2021届山东省泰安市高三数学考前冲刺卷试题（二）

/18/18/2021届山东省泰安市高三数学考前冲刺卷试题（二）一、单选题1．集合若，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据并集运算，结合集合的元素种类数，求得a的值.【详解】由知，，解得故选：B2．若，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】将代入，由复数的除法和乘法运算可得答案.【详解】由，则故选：A3．设函数是定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】结合偶函数图像关于轴对称可求解.【详解】解：当时，由，得.又因为函数为偶函数，所以不等式的解集为.故选：D.4．某工厂生产一批医疗器械的零件，每件零件生产成型后，得到合格零件的概率为0.7，得到的不合格零件可以进行一次技术精加工，技术精加工后得到合格零件的概率是0.3，而此时得到的不合格零件将不能再加工，只能成为废品，则生产时得到合格零件的概率是（）A．0.49 B．0.73 C．0.79. D．0.91【答案】C【分析】生产得到合格零件分为第一次就得到合格零件和第一次得到不合格零件，进行一次技术精加工后得到合格零件，从而可得答案.【详解】设事件:“第一次就得到合格零件”，设事件:“第一次得到不合格零件，进行一次技术精加工后得到合格零件”所以,所以生产时得到合格零件的概率是故选：C5．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是着名的香农公式：.它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式，若带宽W增大到原来的1.1倍，信噪比从1000提升到16000，则C大约增加了(附：)（）A．21% B．32% C．43% D．54%【答案】D【分析】利用对数的运算性质，由香农公式分别计算信噪比为1000和16000时C的比值即可求解.【详解】解：由题意，所以C大约增加了54%.故选：D.6．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们研究过图1中的1，3，6，10，…，这样的数称为三角形数；类似地，图2中的1，4，9，16，…，这样的数称为正方形数；图3中的1，5，15，30，…，这样的数称为正五边形数.那么正五边形数的第2021项小石子数是（）A．5×1010×2021 B．5×1010×1011C．5×1011×2021 D．5×1011×2020【答案】A【分析】设正五边形数构成数列，根据题中条件，得到递推关系，再由累加法，即可得出通项公式，从而可求出结果.【详解】设正五边形数构成数列，则，，且当时，，于是，故.故选：A.7．《九章算术》是中国古代第一部数学专着，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.例如，堑堵指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，，若，当阳马的体积最大时，堑堵中异面直线所成角的大小是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由,所以（或其补角）为异面直线所成角，由题意可得平面，则阳马的体积为，由均值不等式可得当时，阳马的体积取得最大，从而求出边长，得出答案.【详解】在堑堵中,平面,平面所以，又，且，所以平面所以阳马的体积为在直角三角形中，即，当且仅当时取得等号.所以当时，阳马的体积取得最大值又,所以（或其补角）为异面直线所成角,即,所以故选：C8．已知抛物线上有两点为坐标原点，以为邻边的四边形为矩形，且点到直线距离的最大值为4，则（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】设直线的方程为，代入抛物线方程消去，利用韦达定理求得，．设，，，，由整理可得，求得的值，再根据原点到直线的距离为判断当时距离最大，进而求得答案．【详解】解：设直线的方程为，代入抛物线方程可得，设，，，，则，由，解得或（舍去），即直线的方程为，原点到直线的距离为，当时，．所以故选：B．二、多选题9．双十一是指由电子商务为代表的，在全中国范围内兴起的大型购物促销狂欢节，已知某一家具旗舰店近五年双十一的成交额如下表：年份20162017201820192020时间代号12345成交额(万元)50607080100若关于的回片方程为，则（）A． B．