研修文档 一道课本例题的演变与联想“百校联赛”一等奖

一道课本例题的演变与联想数学课本中有不少例题，习题具有典型性、示范性、迁移性和再生性等特点，若以这些题为原型加以演变和联想，不仅可以得到一些“源于教材，高于教材”的好题，而且有助于培养学生的探究创新能力，将是实现减负增效的得力措施.下面推荐人教版几何第二册例题，谈谈课本例题的演变和联想.1原题回放例1如图1，是一块锐角三角形余料.边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？图1解设正方形PQMN为加工成的正方形零件，边QM在BC上,顶点P、N分别在AB、AC上.的高AD与边PN相交于点K，设正方形的边长为x毫米.图1∵PN∥BC,∴∽.∴(相似三角形对应高之比等于相似比)∴，解得x=48（毫米）2原题演变演变1内接正方形变为固定内接矩形图2例2如图2，已知△ABC中，BC=120，BC上的高AD=80，四边形PQMN为△ABC的内接矩形，且PQ59，求S矩形PQMN。图2解设PQ=5x,QM=9x.则AK=80—5x,PN=QM=9x.∵PN∥BC,∴∽.∴，∴解得x=4.∴S矩形PQMN=PQ×QM=20×36=720（平方单位）.点评利用相似三角形的对应高之比等于相似比是解决例1和例2的关键.演变2内接正方形变为动态内接矩形例3如图2，已知△ABC中，BC=120，BC上的高AD=80，四边形PQMN为△ABC的内接矩形，求矩形PQMN的最大面积.解设.同上可知：，即∴当x=40时，矩形PQMN有最大面积2400（平方单位）.点评本题将相似三角形的性质和二次函数有机结合，形的最值问题转化成数的最值问题，体现了数学建模的思想.演变3内接正方形变为动态正方形例4（2022年湖北省孝感市）锐角中，，，两动点分别在边上滑动，且，以为边向下作正方形，设其边长为，正方形与公共部分的面积为.图3图4图3图4图5（1）中边上高；（2）当时，恰好落在边上（如图3）；（3）当在外部时（如图4），求关于的函数关系式（注明的取值范围），并求出为何值时最大，最大值是多少？解（1）；（2）；（3）设分别交于，则四边形为矩形．如图5.设，交于，则，．，∴．∴，即，∴．∴，配方得：．∴当时，有最大值，最大值是6.点评虽然正方形在运动，但其问题的本质仍然是相似三角形的性质与二次函数的有机结合，运动中也有“静止不变”的一面.演变4动态正方形变为动态平行四边形例5（2022年湖北省宜昌市）已知△ABC的高AE=5，BC=，∠ABC＝45°，F是AE上的点，G是点E关于F的对称点，过点G作BC的平行线与AB交于H、与AC交于I，连接IF并延长交BC于J，连接HF并延长交BC于K．（1）请你探索并判断四边形HIKJ是怎样的四边形？并对你得到的结论予以证明；图6图7（2）当点F在AE上运动并使点H、I、K、J都在△ABC的三条边上时，求线段AF图6图7解(1)如图6，∵点G与点E关于点F对称，∴GF=FE.∵HI∥BC，∴∠GIF=∠EJF，又∵∠GFI=∠EFJ，∴△GFI≌△EFJ，∴GI=JE.同理可得HG=EK，∴HI=JK,∴四边形HIKJ是平行四边形.（2）当F是AE的中点时，A、G重合，所以AF=2.5.∵AE过平行四边形HIJK的中心F,∴HG=EK,GI=JE.∴.∵CE＞BE,∴GI＞HG,∴CK＞BJ.∴当点F在AE上运动时,点K、J随之在BC上运动,当点F的位置使得B、J重合时，这时点K仍为CE上的某一点（不与C、E重合），而且点H、I也分别在AB、AC上.设EF＝x，∵∠AHG＝∠ABC＝45°，AE＝5，∴BE＝5＝GI，AG＝HG＝5—2x,CE＝—5.如图7.∵△AGI∽△AEC，∴AG∶AE＝GI∶CE，∴(5—2x)∶5＝5∶(—5)∴x＝1，∴AF＝5—x＝4，∴＜AF≤4.点评运动的正方形变成运动的平行四边形，线段AF的变化在无法用函数来描述的情况下，采取探究变化的极端情况来分析，正好两个极端位置所对应的线段长度是明显的最值.演变5动态平行四边形变为动态等腰直角三角形例6△ABC的高AD=3，BC=4，直线EF∥BC,交线段AB于E，交线段AC于F，交AD于G，以EF为斜边作等腰直角三角形PEF（点P与点A在直线EF的异侧），设EF为x，△PEF与四边形BEFC重合部分的面积为y.（1）求线段AG（用x表示）；（2）求y与x的函数关系式，并求x的取值范围.图8图8图9解（1）∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴,∴,∴AG=.（2）(i)如图8，当点P在四边形BCEF的内部或BC边上时，过点P作PH⊥EF于H.∵△PEF为等腰直角三角形，∴PH=，∴y=×EF×PH=.∵PH≤DG，∴≤，即0＜x≤.