高中数学第三章三角恒等变换例题与探究

3.2倍公和角式典精例下列各式的值：(1)cos

cos；1212(2)(cos-sin)(cos+sin)12121214(3)-cos；+cos15°.23思分:题考查倍角公式的变形及应.题加系数2，即可用倍角公式题利用平方差公式之后再逆用倍角公式；(3)提取系数

12

后产生倍角公式的形式；(4)则提取系数

23

.5解(1)coscos=cossin=sinsin=；1212121212264(2)(cos

-sin)(cos+sin)=cos-sin=cos=；1212121212(3)

1-cos=-(2cos-1)=-cos=-；2244(4)-

223+cos15°=(2cos15°cos30°=33绿通:据式子本身的特征，经过适当变形，进而利用公式，同时制造出特殊角，获得式子的值，在变形中一定要整体考虑式子的特.变训1求sin10°sin30°sin50°sin70°的.1思路分析:由sin30°=，原式可化为sin10°sin50°sin70°，再转化为2212

cos20°cos40°cos80°产生成倍数的角增一项sin20°即依次逆用倍角公式；也可使用三角中的对偶式，设而不求，达到变形的目.解一sin10°sin30°sin50°sin70°==4sin=82sin80=sin160==.16

12

cos20°cos40°cos80°

解二令M=sin10°sin30°sin50°sin70°，N=cos10°cos30°cos50°cos70°，则MN=(sin10°cos10°)(sin30°cos30°)(sin50°=

124

sin20°sin60°sin100°sin140°11=cos10°cos50°cos70°=N241∴M=，sin30°sin50°.1616例2(2005江高考卷10)若sin(

1-α)=，则cos(+2)于63A.-

711B.-C.D.933思解:本考查三角函数的恒等变换以及运算能力察发现

+2α=2(α)，而33(

+)+(α)=，则cos(32

+α)=sin(

6

-)，cos(

23

7+2)=2cos(+)-1=2sin(-)-1=-.36答:绿通:过角的形式的变化，生成所求的角或再变形即得所求角，是三角变换的重要方式，求解时应当对所给角有敏锐的感觉，这种感觉的养成要靠平时经验的积.变训1已sin(

+α)sin(-α)=，且α∈(，π)，求sin4的值4思分:现

+与4

-的余关系，将其中一个角的三角函数变为另一个的余名三角函数，即可产生倍角公式的形式，逆用倍角公式可得α的三角函数值，进一步可求4的正弦值解∵(

+)+(-)=，-α)=cos(+α).442441∵sin(+α)sin(-α)=，∴2sin(+α)cos(+)=.46∴sin(+2)=.231∴cos2=.3又∵∈(

2

，)，∴2∈(，π).∴sin2=-

=-

.∴sin4=2sin2cos2α=-9

.变训2设5π＜π，

=a，则sin24

的值等()

A.-

111B.-C.-D.-22思解:

显然是的一半以直接应用公式∵5π＜θ＜π＜＜π，424＜

＜.4∴sin

4

=-

12

2

=-

.答:例3(2006全高考卷Ⅱ，理2)函数y=sin2xcos2x的最小正周期(A.2B.4πC.

D.4思路解析考三角函数周期.将函数的解析式化为y=Asin(ωφ)的形式y=sin2xcos2x=

12sin4x，T==.24答:绿通:论三角函数的周期性时化解析式再求周期化的手段是利用和差倍角、半角等三角公式化的结果是：将三角函数的解析式化为y=Asin(ωx+φ)形式再利用公式T=

得周期变训(2006陕高考卷，理17)已知函数f(x)=

3

sin(2x-

6

)+2sin

12

)(x∈(1)求函数f(x)的小正周期；(2)求使函数f(x)取最大值的x的集.思分:三角函数的解析式化为y=Asin(ωx+φ)+b形再讨论周期和最值解(1)f(x)=

3

sin(2x-

6

)+1-cos2(x-

12

)=2［∴T=

22

1sin2(x-)-cos2(x-)］+1=2sin［2(x-)-］+1=2sin(2x-)+1，121263=.(2)当f(x)取大值时sin(2x-

)=1,有=2kπ+3

(k∈∴x=k+

512

，即使函数f(x)取最大值的x的合为{x∈π+问探

512

(k∈Z)}.问1试tan

2

表示sinα,cos,tan.

导:到和

2

，联想到α=2(

2

)，因此从二倍角公式的角度来探.探:以由倍角公式直接获得tanα=

tan

正弦弦只要在倍角公式中加分母将子母同除以cos

2可得：sinα=2sin

2

cos

2

=

2sin

21

cos

2

=

2

cos

tan

，cosα=cos

-sin2

=

cos

2

2

1

2

2=

cos2

22

.用tan

2

来表示sinα、cosα和tan的关系式如下：sinα=

，cosα=

，tanα=

tan

.这三个公式统称为“万能公式”.优点是用正切函数来求二倍角的三角函数值会特别方便为一类三角函数的求值提了一座方便可行的桥如要计算cos或α+β)的值，可以先设法求得tan

2

或tan

2

的值.由公式中涉及角的正切所以使用时要注意限制条件，即要保证式子有意.所谓的“万能”是指：不论角α的哪一种三角函数，都可以表示成tan

2

的有理式.这样就可以把问题转化为以tan

2

为变量的“一元有理函数”，即如果令tan

2

=t，则sinα、cosα和tan均表达为关于t的式函数，这就实现了三角题向代数问题的转化，为三角问题用代数方法来处理提供了一条途例1：求tan15°+cot15°的.

1212解一tan15°=tan(45°30°)=

1

=

11

3333

=2-

3

，∴tan15°+cot15°=2-

3

+

3

=4.解二tan15°+cot15°=

12+===4.很明显解法二比解法一较方便地解决了问题现了万能公式的“万能”之处得们借鉴例2:求函数y=

cossin2

的值域思分:利用换元法，再利用判别式法求函数的值.解令tan

x2

=t，则t∈R利用万能公式有sinx=1

2

12，cosx=，12∴y==2t12

12tt

2

(t∈R).整理得2y+1)t+2yt+2y-1=0.当即y=-

12

时，t=-R.∴y=

12

符合题意.当2y+1≠0即y≠

12

时，关于t的元二次方程(2y+1)t有实数根.∴=4y-4(2y+1)(2y-1)≥0.解得-

31≤y≤，此-≤y且y≠.33综上所得函数的值域{y|-

3≤y≤}.3例3：(2005江高考卷，文2已知)tan4A.B.-C.D.-515

2

=3,则等(

思解:cosα=

=

1=-15

.答:问2(1)观察代数式x+y=1，联想sinα+cos=1，你发现了什么结论？(2)利用1)解答下面的问题：已知实数x,y足+y=1，求xy的大值和最小.导:果两个实数的平方和等于1，么这两个实数恰好是同一角的正弦值和余弦.探:可得结论：当实数满足x+y=1时可换元为x=cosα,y=sin.(2)设x=cosα,y=sin,α，则有xy=sinαcos=

12

sin2α∵∈，∴-1≤sin2≤1.∴xy的大值是

1，xy的小值是-.22这种求最值的方法称为三角代换在高考