预计2021年双十一该家具旗舰店的成交额是108万元C． D．预计2021年双十一该家具旗舰店的成交额是120万元【答案】BC【分析】结合表中数据，根据回归方程对选项一一分析即可.【详解】由表中数据知，；，则满足回归方程，即，解得，故A错误，C正确；2021年时，，代入回归方程有，故预计2021年双十一该家具旗舰店的成交额是108万元，B正确，D错误；故选：BC10．下列关于函数的说法正确的是（）A．在区间上单调递增 B．最小正周期是C．图象关于点成中心对称 D．图象关于直线对称【答案】AC【分析】用整体代入法求函数的单调区间，对称中心及对称轴.【详解】由得，当，单调增区间为，所以选项A正确；因为，所以函数的最小正周期是，所以选项B错误；由得，当时，函数的对称中心为，所以函数的图象关于点成中心对称，选项C正确；函数没有对称轴，所以选项D错误.故选：AC.11．如图，在直角三角形中，，点在以为圆心且与边相切的圆上，则（）A．点所在圆的半径为2 B．点所在圆的半径为1C．的最大值为14 D．的最大值为16【答案】AC【分析】斜边BC上的高即为圆的半径；把求的最大值通过向量加法的三角形法则转化为求的最大值，从而判断出P，M，A三点共线，且P，M在点A的两侧时取最大值.【详解】设AB的中点为M，过A作AH垂直BC于点H，因为，所以，，所以由，得，所以圆的半径为2，即点所在圆的半径为2，所以选项A正确，B错误；因为，，，所以，所以当P，M，A三点共线，且P，M在点A的两侧时，取最大值，且最大值为，所以的最大值为，所以选项C正确，D错误.故选：AC.12．已知，且，则下列说法正确的是（）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】利用基本不等式判断A，构造函数利用导数判断B、C、D；【详解】解：因为，且，对于A，，当且仅当，即，时取等号，故A错误；对于B：因为，所以，所以，令，则，因为，所以，令，则所以在上单调递增，又，所以当时，即，在上单调递减，当时，即，在上单调递增，所以，故，即B正确；对于C：，令，则，当时，当时所以在上单调递增，又，所以时取得最小值，，所以，故C正确；对于D：令，，当时，，，，，所以，即在上单调递减，同理可得在上单调递增，所以时有最大值，所以在上恒成立，所以，故D正确；故选：BCD三、填空题13．已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离为，则的离心率是___________.【答案】【分析】渐近线方程与x轴正向的夹角的正切值为，根据知，右顶点到其一条渐近线的距离为，从而根据条件求得a，b，c的关系，求得离心率.【详解】由渐近线方程知，右顶点到其一条渐近线的距离为，则，即，由知，，则离心率14．如图，一个有盖圆柱形铁桶的底面直径为，高为，铁桶盖的最大张角为，往铁桶内塞入一个木球，则该木球的最大表面积为___________.【答案】【分析】作出图形，计算出木球的最大半径，利用球体的表面积公式可求得结果.【详解】如图，球与铁桶盖的切点为铁桶盖所在圆的圆心，设球与铁桶上底面圆的切点为，连接，则为球的一条直径，且，点到铁盖中心的距离恰好是球最大的直径，因为，，则，即球最大的半径为，此时木球的表面积为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题求解球体表面积的计算，解题的关键在于分析出球与铁桶以及铁桶盖相切的位置，结合球体的结构特征列等式求解球的半径.15．已知有5男5女共10名记者参加2021年的两会新闻报道，现从中选取8人分配到A，B两个组，每个组4人，其中A组的4人中，要求女性的人数多于男性，B组的4人中，要求至少有1名女性，则不同的分配方法数为___________.【答案】750【分析】首先把分配情况分为三类，①A组3女1男，B组1女3男；②A组3女1男，B组2女2男；③A组4女0男，B组1女3男.然后再计算每一类的分配方法数.【详解】分三类：第一类：A组3女1男，B组1女3男，此时分配方法有：；第二类：A组3女1男，B组2女2男，此时分配方法有：；第三类：A组4女0男，B组1女3男，此时分配方法有：，所以分配方法共有.故答案为：750.16．在一个三角形中，到三个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点，经证明它也满足，因此费马点也称为三角形的等角中心，如图，在外作等边，再作的外接圆，则外接圆与线段的交点即为费马点.若，则___________.【答案】【分析】由费马点的性质及的边角关系，证得，从而有，然后在中，由余弦定理求得的长，从而求得结果.