(ii)如图9，当点P在四边形BCFE的外部时，过点P作PH⊥EF于H，交MN于K，同理可得PH=.∵EF∥BC，∴,∴四边形HGDK为矩形，∴HK=DG=3—.∴PK=—（3—）=.∵EF∥BC，∴△PMN∽△PEF,∴,∴△PMN为等腰直角三角形.∴===.∴.∵PH＞DG,∴＞3—,即x＞,∴.演变6动态等腰直角三角形变为动态一般三角形（折叠变换+平移）例7（2022年广东省清远市）如图10，已知一个三角形纸片，边的长为8，边上的高为，和都为锐角，为一动点（点与点不重合），过点作，交于点，在中，设的长为，上的高为．图10图10MNCBEFAA1图11（1）请你用含的代数式表示．（2）将沿折叠，使落在四边形所在平面，设点落在平面的点为，与四边形重叠部分的面积为，当为何值时，最大，最大值为多少？解（1），，.（2），的边上的高为.(i)当点落在四边形内或边上时，=（0）(ii)当落在四边形外时，如图11，设的边上的高为，则，.,∴..∴综上：（1）当时，，取，；（2）当时，，取，.，∴当时，最大，.图12点评虽然运动变化的形式发生改变，但问题的本质仍然是围绕相似三角形的性质和二次函数来展开，充分体现数形结合的思想，以形论数，以数析形.图123原题联想联想1探究内接平行四边形面积的最大值例8如图12，平行四边形PQRS的一边SR在△ABC的边BC上，另两个顶点P、Q分别在AB、AC上.探究平行四边形PQRS的面积的最大值.解过A作AD⊥BC，垂足为D，交PQ于点E.设.由PQ∥BC,得△APQ∽△ABC.∴,即.又由面积可得.根据韦达定理，可把、看成关于x的一元二次方程的两个根，则有判别式△≥0，得,即平行四边形的面积不大于原三角形面积的一半.联想2探究等比数列的求和例9如图13，在中，直角边，，作的内接正方形（记作正方形），然后沿C→A方向作的内接正方形（记为正方形），作的内接正方形（记为正方形）,依次无穷地截下去……分步研究4个问题如下：（1）用a、b表示正方形、、的边长、、；（2）猜想第n个正方形的边长；（3）估计当n趋近于无穷大时的结果；（4）尝试研究无穷多个正方形的边长的总和S.解的求法:E1D1∥AC.的求法:考虑“截取”方式相同，我们只需将“看作”，也就是把、分别“看作”起始状态中的a、b，即用同样的方式列出的方程：图13，图13将代入即得：，同样整理、、得：、、.由此猜测：.显然，＜1，当n越来越大时，将迅速变得小起来,当n足够大时，的值将趋近于0,这时=0.最后，我们来看看这n个正方形边长的总和S.=+++…+.这是一个无穷等比数列的求和问题.当n无穷大时，将变得越来越小，没有“最后一个正方形”将抵达A点,于是无数个边长将依次拼接整个AC.即S=AC=b.这就意味着找到了这个无穷等比数列的极限结果.当n无穷大时，+++…+=b.点评在中考的综合复习阶段，教学时注意精选一些具有广阔延展性的例题和习题，进行恰当的延伸和拓展，深入研究，以一当十，举一反三，放弃题海战术，我们就能获得最大限度的收获.1.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90º，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ＝x，QR＝y．（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.2.边长为6cm的等边△ABC，若动点E,F同时从B,A两点出发，分别沿BA,AC匀速运动，其中E点的速度是1cm/s，点F的速度是2cm/s，当点F到达点C时，E,F都停止运动，作FD∥BA交BC于点D，连接ED，设运动的时间为t（s),当t为何值时，△EBD～△DEF?3.如图所示，在平面直线坐标系中，四边形OABC是等腰梯形，BC//OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，点P不与点O、点A重合，连接CP，过点P作PD交AB于点D.（1）.求B点坐标;（2）当点P运动到什么位置时，△OCP为等腰三角形，求此时点P坐标;（3）当P运动到什么位置时，使∠CPD=∠OAB,且,求这时点P坐标.19、（7分）如图，在矩形中，点分别在边上，，，求的长．20、（8分）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点．且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C．（1）求证：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；（2）求证：AB2＝AE•AC．.22、（8分）如图，在矩形ABCD中，沿EF将矩形折叠，使A、C重合，若AB=6，BC=8，求折痕EF的长

