《导数的综合应用》示范公开课教学设计【高中数学人教A版】

《导数的综合应用》教学设计一、新课引入问题1：一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有什么答案：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增；在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间追问1：一般情况下，判断函数y=f(x)的单调性的步骤是什么？答案：我们可以通过如下步骤判断函数y=f(x)的单调性．①确定函数的定义域；②求出导数f'③用f'(x)的零点将④f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)追问2：一般情况下，如何利用导数求函数极值？答案：一般地，可按如下方法求函数y=f(x)的极值．解方程f'(x)=0，当（1）如果在x0附近的左侧f'(x)>0，右侧f（2）如果在x0附近的左侧f'(x)<0，右侧f追问3：一般情况下，求函数y=f(x)在区间a,b上的最大值与最小值的步骤是什么？答案：一般地，求函数y=f(x)在区间a,b上的最大值与最小值的步骤如下．①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值；②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，③其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．二、例题讲解例1：给定函数f(x)=(x+1)e(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值；(2)画出函数f(x)的大致图象；(3)求出方程f(x)=a(a∈R)的解的个数．解：(1)函数的定义域为R，导数为f'令f'(x)=0，则有函数的单调性和极值情况如下表所示：x(-∞,-2)-2(-2,+∞)f-0+f(x)单调递减-单调递增所以函数f(x)在区间(-∞,-2)上单调递减，在区间(-2,+∞)上单调递增．故当x=-2时，f(x)有极小值f(-2)=-1追问1：f(x)=(x+1)e答案：图象经过点A(-1,0)，点B(0,1)，点C(-2,-1追问2：结合函数与方程、不等式知识，你还能发现f(x)=(x+1)e答案：令f(x)=(x+1)ex=0由此当x<-1时，f(x)<0，当x>-1时，f(x)>0．再由f(x)在(-∞,-2)上单调递减，从而当x→-∞时又当x→+∞时，与一次函数相比，指数函数y=ex呈爆炸性增长，x+1→+∞且ex追问3：如何从图象直观看出方程f(x)=a(a∈R)的解的个数？答案：方程f(x)=a(a∈R)的解的个数为函数y=f(x)的图象与直线y=a的交点个数．通过观察函数图象我们发现当x=-2时，f(x)有最小值f(-2)=-1e2，当a<-1e2当a=-1e2或a≥0当-1e2小结：通常可以按如下步骤画出函数f(x)的大致图象：①求出函数f(x)的定义域；②求导数f'(x)及函数③用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'④确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；⑤画出f(x)的大致图象．例２：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利追问1：出售一瓶瓶子的半径为r的饮料制造商获利为多少分？答案：由一瓶瓶子的半径为r的饮料的容积为43πr3，又由已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，所以每出售一瓶追问2：出售一瓶瓶子的半径为r的饮料，制造商还要负担什么成本吗？答案：出售一瓶瓶子的半径为r的饮料，制造商还要负担瓶子的制造成本是0.8π追问3：根据上述分析，每瓶饮料制造商的利润关于半径r的函数关系是什么？答案：函数关系是f(r)=0.追问4：函数f(r)=0.答案：瓶子半径r的取值范围为(0,6]．追问5：“瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大（小）？”是关注函数f(r)=0.答案：关注函数的最大值与最小值．解：由题意可知，每瓶饮料的利润是fr故f'令f'(r)=0，解得当r∈(0,2)时，f'(r)<0；当r∈(2,6)时，因此，当半径r>2时，f'(r)>0，函数当半径r<2时，f'(r)<0；函数半径为6 cm时，利润最大；半径为2 追问6：通过此问题的解决，如何回答开始时的问题呢？答案：（1）市场上等量的小包