《等比数列的前n项和》第1课时示范公开课教学设计【高中数学人教A版】

第四章数列《等比数列的前n项和》教学设计第1课时教学目标教学目标1．掌握等比数列的前n项和公式及其应用．2．会用错位相减法求数列的和．3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.教学重难点教学重难点教学重点：等比数列的前n项公式的运用教学难点：等比数列的前n项和公式的推导.

课前准备课前准备PPT课件．教学过程教学过程【新课导入】问题1：阅读课本第34~37页，回答下列问题：（1）本节将要探究哪类问题？（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．预设的答案：（1）本节课主要学习等比数列的前n项和公式．（2）学生在已学习等差数列前n项和公式的基础上，引导学生类比学习等比数列前n项和公式，让学生经历公式的推导过程，体会化无限为有限，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力.发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养.设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．问题2：国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦粒的质量为40克，据查，2016--2017年度世界年度小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.设计意图：以国际象棋为背景，提出等比数列求和问题，激发学生探究欲望.发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养.问题3：每个格子里放的麦粒数可以构成一个数列,请判断分析这个数列是否是等比数列?并写出这个数列的通项公式.师生活动：学生回答，教师完善．预设的答案：是等比数列,首项是1，公比是2，共64项.通项公式为an=2n-1.问题4：请将发明者的要求表述成数学问题.师生活动：学生回答，教师完善．预设的答案：求这个等比数列的前64项的和，即：1+2+22+23+⋯+263=？问题5：如何求解该问题.师生活动：让学生回顾等差数列的前n项和公式的推导过程.教师完善．预设的答案：等差数列a1,a2,a3,…,an的前n项和是Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an根据等差数列的定义an+1-an=dSn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an①Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1②+②得，2Sn=n(a1+an).所以问题6：对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢？师生活动：让学生回顾等比数列的性质后回答.教师完善．预设的答案：在等比数列中a1+an≠a2+an-1≠a3+an-2，所以2Sn≠n(a1+an).对于等比数列求和，不能照搬倒序相加的方法，而是要挖掘此方法的本质，即求和的根本目的.问题7：求和的根本目的是什么？思路：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公比来表示.①问题8：观察①式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？师生活动：学生思考后回答，教师完善.预设的答案：an=an-1q(n≥2,q≠0)问题9：如何构造另一个式子，与原式相减后可以消除中间项？师生活动：学生思考后回答，教师完善.预设的答案：①②设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则{an}的前n项和是SnSn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an，根据等比数列的通项公式，Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-3+a1qn-2+a1qn-1①qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1+a1qn②①-②得,Sn-qSn=a1-a1qn即Sn(1-q)=a1(1-qn).问题10：要求出Sn，是否可以把上式两边同时除以(1-q)？师生活动：学生思考后回答，教师完善.预设的答案：Sn(1-q)=a1(1-qn)当1-q=0时，即q=1时，当1-q≠0时，即q≠1时，.设计意图：通过问题串，层层递进，引导学生探究等比数列的求和问题.发展学生逻辑推理、数学抽象和数学建模的核心素养.【探究新知】知识点1等比数列的前n项和公式已知量首项a1、公比q(q≠1)与项数n首项a1、末项an与公比q(q≠1)首项a1、公比q＝1求和公式问题5的解决：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”1+2+22+23++263a1=1,q=2，n=64，一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016-2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨.不能实现！设计意图：利用错位相减法求得了等比数列前n项和公式,并利用公式解决了象棋大师的问题.进一步培养学生逻辑推理、数学抽象和数学建模的核心素养.【巩固练习】例1已知数列是等比数列.（1）若，，求；（2）若，，，求；（3）若，，，求n.师生活动：学生板演，教师完善规范解题过程.预设的答案：（1）因为，，所以.（2）由，，可得，即.又由，得.所以.（3）把，，，代入，得，整理，得，解得n=5.设计意图：通过典型例题，加深对等比数列求和公式的理解和运用.发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.方法总结：等比数列的通项公式和前n项和公式一共涉及五个量，知三求二.通常会用到列方程或方程组求解.例2已知等比数列的首项为-1，前n项和为，若，求公比q.师生活动：学生板演，教师完善规范解题过程.预设的答案：若q=1，则，所以q1.当q1时,由得，.整理，得，即.所以.设计意图：通过该例题，让学生知道使用等比数列求和公式的条件，有时需要分类讨论；加深对等比数列求和公式的理解和运用.发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.方法总结：在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解．在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．例3已知等比数列的公比q-1，前n项和为.证明成等比数列，并求这个数列的公比.师生活动：学生分组讨论，派代表板演.教师完善规范解题过程.预设的答案：(方法一)当q=1时，，，，所以成等比数列，公比为1.当q1时，，，，所以.因为为常数,所以成等比数列，公比为.方法二)，所以因为为常数，所以成等比数列，公比为.结论：等比数列的公比q-1，前n项和为，则成等比数列，公比为.注：当q=-1时，此结论不一定成立.例如，当时，此结论不成立.设计意图：通过该例题，推导出等比数列均匀分段和性质.发展学生逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.结论：（1）等比数列的前n项和为，则，…（）成等比数列；（2）.练习：教科书P37练习1、2设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．【课堂总结】1．板书设计：4.3.2等比数列的前n项和（1）一、探索新知二、初步应用1．等比数列的前n项和公式推导例1知识讲解1：例22．等比数列的前n项和公式应用例3知识讲解2：2．总结概括：（1）等比数列前n项和公式，对于公比未知的等比数列，应用等比数列的前n项和公式时，需讨论公比是否为1；（2）等比数列前n项和公式的推导：错位相减法；（3）数学思想方法的应用:=1\*GB3①方程思想:等比数列求和问题中的“知三求二”问题就是方程思想的重要体现；=2\*GB3②分类讨论思想：由等比数列前n项和公式可知，解答等比数列求和问题时常常要用到分类讨论思想.师生活动：学生总结，老师适当补充.设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力．3．课堂作业：教科书P37练习3、4、5【目标检测设计】1．等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2，当Sn＝127时，n＝()A．8B．7C．6D．5设计意图：让学生进一步巩固等比数列的前n项和公式.2．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋S3＝0，则公比q＝()A．－1B．1C．－2D．2设计意图：让学生进一步巩固等比数列的通项公式和前n项和公式.3．已知等比数列{an}的公比为－2，且Sn为其前n项和，则()A．－5B．－3C．5D．3设计意图：让学生进一步巩固等比数列的性质.4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝3，S3＝9，则S4＝()A．12B．－15C．12或－15D．12或15设计意图：让学生进一步巩固等比数列的前n项和公式及分类讨论思想.5．已知等比数列{an}满足a3＝12，，记其前n项和为Sn.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若Sn＝93，求n.设计意图：通过本题，加深学生对等比数列求和公式的综合运用能力.发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.参考答案：1．B由Sn＝，a1＝1，q＝2.当Sn＝127时，则，解得n＝7.故选B.2．A