.DDCFEABG23，（8分）梯形ABCD中，，点在上，连与的延长线交于点G．求证：；（2）当点F是BC的中点时，过F作交于点，若，求的长．24、（10分）如图，在△ABC中，AB=AC=1，点D,E在直线BC上运动．设BD=x,CE=y.(l）如果∠BAC=300，∠DAE=l050，试确定y与x之间的函数关系式；(2）如果∠BAC=α,∠DAE=β,当α,β满足怎样的关系时，(l）中y与x之间的函数关系式还成立？试说明理由．25、(12分)如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12cm，OB=6cm，点P从O点开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动：点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间（），那么：（1）设△POQ的面积为，求关于的函数解析式。（2）当△POQ的面积最大时，△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由。（3）当为何值时，△POQ与△AOB相似？25、解（1）∵OA=12,OB=6由题意，得BQ=1·t=t，OP=1·t=t∴OQ=6－t∴y=×OP×OQ=·t（6－t）=-t2＋3t（0≤t≤6）（2）∵∴当有最大值时，∴OQ=3OP=3即△POQ是等腰直角三角形。把△POQ沿翻折后，可得四边形是正方形∴点C的坐标是（3，3）∵∴直线的解析式为当时，，∴点C不落在直线AB上（3）△POQ∽△AOB时①若，即，，∴②若，即，，∴∴当或时，△POQ与△AOB相似。2、如图：AD∥BC∥EF，则图中有多少对相似的三角形并写出来.3、在等边△ABC中，P是BC上一点，AP的垂直平分线分别交AB、AC于M、N，求证：△MBP∽△PCN.21.如图，∠MON=90°，点A、B分别在射线OM、ON上移动，BD是∠NBA的平分线，BD的反向延长线与∠BAO的平分线相交于点C.试猜想：∠ACB的大小是否随A、B的移动发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B的移动发生变化，请给出变化范围.22.如图，在正方形DEFG内接于△ABC，D、E在BC上，G、F分别在AB、AC上，若:,求正方形的边长.23.东方超市用50000元从外地采购一批“T恤衫”，由于销路好，商场又紧急调拨18.6万元采购比上一次多2倍的“T恤衫”，但第二次比第一次进价每件贵12元，商场在出售时统一按每件80元的标价出售，为了缩短库存时间，最后的400件按6.5折处理并很快售完.求商场在这笔生意上盈利多少元？24.如图，在直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交与点C．（1）求点C的坐标．（2）若P点开始运动时，Q点也同时从C出发，以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动，t秒后，以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形．（点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动）求t的值．25、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形？（3）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由．AAPCQBD26.如图，已知矩形ABCD的对角线AC,BD相交于O,OF⊥AC于O,交AB于E,交CB的延长线于F,求证:OB2=OE·OF.27.如图，BD、CE为△ABC的高，求证：∠AED＝∠ACB．28.如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形．（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．29.如图，已知△ABC中，AE︰EB＝1︰3，BD︰DC＝2︰1，AD与CE相交于F，求的值．30.如图，在正方形ABCD中，M为AB上一点，连接CM，N为BC上一点，并且BM=BN，BP⊥MC于P，求证：DP⊥NP.31.如图，已知在ΔABC中，AD，BF分别为BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC延长线于H，求证：DE2=EG•EH.32.如图，已知正方形ABCD，E是AB的中点，F是AD上的一点，EG⊥CF且AF=eq\f(1,4)AD.（1）求证：CE平分∠BCF,(2)eq\f(1,4)AB2=CG•FG.33.如图，在ΔABC和ΔDEF中，∠A=∠D=900，AB=DE=3，AC=2DF=4．（1）判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？（2）能否分别过A，D在这两个三角形中各作一条辅助线，使ΔABC分割成的两个三角形与ΔDEF分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．AABCDEF34.如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12，OB=6，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿O→A运动.