《空间向量的数量积运算》示范课教学设计【高中数学人教】

《空间向量的数量积运算》教学设计导入语上节课我们类比平面向量，把向量的概念及线性运算由平面向空间进行了推广，并用空间向量及其线性运算解决了一些立体几何问题．我们知道，平面向量除了线性运算以外，还有数量积运算．平面向量的数量积运算在研究角度、距离等几何问题时，有非常广泛的应用．今天我们就继续类比平面向量，来学习空间向量的数量积运算．任务一：回顾类比得到定义问题1：你还记得平面向量的数量积运算是怎么定义的吗？能否类比平面向量，得到空间向量的数量积运算的定义呢？答案：两个非零平面向量的数量积是一个实数，等于这两个向量的模和它们夹角余弦值的乘积，即：a·b=|a||b|cos〈a，b〉.追问1：什么是平面向量的夹角？你能类比平面向量，给出空间向量夹角的定义吗？答案：可以．类比平面向量的夹角概念，得到空间向量的夹角概念如下：平面向量的夹角空间向量的夹角两个非零向量a，b，在平面内任取一点O，做＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，规定0≤〈a，b〉≤π．如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b.两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，做＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，规定0≤〈a，b〉≤π.如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b.追问2：平面向量的数量积是怎么定义的？你能给出空间向量数量积的定义吗？答案：两个平面向量的数量积是一个实数，等于这两个向量的模和它们夹角余弦值的乘积．由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此两个空间向量数量积的定义和平面向量数量积的定义完全一致．即：已知非零向量a，b，|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b=|a||b|cos〈a，b〉.特别地，零向量与任意向量的数量积为零．由向量数量积定义，可以得到：a⊥b⇔a·b=0a·a=a2=|a||a|cos〈a，a〉=|a|2.追问3：我们在平面向量中学习过投影向量的概念，你还记得什么是投影向量吗？能推广到空间向量中吗？答案：由于任意两个空间向量总能通过平移变成同一平面内的向量，因此平面向量的投影概念可以直接推广到空间中．平面向量的投影两个非零向量a，b，＝a，=b，过A和B分别做所在直线的垂线，垂足分别为和，得到，称上述变换为向量a向向量b的投影，叫向量a在向量b上的投影向量．空间向量的投影向量将空间向量a，b，平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影得到与向量b共线的向量c，即:c=|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．追问4：向量的数量积运算有哪些运算律？如何证明？答案：有如下运算律：①(λa)·b=λ(a·b)，λ∈R；②a·b=b·a（交换律）;③a·(b+c)=a·b+a·c（分配律）.其中①、②的证明和证明平面向量的数量积的运算律时完全一致，③的证明可以类比平面向量数量积分配律的证明，在空间中用投影向量证明任务二：辨析数量积运算问题2：空间向量数量积运算本质上与平面向量的数量积运算完全一致，但和向量的线性运算及实数的乘法有明显的区别．你能回答以下问题吗？追问1：由a·b＝0，能得到a＝0或b＝0吗？答案：不一定！因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝0，所以|a|＝0或|b|＝0或cos〈a，b〉＝0．即a＝0或b＝0或a⊥b．追问2：对于三个均不为零的数a，b，c，若ab＝ac，则b＝c．对于向量a，b，c，由a·b＝a·c，能得到b＝c吗？答案：不一定！由a·b=a·c，有a·(b－c)＝0，从而有b＝c或a⊥(b－c)．追问3：对于三个均不为零的数a，b，c，若ab＝c，则或.对于向量a，b，若a·b＝k，能得到或吗？答案：不能！向量没有除法运算．追问4：对于三个均不为零的数a，b，c，有(ab)c＝a(bc)．对于向量a，b，c，有(a·b)c＝a(b·c)成立吗？答案：不一定！两个向量的数量积为一个实数，(a·b)c和a(b·c)分别表示与向量c和向量a共线的向量，它们不一定相等．即向量的数量积运算没有结合律．任务三：数量积运算的应用问题3：我们可以用空间向量的数量积运算，解决空间中的哪些问题呢？答案：由于空间向量可以通过平移，转化成共面向量，因此能解决平面向量能解决的问题．追问1：平面向量的数量积运算可以解决哪些问题？答案：由于向量数量积运算和两个向量的模以及它们的夹角余弦值有关，所以，平面向量数量积运算可以用来解决平面中求距离、夹角、证明垂直等很多问题．追问2：空间中的这些问题是否也可以用它们解决?答案：任意两个空间向量总是共面的，空间中的这些问题仍然可以用数量积运算解决．平面向量数量积的应用空间向量数量积的应用(1)求线段长度（距离）：把所求线段看成一个向量的模，并用其他已知向量表示它，再用数量积运算求该向量的模；(2)求夹角：cos〈a，b〉＝；(3)证明垂直：a⊥b⇔a·b＝0．问题4：例1如右图，在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，AB=5，AD=3，AA'=7，∠BAD=60°，∠BAA'=∠DAA'=45°．求：(1)；(2)AC'的长（精确到0.1）．追问1:如何计算？它们的长度，夹角是多少？答案：AB，AD的长度和夹角均已知，AB＝5，AD＝3，∠BAD=60°．所以．追问2:为了求A的长，应该用哪些向量表示，为什么？如何表示？答案：可以根据已知条件和平行四边形法则，用来表示，因为它们的模长和夹角均为已知，方便进行数量积运算．(2)．思路提炼：用已知向量表示所求向量，再由数量积运算求模长，是立体几何中求线段长度的常用向量方法．问题5：例2如右图，m，n是平面α内的两条相交直线．如果l⊥m，l⊥n，求证：l⊥平面α．追问1：直线和平面垂直的定义是什么？答案：如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l垂直于平面α．追问2：如何用向量方法证明l和平面α内任意一条直线垂直？答案：在平面α内任取一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g作为方向向量，由向量共面的充要条件知，g可由m，n的线性组合表示.由已知l⊥m，l⊥n，通过数量积运算，得到l⊥g，从而l⊥g，从而l⊥平面α．证明：在平面α内作任意直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g．因为直线m，n相交，所以m，n不共线．因此，存在唯一有序实数对(x，y)，使得g＝xm+yn．因为l⊥m，l⊥n，所以l⊥m，l⊥n，即l·m＝0，l·n＝0．于是l·g＝l·xn＋l·ym＝xl·n＋yl·m＝0，所以l⊥g．即l⊥g，所以l⊥平面α．思路提炼：用向量表示直线，用向量数量积为零刻画直线的垂直，是立体几何中的常用向量方法．任务四：总结提升问题6：回顾本节课学到的内容和收获？答案：本节课我们继续采用类比的方法，由平面向量的数量积运算，推广到空间向量的数量积