(2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,—y),关于y轴的对称点为(一x,y).

(3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(一y,—%).

(4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).

(5)点(x,y)关于点(a,4的对称点为(2a—x,2b-y).

(6)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(A—y,k~x),关于直线x-y=k的对称点为(上

+y,x~k).

三、必练4类基础题

(一)判断正误

I.判断下列说法是否正确(请在括号中打“或“X”).

(1)当直线/|和/2的斜率都存在时，一定有用=&2=/1〃/3()

(2)如果两条直线与/2垂直，则它们的斜率之积一定等于一［.()

(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.()

(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()

(二)教材改编

2.［必修2-PIO9习题T3改编］若直线/nr—3y—2=0与直线(2—n?)x—3y+5=0互相平行，

则实数m的值为()

A.2B.-1

C.1D.0

3.［必修2Roi习题T2改编］已知点(a,2)(a>0)到直线/：x-y+3=0的距离为1,则a

的值为()

A.V2B.2一V2

C.A/2-1D.V2+1

(三)易错易混

4.(忽视斜率不存在的情况)若直线(3a+2)x+(l-4a)y+8=0与(5。-2)田+3+4»—7=0

垂直，则a=.

5.(忽视平行线,问系数的对应关条)直线2x+2y+l=0,x+y+2=0之间的距离是

(四)走进高考

6.［2020.全国卷HI］点(0,-1)到直线y=A(x+l)距离的最大值为()

A.1B.V2

C.V3D.2

提升关键能力——考点突破掌握类题通法

考点一两条直线的平行与垂直［基础性］

1.直线/i：y=ar与直线，2：：+：=1平行，则“=(

A.-B.

2.［2022•上海市长宁区延安中学高三月考］"°=一1”是“直线办+(2“-1»+1=0和直

线3x+ay+3=0垂直”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

3.经过直线2x-y=0与x+y-6=0的交点，且与直线2x+y-1=0垂直的直线方程为

()

A.x+2y—8=0B.x~2y—6=0

C.x+2>-10=0D.x-2y+6=0

反思感悟由一般式确定两直线位置关系的方法

/i：4x+Biy+G=0（掰+BJW0）

直线方程

/2：4M+B2），+C2=0（心+欧ro）

/1与/2垂直的充要条件A\A2~\~B\B2=0

与/2平行的充分条件*=空£台（A2%C2WO）

A?D2匕2

取A2&WO）

1\与，2相交的充分条件

A202

与/2重合的充分条件4=暑=枭Az&QWO）

A?D2

考点二两直线的交点与距离问题［综合性］

角度1交点问题

［例1］(1)已知点M(0,—1),点N在直线x-y+l=0上，若直线MN垂直于直线x+

2y—3=0,则点N的坐标是()

A.(-2,-1)B.(2,3)

C.(2,1)D.(-2,1)

(2)经过两直线/i：x—2y+4=0和，2：x+y—2=0的交点P,且与直线6：3x—4y+5=0

垂直的直线I的方程为.

听课笔记：

反思感悟(1)求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到方程

组的解就可以写出交点的坐标.

(2)求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写

出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程.

角度2距离问题

[例2](1)点(0,—1)到直线版一4)，+1=0的距离为()

4

C.-D.1

(2)已知直线/i：y=3x—2,直线氏6x-2y+l=0,则与L之间的距离为()

A.更B.在

24

C.巫D.叵

24

⑶[2022.玉林市育才中学模拟卜轴上任一点到定点(0,2)、(1,1)距离之和的最小值是

)

A.V2B.2+V2

C.V10D.V5+1

听课笔记：

反思感悟

1.点到直线的距离的求法

可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式.

2.两平行线间的距离的求法

(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的

距离；

(2)利用两平行线间的距离公式.

【对点训练】

I.已知三角形的三个顶点42,4),8(3,-6),C(5,2),则8C边上中线的长为()

A.V10B.2V10

C.11V2D.3V10

2.当点P(3,2)到直线y+1—2机=0的距离最大时，加的值为()

A.V2B.0

C.-1D.1

3.已知直线丫=区+2&+1与直线y=一1r+2的交点位于第一象限，则实数%的取值范

围是.

考点三对称问题［应用性］

角度1点关于点对称

［例3］过点P（0,1）作直线/使它被直线/i：2x+y-8=0和以x-3y+10=0截得的线

段被点P平分，则直线/的方程为.

听课笔记：

反思感悟点关于点对称的求解方法

若点M（xi,y。和点N（x,y）关于点P（a,b）对称，则由中点坐标公式得

［y：2b-r进而求解•

角度2点关于线对称

［例4］已知直线/：2x-3y+l=0,点A（T,-2）,则点A关于直线/的对称点4的坐

标为.