【详解】根据费马点的性质有，则，又，故，，即所以，从而有则，则，在中，由余弦定理知，，解得，则，故答案为：四、解答题17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答问题：设数列的前项和为，且___________，，的前项和注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】选①②③得到都是同一个结果，.【分析】①，，两式相减求出，再利用裂项相消法求出；②由已知得，所以，再利用裂项相消法求出；③设利用累加法求出，求出，再利用裂项相消法求出.【详解】①，，两式相减得，当时，，所以，，所以数列是一个等差数列，所以，所以，所以.②,所以，因为，所以，所以，所以.③，设所以，所以，，所以，又满足上式，所以，所以，所以.18．在中，角所对的边分别为，已知，（1）若，求；（2）若边上的中线长为，求的面积.【答案】（1）7（2）【分析】（1）由正弦定理结合条件可得，由正弦的和角公式，可求出角,由余弦定理可得答案.(2)由向量知识可得，平方即可得出边，从而可得面积.【详解】(1)由，根据正弦定理得在中，且，则所以，即即即，由且，则所以，即，且,所以所以所以(2)设边上的中点为,则过点作,连接并延长交于点，如图则,由（1），则在中：即，即解得：或（舍）所以的面积为19．如图，在三棱柱中，平面平面（1）证明：平面平面；（2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）；【分析】（1）四边形为菱形，则，由证得，从而有平面，从而证得平面平面；（2）设，则即为与平面所成角，从而求得，，，，；延长，作于F点，则即为二面角的平面角，，从而求得余弦值.【详解】（1）由题知，四边形为菱形，则，又平面平面，且AC为交线，，则平面，又平面，则，又，则平面，又平面，则平面平面；（2）设，由（1）知，平面，则即为与平面所成角，，由，结合（1）中结论有，，则，，三角形为正三角形，在菱形中，，，，由（1）知，平面，则，延长，作于F点，则，平面，从而则即为二面角的平面角，则，则即二面角的余弦值为20．扶贫期间，扶贫工作组从A地到B地修建了公路，脱贫后，为了了解A地到B地的公路的交通通行状况，工作组调查了从A地到B地行经该公路的各种类别的机动车共4000辆，汇总行车速度后作出如图所示的频率分布直方图.（1）试根据频率分布直方图，求样本中的这4000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；（2）若由频率分布直方图可大致认为，该公路上机动车的行车速度服从正态分布，其中，分别取调查样本中4000辆机动车的平均车速和车速的方差，请估计样本中这4000辆机动车车速不低于84.8千米/时的车辆数(精确到个位)；（3）如果用该样本中4000辆机动车的速度情况，来估计经A地到B地的该公路上所有机动车的速度情况，现从经过该公路的机动车中随机抽取4辆，设车速低于84.8千米/时的车辆数为，求(精确到0.001).附：随机变量：，则，，，.【答案】（1）平均车速为70.5千米/时；（2）辆；（3）.【分析】（1）根据频率分布直方图，利用平均数公式求解；（2）根据Z服从正态分布，利用原则求解；（3）根据（2）得到行车速度低于84.8千米/时的概率为，再根据求解.【详解】（1）由题意知中点值455565758595频率0.10.150.20.30.150.1所以，所以这4000辆机动车的平均车速为70.5千米/时.（2）依题意，Z服从正态分布，其中，，所以.因为，所以，所以车速不低于84.8千米/时的车辆估计有辆.（3）行车速度低于84.8千米/时的概率为，而，所以.【点睛】方法点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值；②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.21．已知椭圆的离心率为，椭圆上一点到它的左?右焦点的距离之和为4，且（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于两点，求面积的最大值.【答案】(1)；(2)3.【分析】(1)根据椭圆的定义求，根据条件求出，从而求出椭圆方程.(2)设出直线方程，与椭圆方程联立消写韦达定理；把面积表示为；通过求函数的最值问题来求面积的最大值.【详解】(1)因为点到椭圆左?右焦点的距离之和为4，所以，即，又因为，，所以，即，所以，所以，所以椭圆的方程为.(2)易知直线的斜率为0时不满足题意，所以设直线的方程为：，由消，得，设，则，，，所以，令