2021届全国高三高考猜题信息卷（三）数学（文）试题

/18/18/2021届全国高三高考猜题信息卷（三）数学（文）试题一、单选题1．设（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】利用复数的乘、除法化简复数，利用复数的几何意义可得出结论.【详解】因为，所以，,所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限，故选：A.2．已知集合，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】首先根据二次函数求值域表示出集合P；再解指数不等式表示出集合Q；然后根据充分条件和必要条件的概念即可得出结果.【详解】因为函数的值域为，所以，由得，所以，所以，因为，所以是的必要不充分条件.故选：B.3．在样本的频率分布直方图中，共有5个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他4个小长方形面积和的，且样本容量为140，则中间一组的频数为（）A．10 B．20 C．40 D．70【答案】C【分析】由频率分布直方图中各小矩形表示的意义，求出中间一组的频率即可得解.【详解】因频率分布直方图中，各小矩形面积是该小矩形对应组的频率，且各小矩形面积和为1，设中间一组的频率为，则其他4组的频率为，由题意知，解得，所以中间一组的频数为.故选：C4．已知是首项为2的等比数列，是其前n项和，且，则数列前20项和为（）A．﹣360 B．﹣380 C．360 D．380【答案】A【分析】从等比数列的前n项和满足的等式中，解出公比，进而得到数列的通项公式，也就得到了数列的通项公式，而后使用等差数列求和公式求和.【详解】根据题意，所以，从而有，所以，所以数列的前20项和等于故选：.5．已知，记与夹角为，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量数量积的定义以及模长公式求解即可.【详解】因为，所以，因为，所以，所以．故选:.6．对数的创始人约翰·奈皮尔（JohnNapier，1550—1617）是苏格兰数学家.直到18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系.人们才认识到指数与对数之间的天然关系.对数发现前夕，随着科技的发展，天文学家做了很多的观察，需要进行很多计算，而且要算几个大数的连乘，往往需要花费很长时间.基于这种需求，1594年，奈皮尔运用了独创的方法构造出对数方法.现在随着科学技术的需要，一些幂的值用数位表示，譬如，所以的数位为4（一个自然数效位的个数，叫做数位）.则的数位是（）（注）A．6679 B．6680 C．6681 D．6682【答案】B【分析】设，两边取常用对数得，继而求得，可得选项．【详解】设，所以，因为，所以，所以，所以的数位为6680，故选：B.7．已知表示不同的平面，是不同的两条直线，则下列命题中正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据空间中直线、平面的位置关系进行逐项判断即可.【详解】若，则与平行或相交或异面，故A错误；若，则与平行或相交，故B错误；若．则与平行或异面，故C错误；若，则(垂直于同一平面的两个平面的交线垂直于这个平面)，故D正确，故选：D．8．已知抛物线C：x2=8y的焦点是F，A，B，D是抛物线C上的点．若的重心坐标为，则|AF|+|BF|+|DF|=（）A．12 B．15 C．18 D．21【答案】B【分析】根据抛物线方程求出焦准距的值，根据的重心坐标公式，得到三点的纵坐标之和，最后利用抛物线的焦半径公式，求出的值.【详解】设点，由抛物线知，.由于的重心坐标为，所以，则，由抛物线的定义可知．故选：.9．已知函数图象相邻两个对称中心之间的距离为，将函数的图象所左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（）A．关于点对称 B．关于点对称C．关于直线对称 D．关于直线对称【答案】C【分析】由相邻对称中心的距离求出周期进而求出，由函数图象平移变换得出，解出，再求的对称中心和对称轴即可.【详解】由函数图象相邻两个对称中心之间的距离为.可知其周期为，所以，所以，将函数的图象向左平移个单位后，得到函数图象.因为得到的图象关于轴对称，所以，即，又，所以，所以，令，解得.当时，得的图象关于直线.故选：C.【点睛】(1)(A＞0，ω＞0)解析式的步骤求A，B：确定函数的最大值和最小值，，求：确定函数的周期，则ω＝即可求出ω；求φ，常用的方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间还是下降区间)，或把图象最高点或最低点代入.