听课笔记：

反思感悟点关于直线对称的解题方法

若两点P|（XI,a）与P2（X2,>2）关于直线/：Ar+gv+c=o对称，则由方程组

V

yz~y\/A\.

八勺a可得到点p关于直线/对称的点2的坐标

（X2,"）（其中BWO,X1WX2）.

角度3线关于线对称

［例5］直线2x—y+3=o关于直线x-y+2=o对称的直线方程是（）

A.x—2y+3=0B.x—2y—3=0

C.x+2y+l=0D.x+2y—1=0

听课笔记：

反思感悟线关于线对称的解题方法

求直线关于直线/对称的直线必有两种处理方法：

(1)在直线/1上取两点(一般取特殊点)，利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关

于直线/的对称点，再用两点式写出直线的方程；

(2)设点P(x,y)是直线，2上任意一点，其关于直线/的对称点为P(xi,yi),根据点关于

直线对称建立方程组，用x,y表示出制，再代入直线八的方程，即得直线A的方程.

【对点训练】

1.点(1,2)关于直线x+y—2=0的对称点是()

A.(1,0)B.(0,1)

C.(0,-1)D.(2,1)

2.［2022.青铜峡市高级中学月考］已知直线/与直线2x-3y+4=0关于直线x=1对称,

则直线/的方程为()

A.2x+3y-8=0B.3x~2y+I=0

C.x+2y—5=0D.3x+2y-7=0

微专题31直线系方程的灵活应用思想方法

在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行

直线系，垂直直线系和过两直线交点的直线系.

直线系方程的常见类型

(1)平行于已知直线AA-+By+C=0的直线系方程是：Ax+By+X=0(A是参数且2WC);

(2)垂直于已知直线Ar+B.y+C=0的直线系方程是：Bx—Ay+4=0(2是参数)；

(3)过两条已知直线八：ABi)，+。=0和，2：A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程是：

Aix+fily+Ci+；.(^2x+B2y+C2)=0(ACR,但不包括/2).

一、平行直线系

［例1］求与直线3x+4y+l=0平行且过点(1,2)的直线/的方程.

解析：由题意，可设所求直线方程为3x+4y+C=0(CWl),又因为直线/过点(1,2),

所以3X1+4X2+C=O,解得C=—ll.

因此，所求直线方程为3x+4y—ll=0.

二、垂直直线系

由于直线4x+8iy+G=0与A2x+B2)'+C2=0垂直的充要条件为4A2+8由2=0.因此,

当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系.可以考虑用直线系方程求解.

［例2］求经过点A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线/的方程.

解析：因为所求直线与直线2x+y-10=0垂直，所以设该直线方程为x—2y+G=0,

又直线过点A(2,1),

所以有2—2X1+C=O,解得G=0,

即所求直线方程为x-2y=0.

三、过两直线交点的直线系

［例3］经过两条直线2x+3y+l=0和x—3y+4=0的交点，并且垂直于3x+4y—7=0

的直线方程为.

„.,,,,(2x+3y+1=0,解得|x=:"即两直线交点为(一|,I),

解析：万法一由万程组］

(x-3y4-4=0,(y=g，

・・,所求直线与直线3x+4y—7=0垂直，

，所求直线的斜率为上=/

由点斜式得所求直线方程为y-［=g(x+|),即4x-3)，+9=0.

方法二由垂直关系可设所求直线方程为4x-3y+m=0,

由方程组可解得两直线交点为(一,9,代入4x—3y+%=0,得加

=9,

故所求直线方程为4x-3y+9=0.

方法三由题意可设所求直线方程为

(2x+3y+l)+2(x-3y+4)=0,

即(2+»x+(3-3/l)y+1+42=0,①

又•.•所求直线与直线3x+4y—7=0垂直，

.•.3(2+»+4(3—32)=0,

.*.2=2,代入①式得所求直线方程为4x—3y+9=0.

答案：4%—3y+9—0

名师点评

1.本例3法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据垂直关系求出斜率，

由于交点在y轴上，故采用斜截式求解；法三则采用了过两直线4x+Biy+G=0与Avc+Biy

+C2=0的交点的直线系方程：A|x+Biy+G+M42x+&y+C2)=0,直接设出过两直线交点

的方程，再根据垂直条件用待定系数法求解.

2.与直线Ar+By+C=0平行的直线系方程为4v+By+Ci=0(GW。；与直线儿+By

+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay+Ci=0.

［变式训练］已知直线心mx+8y+〃=0与氏2x+,町，-1=0互相平行，且小右之间

的距离为求直线人的方程.