同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿B→O运动.设点P的运动时间为t秒.（1）设ΔPOQ的面积是y，求y与t的函数关系式；（2）当t=3时，ΔPOQ的面积最大，将ΔPOQ沿直线PQ翻折后得到ΔPCQ，试判断点C是否在直线AB上，并说明理由；AxOPyQB（3）当AxOPyQB20.已知，在梯形ABCD中，AD∥BC,点E,F分别在AB,AC上，EF∥BC,EF交AC于G，若EB=DF，AE=9,CF=4,求BE,CD,EQ\F(GF,AD)的值.21.已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F，求证：CF2=GF·EF.22．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，以BC为边向外作正方形BEDC，连结AE交BC于F，作FG∥BE交AB于G．求证：FG＝FC．23.如图，已知△ABC中，AE︰EB＝1︰3，BD︰DC＝2︰1，AD与CE相交于F，求的值．24.某小区年和年的住房单价（单位：元/平方米）刚好每年比上一年上涨的百分数都相同.元钱在年能购买平方米的住房，而在年只能购买平方米的住房.许翔2022年购买了一套住房并于当年装修，装修费是购房费用的；如果他在年购买这套住房并于当年进行完全相同的装修，由于装修费这两年每年比上一年上涨的百分数也都相同，那么所需的购房费与装修费之和比年支出的这两项之和还多.（1）求年这个小区的住房单价比年上涨的百分数；（2）如果这套房子是在年进行完全相同的装修，装修费比年增长的百分数是多少？()yyBODCAxEyBODCAx温馨提示：如图，可以作点D关于轴的对称点，连接与轴交于点E，此时△的周长是最小的.这样，你只需求出的长，就可以确定点的坐标了.25.在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在轴、轴的正半轴上，，，D为边OB的中点.（1）若为边上的一个动点，当△的周长最小时，求点的坐标；（2）若、为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求点、的坐标.yBODCAxEGFyBOyBODCAxEGFyBODCAxE若在边上任取点（与点E不重合），连接、、.由，可知△的周长最小.∵在矩形中，，，为的中点，∴，，.∵OE∥BC，∴Rt△∽Rt△，有.∴.∴点的坐标为（1，0）.（2）如图，作点关于轴的对称点，在边上截取，连接与轴交于点，在上截取.∵GC∥EF，，∴四边形为平行四边形，有.又、的长为定值，∴此时得到的点、使四边形的周长最小.∵OE∥BC，∴Rt△∽Rt△,有.∴.∴.∴点的坐标为（，0），点的坐标为（，0）.25.解：（1）由题意：2022年住房单价为EQ\F(a,72)，2022年住房单价为EQ\F(a,60)，所以，2022年住房单价涨幅是（EQ\F(a,60)－EQ\F(a,72))÷EQ\F(a,72)＝20％；（2）设2022年装修费上涨的百分数为x，2022年购买这套住房费用为b元，那么2022年购房费和装修费分别为b(1＋20％)2和25％b(1＋x)2，列方程得：b(1＋20％)2＋25％b(1＋x)2＝(b＋25％b)×(1＋36％），化简得：(1＋x)2＝1.04，解得：x≈0.02＝2％（负根舍去）．答：2022年装修费上涨的百分数是2％．9.（2022浙江省温州市）(本题l4分)如图，在RtAABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BBl∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF上AC交射线BB1于F，G是EF中点，连结DG．设点D运动的时间为t秒．(1)当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；(2)当△DEG与△ACB相似时，求t的值；(3)以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．①当t>时，连结C′C，设四边形ACC′A′的面积为S，求S关于t的函数关系式；②当线段A′C′与射线BB，有公共点时，求t的取值范围(写出答案即可)．10.（2022广东珠海）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.求证：△ADF∽△DEC若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的长.11.（2022辽宁大连）如图12，ACB=，CDAB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EFBE交AB于点F，若AC=mBC，CE=kEA，探索线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取（1）或（2）中的条件，选（1）中的条件完成解答满分为7分；选（2）中的条件完成解答满分为5分m=1（如图13）m=1，k=1（如图14）FDEGBFDEGBCA图12BDFGECA图13FDBGECA图1412.（2022黑龙江绥化）已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A=30°，点P在AC上，且∠MPN=90°.当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，可证△PME∽△PNF，得出PN=PM.