五点法：第一点，图象上升时与x轴的交点，；第二点，图象的峰点，；第三点，图象下降时与x轴的交点，；第四点，图象的谷点，；第五点，图象图象上升时与x轴的交点，.(2)研究的性质时可将看作一个整体，利用整体代换的思想进行解题.10．已知双曲线的左焦点为F，右顶点为A，B是虚轴的一个端点，若点F到直线AB的距离为，则双曲线的渐近线方程为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用双曲线的标准方程表示出各点的坐标，再结合点F到直线AB的距离为，得出，即可得到渐近线方程.【详解】因为双曲线方程为，所以，取，所以直线的方程为，即，所以点到直线的距离为，因为，所以，即c，所以．所以双曲线的渐近线方程为．故选：11．已知函数，则（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先对求导，再令，研究的单调性，从而确定的单调性和变化情况，最后根据选项来确定答案.【详解】，.令，则.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，即当时，，所以在上单调递减.又因为，所以当时，；当时，.于是对恒成立.故选：D.【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是通过研究的单调性来确定的变化情况，二是根据选项来判断不等式的成立.12．若圆上有且仅有两个点到直线的距离等于2，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求圆心到直线的距离，再求半径的范围.【详解】圆的圆心坐标为，半径为3．圆心到直线的距离为：，又圆上有且仅有两个点到直线的距离等于2，所以，解得或．故选：D．二、填空题13．某企业为了了解1000名职工的身体状况，用系统抽样法（按等距离的规则）抽取50人参加体检，将职工从进行编号，若823号职工被抽到，则第3组中被抽到的编号为______.【答案】43【分析】按系统抽样法，求出该抽样的分段间距，再求出823号职工是在第42组中第3位被抽到，从而得出答案.【详解】按系统抽样法，该抽样的分段间距为：，而，所以823号职工是在第42组中第3位被抽到，所在第3组中被抽到的编号为43，故答案为：43.【点睛】本题考查随机抽样之系统抽样，系统抽样法是按等距离抽样原则，一般需求出抽样的分段间距，属于基础题.14．设x，y满足约束条件，则的最大值为___________．【答案】【分析】作出可行域，根据平移法即可求出．【详解】画出可行域(如图阴影部分)，由，所以z的几何意义是直线在y轴上的截距，由图可知，当直线过点A时，其在y轴上的截距最大，联立得，所以．故答案为：．15．定义向量列从第二项开始，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量(即坐标都是常数的向量)即，且，其中为常向量，则称这个向量列为等差向量列．这个常向量叫做等差向量列的公差向量，且向量列的前项和．已知等差向量列满足，，则向量列的前项和__________．【答案】【分析】根据题意分析，等差数列性质对等差向量列也适用，再由等差数列通项公式和前n项和公式，计算等差向量列的通项和前n项和而得解.【详解】因向量线性运算的坐标运算，是向量的横坐标、纵坐标分别进行对应的线性运算，则等差数列的性质在等差向量列里而也适用，由等差数列的等差中项的性质知，解得，则等差向量列的公差为，由等差数列的通项公式可得等差向量列的通项，由等差数列的前项和公式，可得等差向量列的前项和.故答案为：16．已知三棱锥A﹣BCD所有棱长都相等，球与它的六条棱都相切，球与它的四个面都相切，则球与球的表面积之比为___________．【答案】3【分析】依题意可知三棱锥为正四面体，取中点，通过说明为球的一条直径，然后计算，使用等体积法得到球的半径，然后使用表面积公式计算即可.【详解】显然此三棱锥为正四面体，如图1取中点，连结，由，所以，同理：则可知为球的一条直径，连结，设正四面体棱长为2，则，所以，所以，球半径．如图2过点作平面，垂足为，显然为的重心，连结并延长交于，则为的中点，，所以，所以，由．得，所以故答案为：3三、解答题17．2021年2月25日举行的全国脱贫攻坚总结表彰大会上，国家电网共有名(个)先进个人?先进集体获得表彰．其中，国网西藏电力有限公司农电工作部从习近平总书记手中接过了“全国脱贫攻坚楷模”奖牌．过去8年，在党中央坚强领导下，经过世界规模最大?力度最强的脱贫攻坚战，近亿人摆脱绝对贫困．长期以来，贫困地区的农产品面临“种得出?卖不出”“酒香也怕巷子深”的困境．深谙互联网思维的国家电网人，搭平台?