第二节两直线的位置关系

积累必备知识

1.k\=kik\ki=—\

3.J(句-*2)2-(>1-I)?

|4%o+8Uo+c|Ig-Ql

V7i2+e2Vi42+s2

三、

1.答案：(1)X(2)X(3)7(4)V

2.解析：两直线平行，其系数满足关系式-3m=-3(2一加)，解得/”=1.

答案：C

3.解析：由题意知"=1,所以|a+l|=&,又。>0,所以。=四一1.

答案：c

4.解析：由两直线垂直的充要条件，得(3a+2)(5。一2)+(1—4°)3+4)=0,解得:a=0

或a=\.

答案：0或1

5.解析：直线Zv+2y+1=0,x+y+2=0之间的距离即直线2r+2y+l=0,2x+2y+4

=0之间的距离1=第当=学.

V22+224

6.解析：方法一点(0,—1)到直线y=«r+l)的距离为4=，若四=舄，注意

到N+122限于是2便+1)》评+2bH=|Jt+lF，当且仅当&=1时取等号.

即k+l|WVFT1-V2,所以d=接詈故点(0,-1)到直线y=k(x+l)距离的最

大值为VI.

方法二由题意知，直线/：y=&x+l)是过点p(—1,0)且斜率存在的直线，点。(0,-

1)到直线/的最大距离在直线/与直线尸。垂直时取得，此时&=1,最大距离为|PQ|=&.

答案：B

提升关键能力

考点一

1.解析：直线b：|+~=1的斜率为k]?=—p

因为直线11：y=ax与直线h：；+：=1平行，所以a=k]z=—点

答案：D

2.解析：若直线ox+(2q—l)y+1=0和直线3x+〃y+3=0垂直，

则3〃+〃(2〃-1)=0,解得4=0或〃=—1,

则“。=—1"是"直线〃X+(2Q—l)y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直”的充分不必要条

件.

答案：A

3.解析：由题意，联立方程组'?；)：)。，解得即交点为尸(2,4),

设与直线2x+y—1=0垂直的直线方程为x—2y+〃?=0,

把点尸(2,4)代入工-2)，+机=0,即2—8+加=0,解得加=6,即所求直线方程为工一2》

+6=0.

答案：D

考点二

例1解析：(1)因为点N在直线x—>+1=0上，所以可设点N的坐标为(如，xo+1).根

据经过两点的直线的斜率公式，得如'二生起上二会.因为直线MN垂直于直线x+2y—3=0,

XOXo-

直线x+2>—3=0的斜率k=-\,所以ZMNX(-；)=-1,即汩=2,解得刈=2.因此点N

2\2/XQ

的坐标是(2,3).

⑵由方程组「黄片；，得忧;，

即尸(0,2).因为/，/3,所以直线/的斜率&=一%所以直线/的方程为y—2=一色，即

4x+3y—6=0.

答案：⑴B(2)4x+3厂6=0

例2解析：(1)点(0,—1)到直线3x—4y+l=0的距离为1=邑^^^辿=|=L

⑵直线ly的方程可化为6x—2)-4=0,则h与6之间的距离占最=半.

(3)x轴上任一点到定点(0,2)、(1,1)距离之和的最小值，就是求解(0,2)关于x轴的对称

点，连接对称点与(1,1)的距离即可，

因为(0,2)关于x轴的对称点为(0,-2),

所以J(l—0)2+(l+2)2="U.

即x轴上任一点到定点(0,2),(1,1)距离之和的最小值是4U.

答案：(l)D(2)D(3)C

对点训练

I.解析：设边BC的中点为。(x,y).

因为8(3,-6),C(5,2),所以x=^=4,丫=昔=一2,

即。(4,-2),所以A£>=J(2—4>+(4+2)2=24U.

答案：B

2.解析：直线〃比一丫+1—2根=0过定点Q(2,1),

所以点P(3,2)到直线y+1—2%=0的距离最大时，PQ垂直该直线，

Ep—1,—

3-2

答案：c

_2-4k

y=kx+2k+1,

3.解析：由方程组，解得-2k+l'

y=-|x+26k+l

、z丫-2k+l

，交点坐标为(瞪，貌)

又・・,交点位于第一象限，

(言》0,

(—>0，

I2k+l

解得一«y"

oz

答案：(~ba

考点三

例3解析：设h与1的交点为A(a,8-2a),

则由题意知，点A关于点P的对称点B(—a,2a—6)在b上，把B点坐标代入L的方程

得一a—3(2a—6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线1上，所以由两点式得直线1的方

程为x+4y—4=0.

答案：x+4y—4=0

例4解析：设4(x,y)

由已知得

y+22

x+lX3=-1,

x-1y—2

{2X^--3X^-+1=0,

33

X=-------,