《利用导数求函数的单调性》示范公开课教学设计【高中数学人教A版】

《利用导数求函数的单调性》教学设计引入新课问题1：如何探究函数的单调性？答案：判断函数的单调性：观察函数的图象；函数单调性的定义；利用导数的正负.课堂探究问题2：如何利用导数研究形如f(x)=ax答案：在定义域范围内，通过求导得到导函数，再通过求解不等式，得到导数值大于0或者小于0时x的取值，从而利用函数单调性与导数的关系，判断原函数的单调性.例1：求函数f(x)=1解：引导学生梳理过程：函数f(x)=13对f(x)求导数，得f'(x)=x令f'(x)=0，解得x1=-1,或x1=-1和x2=2把函数定义域划分为三个区间，x(-∞,-1)-1(-1,2)2(2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)单调递增f(-1)=单调递减f(2)=-单调递增所以，f(x)在(-∞,-1)和(2,+∞)上单调递增，在(-1,2)上单调递减，如图所示.小结：一般情况下，判断函数y=f(x)的单调性的步骤：求函数的定义域；求导数f'(x)的零点；用f'(x)的零点将f(x)定义域划分为若干区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，得函数f(x)在定义域上的单调性.追问：你能体会相较于利用函数单调性定义的方法，利用导数研究函数单调性的特点与优势吗？答案：利用函数单调性的定义：函数f(x)=13∀x1,x2∈R利用导数判断函数的单调性：将原函数——三次函数转化为导函数——二次函数进行研究，只需要探讨导数值的正负；将不熟悉的，相对复杂的函数，转化为熟悉的，相对简单的函数，简化运算过程.例2：利用导数判断下列函数的单调性：（1）f(x)=（2）f(x)=（3）f(x)=解：（1）因为f(x)=x所以f'(x)=3所以，函数f(x)=x（2）因为f(x)=sin所以f'(x)=所以，函数f(x)=sinx-x（3）因为f(x)=x-1x=1-1所以f'(x)=所以，函数f(x)=1-1x在区间(-∞,0)和问题3：如何探究函数增减的快慢与导数有什么关系？答案：经历观察猜想→特例验证→推理证明→解释说明→得到结论.追问1：观察对数函数y=lnx在区间答案：对数函数y=lnx的导数为y'=1x>0(x∈(0,+∞))，所以y=lnx猜想：若函数在某一范围内导数的绝对值较小，则函数在此范围内变化得较慢，这时函数的图象就比较“平缓”；反之，若函数在某一范围内导数的绝对值较大，则函数在此范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”．追问2：观察幂函数y=x3在区间答案：幂函数的导数为y'=3x2>0(x∈(0,+∞))，所以y=x3在区间(0,+∞)追问3：如何说明导数与函数增减的快慢之间的关系？答案：导数f’(x0)一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”．知识应用例3：设x>0，f(x)=lnx,判断f(x),g(x)的图象与C1解：因为f(x)=lnx，所以f'(x)=1x,g'(x)=1当0<x<1时，g'(x)>f'(x)>1;当x>1时，0<g'(x)<f'(x)<1.所以f(x)，g(x)在(0,+∞)上都是增函数.在区间(0,1)上