（不需证明）当PC=PA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并任选其一给予证明.9.【答案】10.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCAB∥CD∴∠ADF=∠CED∠B+∠C=180°∵∠AFE+∠AFD=180∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C∴△ADF∽△DEC(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BCCD=AB=4又∵AE⊥BC∴AE⊥AD在Rt△ADE中，DE=∵△ADF∽△DEC∴∴AF=11.【答案】12.【答案】解：如图2，如图3中都有结论：PN＝eq\r(6)PM……………2分选如图2：在Rt△ABC中，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F∴四边形BFPE是矩形∴∠EPF＝90º，∵∠EPM＋∠MPF＝∠FPN＋∠MPF＝90º可知∠EPM＝∠FPN∴△PFN∽△PEM……2分∴EQ\F(PF,PE)＝EQ\F(PN,PM)…………1分又∵Rt△AEP和Rt△PFC中：∠A＝30º，∠C＝60º∴PF＝EQ\F(\r(3),2)PC，PE＝EQ\F(1,2)PA……………1分∴EQ\F(PN,PM)＝EQ\F(PF,PE)＝EQ\F(\r(3)PC,PA)……………1分∵PC＝eq\r(2)PA∴EQ\F(PN,PM)＝eq\r(6)即：PN＝eq\r(6)PM………………1分若选如图3，其证明过程同上（其他方法如果正确，可参照给分）22．(10分)某地区2022年公路建设总费用(含新修公路费用和改造公路费用，下同)共5亿元，其中新修公路费用比改造公路费用多50%，改造公路的里程比新修公路的里程多500千米．预计2022年公路建设总费用达到7.75亿元．(1)求2022年新修公路费用；(2)据交通部门测算，每改造1千米公路的费用为每新修1千米公路费用的一半，而2022年和2022年每年改造公路的里程比上一年减少500千米，求这两年新修公路的里程平均每年比上一年增长的百分数．(假定2022年前每改造1千米公路的费用和每新修1千米公路的费用都不发生变化)23．(11分)如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB都是锐角，D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，将△ABC沿直线DE翻折得到△HGF，其中点A和H，点B和G，点C和F分别对应．(1)若AB=AC，求证：四边形AEHD是菱形；(2)判断四边形GFCB是什么四边形，说明理由；(3)如果△BGD和△AED相似，判断四边形AEHD是什么四边形，说明理由．宜昌三中16、（8′）如图，矩形ABCD中，CH⊥BD，垂足为H，P点是AD上的一个动点（P与A、D不重合），CP与BD交于E点。已知CH＝，DH∶CD＝5∶13，设AP＝，四边形ABEP的面积为。（1）求BD的长；（2）用含的代数式表示。BDACE17、（2022年云南中考题）已知，如图，在BDACE（1）BC=CE吗？说明理由。（2）试说明：19、一条河的两岸有一段是平行的．在河的南岸每相距5米栽一棵树,在河的北岸每相距50米栽一根电线杆．在南岸离开岸边25米处看北岸,看到北岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有三棵树,求河宽。（要求要有求解所需要的图形说明，可以在原图中标注和绘制）（12分）河流河流北岸南岸20、已知：如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证：ΔAEF∽ΔACB.21、如图,△ABC是等边三角形,点D，E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F，(1)试说明△ABD∽△BCE；(2)△AEF与△ABE相似吗?说说你的理由；(3)BD2=AD·DF吗?请说明理由。(12分) 22、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD，BF⊥AD，求证：(6分)23、△ABC中，∠C=900，BC=8厘米，AC∶BC=3∶4，点P从点B出发，沿BC向点C以2厘米/秒的速度移动，点Q从点C出发，沿CA向点A以1厘米/秒的速度移动。如果P、Q分别从B、C同时出发：（1）经过多少秒时△CPQ∽△CBA？QCABP（2）经过多少秒时以C、P、QQCABP24.如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．⑴求证：△ABF∽△EAD；⑵若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长；⑶在⑴、⑵的条件下，若AD=3，求BF的长.25.如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿AB以每秒4cm的速度向B点运动，同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3㎝的速度向A点运动，设运动的时间为x.⑴当x为何值时，PQ∥BC？⑵当⑶ΔAPQ能否与ΔCQB相似？若能，求出AP的长，若不能，请说明理由．8、如图，在内有边长分别为a，b，c的三个正方形．则a，b，c满足的关系式是（）A．