《数列的概念》示范公开课教学设计【高中数学人教A版】

《数列的概念》教学设计复习导入问题1：如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？答案：要判断120是不是该数列中的项，就是要判断是否存在正整数n，使得.我们令，接下来就是要判断这个关于n的方程是否有正整数解．方程解得或.因为n是正整数，所以-12要舍掉.因此，120是这个数列的项，并且是第10项．通项公式反映的是项与序号之间的关系，我们不仅要会通过序号求项，还要会像这道题一样根据项求序号.问题2：图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．在图中４个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前４项，写出这个数列的一个通项公式．答案：先数各图中着色三角形的个数，从而得到数列的前四项：1，3，9，27.求这个数列的通项公式，就要找项与序号之间的关系.第1项是，第2项是，第3项，第4项是.这些数都是3的指数幂，指数为序号减1.因此，这个数列的一个通项公式就是.追问：你能用数学语言归纳出后一项与前一项的关系吗？答案：当不能明显看出数列的项的取值规律时，我们可以尝试通过运算来寻找规律．如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察.这是一种通过运算发现规律的思想，在数列的研究中有重要作用.按照这个思路，不难发现这个数列的后一项等于前一项的3倍.我们也可以通过图形解释这个问题：每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形．于是从第２个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍.把发现的规律用数学语言归纳出来，就是.这个式子是在n≥2的前提下才成立的，n=1的情况我们只能单独讨论.于是应写成.由此可见，同样一个数列，从两个不同的角度去观察，就发现了不同的规律.通项公式反映的是项与序号之间的关系.而（n≥2）这个式子反映的是后一项与前一项之间的关系.根据这个式子，我们已知第1项就能推出第2项，已知第2项就能推出第3项，以此类推.学习新知问题3：什么是一个数列的递推公式？答案：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.知道了首项和反映相邻两项关系的递推公式，就能求出该数列的每一项了.追问1：相邻多项之间的关系能用递推公式表示吗？答案：相邻多项之间的关系能用递推公式表示，如数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，这个数列第n项等于它的前一项（第n-1项）加上再往前一项（第n-2项）.这其实就是相邻三项之间的关系：.因为下标最小是1，所以这里n≥3.这个数列的递推公式反映的是相邻三项之间的关系.这个数列由意大利数学家斐波那契于1202年提出，它有很多有趣的性质.追问2：一个数列的通项公式和递推公式有何联系与区别？答案：和上节课学习的通项公式一样，递推公式也是数列的一种表示方法.只不过通项公式反映的是项与序号之间的对应关系，而递推公式反映的则是相邻两项或多项之间的关系.通项公式和递推公式各有利弊，在数列的研究中都发挥着巨大的作用.例1已知数列的首项为，递推公式为（n≥2），写出这个数列的前5项.解：根据递推公式，令n=2，就得到.同理，令n分别等于3，4，5，就可依次求出，，.这个数列的前5项是：1，2，，，．问题4：什么是数列的前n项和公式？答案：一个数列从第1项起到第n项止的各项之和就是该数列的前n项和，记作.如果数列的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的前n项和公式．追问：数列的前n项和公式与通项公式有何联系？答案：观察，发现其中有.在中，如果把留出来，前面的就是数列前n-1项的和，也就是.如果已知前n项和公式，那么把公式中的n给换成n-1，就能得到，然后用就可以得到.注意：是前n-1项的和，这里n一定是大于或等于2的，所以当n≥2时，.而n=1时，就是第1项，所以就等于.于是有.例2：已知数列的前n项和公式为，你能求出的通项公式吗？解：根据一个数列前n项和公式与通项公式的关系，即，进行求解.注意：要关注n=1的情况是否满足n≥2时求出的通项公式，如果不满足，要分开写.数列的通项公式是：.课堂小结问题5：这节课学习了哪些新知识？答案：这节课学习了递推公式和前n项和公式.递推公式是数列的重要表示方式