建渠道，以一款让众多贫困地区的产品销售易如反掌.2020年“6.18”期间，带货主播和直播运营两大岗位高达去年同期的倍．针对这一市场现象，为了加强监管，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为，其中对商品和服务都做出好评的交易为40次，对商品和服务都不满意的交易为次．（1）完成关于商品和服务评价的2×2列联表；对服务好评对服务不满意合计对商品好评40对商品不满意合计5100（2）判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为商品好评与服务好评有关？附：，．P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）填表见解析；（2）能．【分析】（1）根据所给数据完善列联表即可；（2）计算出，与参考值比较，即可判断；【详解】解：（1）由题意对商品好评的交易共有次，故其中对服务不满意的为次.100次交易中对服务好评同时对商品不满意的为次，可得关于商品和服务评价的列联表如下：对股务好评对服务不满意合计对商品好评402060对商品不再意35540合计7525100（2）故能在犯错误的概率不超过的前提下，认为商品好评与服务好评有关．18．在中，，且，，均为整数．(1)求的大小；(2)设的中点为，求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析．【分析】(1)从角入手，根据条件确定，结合为整数，通过假设法，得到的值，也就确定了角大小.(2)首先利用角和角和的正切展开式，确定角和角满足的等式，再结合，均为整数，确定，的值，最后利用解三角形知识证明即可.【详解】(1)因为，所以为锐角，则，若，且在内单调递增，．又都大于，与矛盾，，即．(2)证明：．又，即．由均为整数，且，得，可得，则.设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由正弦定理，可得又的中点为．在中，由余弦定理，得，，即证．19．如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AFDE，DE=3AF，．（1）求证：AC⊥BE；（2）求点C到平面BFD的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）利用平面证得，利用是正方形证得，从而利用线面垂直的判定定理证得平面，利用线面垂直的性质定理证得结论；（2）利用线面垂直的判定定理结合线面垂直的性质定理和等体积法求三棱锥体积求得点面距离．【详解】（1）证明：因为平面，又平面，所以，因为是正方形，所以，又，所以平面．又平面，所以．（2）解：因为平而，又平面，所以．又，所以．又平面，所以平面因为四边形是边长为3的正方形．所以．在中，又，所以．因为，所以．在中，，又，所以．在中，，又，所以．在中，，所以．设点到平面的距离为．解得.20．已知椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，点M是x轴上的一点，过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A在x轴的上方)，若，且直线l与圆相切于点N，求△OMN的面积．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据离心率，点在椭圆上，建立关于的方程，解出未知数即可；（2）联立方程组，结合，得出，再根据相切的特点即圆心到直线的距离等于半径得，可得直线方程，求出半径，利用三角形面积公式可解.【详解】解：（1）由题意知解得，所以椭圆的方程为．（2）设，直线，由，有，由得，由韦达定理得，．由，则，，化简得，原点到直线的距离，又直线与圆相切，所以．即．，即解得，此时，满足，此时，在中，，所以21．已知函数有两个不同的极值点．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若，使成立，求实数t的取值范围．【答案】(1)单调增区间为；单调减区间为；(2)．【分析】(1)函数有两个极值点，转化为相应函数在定义域内有两个不同的正实数根求解；(2)先分离参数，再将问题转化为求某一函数的最大值，而后利用导数求该函数的最大值.【详解】(1)由题可得：，因为函数有两个不同的极值点，所以方程有两个不相等的正实数根，则解得：又，故的单调增区间为，单调减区间为．(2)若，使成立，则因为，设．则，故在上单调递增，故，所以．所以实数的取值范围是．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的