《三角函数的应用（一）》示范课教学设计【高中数学人教】

第一课时三角函数的应用（一）任务一、整体感知问题1你能列举一些生活中具有周期性现象的例子吗？前面已经用三角函数模型刻画过哪些周期性现象？答案：生活中周期性现象的例子大致有三种类型：（1）匀速圆周运动．如水流量稳定条件下的筒车运动，钟表指针的转动，摩天轮的运动等；（2）物理学中的周期性现象．如弹簧振子运动，交变电流等；（3）生活中的周期性现象．如潮汐变化，一天当中的气温变化，四季变化，生物钟，波浪，音乐等．已经用三角函数模型刻画过匀速圆周运动．例如筒车运动、摩天轮的运动、钟表指针的转动等．任务二、新知探究1．问题研究1——简谐运动问题2观看弹簧振子的运动视频，振子运动过程中有哪些周期性现象？可以利用哪些变量之间的函数关系来刻画振子运动过程中的周期性现象？弹簧振子的运动（如图1）．图1图1答案：振子离开中心位置的位移随着时间呈周期性变化；振子所受的回复力随着时间呈周期性变化．所以可以用振子离开中心位置的位移s与时间t之间的函数关系，也可以用振子所受的回复力F与时间t之间的函数关系来刻画其运动过程中周期性现象．例1某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y（单位：mm）之间的对应数据如表1所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．表1表12．建模解模问题3例1中没有给出振子的位移关于时间的函数模型，根据以往的数学建模经验，我们应该按照什么样的流程完成这个建模过程？答案：搜集数据，画散点图——观察散点图并进行函数拟合，选择函数模型——利用数据信息，求解函数模型．活动：教师或者学生画出散点图．图2图2问题4观察画出的散点图，你认为可以用怎样的函数模型进行刻画位移y随时间t的变化规律？答案：根据散点图（如图2），分析得出可以用y=Asin(ωt+φ)这个函数模型进行刻画．问题5由数据表和散点图，你将如何求出函数的解析式？答案：依据数据表和散点图，可得A=20，T=60s，求得ω=，然后将点（0，－20）的坐标代入解析式y=20sin(t+φ)，解得φ=－+2kπ，k∈Z，所以函数的解析式为y=20sin(t－)，t∈[0，+∞)．教师补充：现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的震动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的坐标系下，简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0．描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：A就是这个简谐运动的振幅，它是作简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；简谐运动的周期是，它是作简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；简谐运动的频率是，它是作简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx+φ称为相位；x=0时的相位φ称为初相.问题6例1中简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？相位、初相分别是什么？答案：振幅A＝20mm，周期T＝s，频率f＝次，相位为t－，初相为－．3．问题研究2——交变电流例2如图3（1）所示的是某次实验测得的交变电流i（单位：A）随时间t（单位：s）变化的图象．将测得的图象放大，得到图3（2）．（1）求电流i随时间t变化的函数解析式；（2）当时，求电流i．图3（1）图3（2）图3（1）图3（2）4．建模解模问题7观察图象，交变电流i随时间t的变化满足怎样的函数模型？其中每个参数的物理意义是什么？答案：由交变电流的产生原理可知，电流i随时间t的变化规律可以用i=Asin(ωt+φ)，t∈[0，+∞)来刻画.其中A为振幅，为周期，ωt+φ为相位，φ为初相．问题8根据图象3（2），你能说出电流的的最大值A，周期T，初始状态（t=0）的电流吗？由这些值，你能进一步完成例2的解答吗？答案：由图可知，A=5，T=s，初始状态的电流为4.33A．解：由图3（2）可知，电流最大为5A，因此A=5；电流变化的周期T=s，即=s，解得ω=100π；再由初始状态（t=0）的电流约为4.33A，可得sinφ=0.866，因此φ约为．所以电流i随时间t变化的函数解析式是．当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．练习1如图4，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下铅锤面内做周期摆动．若线长lcm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移为s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是（1）当l=25时，求沙漏的最大偏角（精确到0.0001rad）；（2）已知g=9.8m/s2，要使沙漏摆动的周期是1s，线的长度应当是多少（精确到0.1cm）?图图4解：（1）∵，∴可得s的最大值为3．设偏角为θ，可得最大偏角满足sinθ=．利用计算器计算可得θ=0.1203rad．答：当l=25时，沙漏的最大偏角为0.1203rad．（2）沙漏摆动的周期为，解得，故．答：要使沙漏摆动的周期是1s，线的长度l应当为24.8cm．任务三、归纳小结问题9对于一个周期性现象，你该如何利用三角函数来刻画？在本节课中，涉及哪些数学思想？答案：