B．C．D．AABDFGCE第18题18、（6分）如图,已知点D是AB边的中点,AF∥BC,CG∶GA=3∶1,BC=8,求AF的长33.分子为1的真分数叫做“单位分数”，我们注意到某些真分数可以写成两个单位分数的和，例如：（1）把写成两个单位分数的和。（2）研究真分数，对于某些x的值，它可以写成两个单位分数的和，例如当x=42时，，你还能找出多少x的值，使得可以写成两个单位分数的和？并把它们写出来。34.某超级市场销售一种计算器，每个售价48元．后来，计算器的进价降低了，但售价未变，从而使超市销售这种计算器的利润提高了．这种计算器原来每个进价是多少元？（利润售价进价，利润率）35.在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；（2）求两队合做完成这项工程所需的天数．22.如图，分别以的直角边，为边，在外作两个等边三角形和，连结，．（1）求证：；（2）求，所夹的锐角.23.某市2022年的污水处理量为9万吨/天，2022年的污水处理量为31.5万吨/天，2022平均每天的污水排放量是2022年平均每天污水排放量的1.05倍，若2022年每天的污水处理率比2022年每天的污水处理率提高35%（污水处理率）．（1）求该市2022年、2022年平均每天的污水排放量分别是多少万吨？（2）预计该市2022年平均每天的污水排放量比2022年平均每天污水排放量增加，按照国家要求“2022年省会城市的污水处理率不低于”，那么我市2022年每天污水处理量在2022年每天污水处理量的基础上至少还需要增加多少万吨，才能符合国家规定的要求？24.为迎接省文明城市验收，我市园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．（1）某校八年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．（2）若搭配一个种造型的成本是800元，搭配一个种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？25.已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点的坐标分别为，，且EQ\F(BC,AC)=EQ\F(3,4)．（1）求过点的直线的函数表达式；（2）在轴上找一点，连接，使得与相似（不包括全等），并求点的坐标；（3）在（2）的条件下，如分别是和上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似，如存在，请求出的值；如不存在，请说明理由．27、如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE。求证：（1）BE·AD=CD·AE.（2）根据图形特点,猜想EQ\F(BC,DE)可能等于哪两条线段的比（只需写出图形中已有线段的一组比即可），并证明你的结论.29、已知,如图,在△ABC中,D是BC的中点,且AD=AC,DE⊥BC交AB于点E,EC与AD相交于点F.（1）求证:△ABC∽△FCD；（2）若S△FCD=5,BC=10,求DE的长.AABDE第17题图CF30、某企业有员工300人，生产A种产品，平均每人每年可创造利润m万元（m为大于零的常数）。为减员增效，决定从中调配x人去生产新开发的B种产品。根据评估，调配后，继续生产A种产品的员工平均每人每年创造的利润可增加20%，生产B种产品的员工平均每人每年可创造利润1.54m万元。（1）调配后，企业生产A种产品的年利润为万元，企业生产B种产品的年利润为万元（用含x和m的代数式表示）。若设调配后企业全年总利润为y万元，则y关于x的函数解析式为。（2）若要求调配后，企业生产A种产品的年利润不小于调配前企业年利润的，生产B种产品的年利润大于调配前企业年利润的，应有哪几种调配方案？请设计出来，并指出其中哪种方案全年总利润最大（必要时，运算过程可保留3个有效数字）。31、如图1，在中，，，．是边上的动点（不与重合），交于点，关于的对称图形是．设．（1）用含的式子表示的面积（不必写出过程）；（2）当为何值时，点恰好落在边上；（3）在动点的运动过程中，记与梯形重叠部分的面积为，试求关于的函数关系式；并求为何值时，重叠部分的面积最大，最大面积是多少？33.建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，窗户面积与地板面积的比值又应不小于10﹪，并且这个比值越大，住宅的采光越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光是变好还是变坏？请通过分式计算说明理由.21、如图，中，分别是边的中点，相交于．求证：．BBCDGEA22，梯形ABCD中，，点在上，连与的延长线交于点G．求证：；（2）当点F是BC的中点时，过F作交于点，若，求的长．DDCFEABG23、（7分）如图，在和中，，，．（1）判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？（2）能否分别过在这两个三角形中各作一条辅助线，使分割成的两个三角形与分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．解：（1）不相似．……1分在中，，；在中，，，．．与不相似．…3分（2）能作如图所示的辅助线进行分割．AABMCDNFE具体作法：作，交于；作，交于．…5分由作法和已知条件可知．，，，，．，，．．…7分如图已知:菱形ABCD中，E为BC边上一点，AE交BD于F，交DC的延长线于G。

求证:2.如图已知:CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，E为CD延长线上一点，连接AE，过B作BG⊥AE于G，交CE于F。求:△ADE的面积及AM、AN的长。3.△ABC中，D为BC中点，过D的直线交AC于E，交AB的延长线于F。

求证:4.△ABC中,D为BC中点,过D的直线交AC于E，交BA的延长线于F.求证:

5.已知：求证:（1）

（2）1.：解:DE∥BC，△ADE∽△ABC

S△ADE=x，S△ABC=x+90

x=72

S△ADE=72

DE•AM=72

AM=12

AN=18

答:△ADE的面积为72，AM=12，AN=182.：解:过F作FG∥BE交AD于G,则:∠GFD=∠EBD

FG/EC=AF/AC=1/3在△BED和△FGD中,

∠EBD=∠FGD

BD=FD∠BDE=∠FDG

△BED≌△FGD(ASA)BE=FGBE/EC=AF/AC=1/33.：证明:过B作BG∥AC交DF于G，则:∠GBD=∠C

在△GBD和△ECD中∠GBD=∠C

∠BDG=∠CDE

BD=CD

∴△GBD≌△ECD（AAS）

∴BG=EC，

∴4.：证明:过B作BG∥AC,

则:

∠GBD=∠C

在△GBD和△ECD中,

∠GBD=∠C(已证）

BD=CD

（中点性质）

∠BDG=∠CDE（对顶角）

∴△GBD≌△ECD(ASA)

∴BG=EC∴

5.：证明:设：则：a=bk，c=dk

（1）

（2）

23．已知△AB