（课标通用）2023年高考数学一轮复习第九章解析几何9.2两直线的位置关系学案理

PAGE1-§9.2两直线的位置关系考纲展示►1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直．2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．考点1两条直线的位置关系1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，那么有l1∥l2⇔________；②当不重合的两条直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为________．(2)两条直线垂直①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，那么l1⊥l2⇔________；②如果l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2的关系为________．答案：(1)①k1＝k2②平行(2)①k1k2＝－1②垂直2．两条直线的交点答案：唯一解无解无穷多解(1)[教材习题改编]假设直线l过点(－1,2)，且与直线y＝x垂直，那么直线l的方程是________．答案：x＋y－1＝0解析：由条件知，直线l的斜率k＝－1，那么其方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.(2)[教材习题改编]过点A(4，a)和B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，那么|AB|＝________.答案：eq\r(2)解析：依题意有eq\f(b－a,5－4)＝1，即b－a＝1，那么|AB|＝eq\r(b－a2＋5－42)＝eq\r(2).两直线位置关系的重点：平行和垂直．(1)假设直线l1：2x＋my＋1＝0与直线l2：y＝3x－1平行，那么m＝________.答案：－eq\f(2,3)解析：假设l1∥l2，那么需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,m)＝3，,\f(1,m)≠1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(2,3)，,m≠1，))所以m的值是－eq\f(2,3).(2)[2022·辽宁锦州模拟]假设直线l1：kx＋(1－k)y－3＝0和l2：(k－1)x＋(2k＋3)y－2＝0互相垂直，那么k＝________.答案：－3或1解析：由k(k－1)＋(1－k)(2k＋3)＝0，得k＝1或k＝－3.[典题1](1)[2022·重庆巴蜀中学模拟]假设直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相垂直，那么a的值等于()A．1B．－eq\f(1,3)C．－eq\f(2,3)D．－2[答案]D[解析]由a·1＋2·1＝0，得a＝－2，应选D.(2)[2022·浙江金华十校模拟]“直线ax－y＝0与直线x－ay＝1平行〞是“a＝1”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]由直线ax－y＝0与x－ay＝1平行，得a2＝1，即a＝±1，所以“直线ax－y＝0与x－ay＝1平行〞是“a＝1”的必要不充分条件．(3)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0[答案]A[解析]依题意，设所求的直线方程为x－2y＋a＝0，由于点(1,0)在所求直线上，那么1＋a＝0，即a＝－1，那么所求的直线方程为x－2y－1＝0.(4)经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________．[答案]4x＋3y－6＝0[解析]解法一：由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))即P(0,2)．∵l⊥l3，∴直线l的斜率k＝－eq\f(4,3)，∴直线l的方程为y－2＝－eq\f(4,3)x，即4x＋3y－6＝0.解法二：∵直线l过直线l1和l2的交点，∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.∵l与l3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11，∴直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0.[点石成金]1.由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2l1与l2平行的充分条件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)≠eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)l1与l2相交的充分条件eq\f(A1,A2)≠eq\f(B1,B2)(A2B2≠0)l1与l2重合的充分条件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)在判断两直线位置关系时，比例式eq\f(A1,A2)与eq\f(B1,B2)，eq\f(C1,C2)的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答．2．两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．3．常见的三大直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.考点2距离公式的应用三种距离点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))距离问题中的易错点：平行线间的距离．两平行直线3x－4y－1＝0与6x－8y＋18＝0间的距离是________．答案：2解析：两平行直线的方程分别是3x－4y－1＝0和3x－4y＋9＝0，由两平行线间的距离公式得，所求距离d＝eq\f(|－1－9|,\r(32＋－42))＝2.两平行直线l1，l2分别过点A(1,0)，B(0,5)，假设l1与l2间的距离为5，那么l1与l2的方程分别为________．答案：y＝0与y＝5或5x－12y－5＝0与5x－12y＋60＝0解析：依题意，两条直线的斜率必存在．设所求直线方程为l1：y＝k(x－1)，l2：y＝kx＋5.∵两条平行直线间的距离为5，∴eq\f(|5＋k|,\r(1＋k2))＝5，解得k＝0或k＝eq\f(5,12)，∴所求直线方程为l1：y＝0，l2：y＝5或l1：5x－12y－5＝0，l2：5x－12y＋60＝0.[典题2]直线l经过点P(2，－5)且与点A(3，－2)和点B(－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l的方程．[解]当直线l与x轴垂直时，此时直线l的方程为x＝2，点A到直线l的距离为d1＝1，点B到直线l的距离为d2＝3，不符合题意，故直线l的斜率必存在，设为k，∵直线l过点P(2，－5)，∴设直线l的方程为y＋5＝k(x－2)，即kx－y－2k－5＝0.∴点A(3，－2)到直线l的距离d1＝eq\f(|3k－－2－2k－5|,\r(k2＋1))＝eq\f(|k－3|,\r(k2＋1))，点B(－1,6)到直线l的距离d2＝eq\f(|－k－6－2k－5|,\r(k2＋1))＝eq\f(|3k＋11|,\r(k2＋1)).∵d1∶d2＝1∶2，∴eq\f(|k－3|,|3k＋11|)＝eq\f(1,2)，∴k2＋18k＋17＝0，∴k1＝－1，k2＝－17.∴所求直线方程为x＋y＋3＝0和17x＋y－29＝0.[点石成金]利用距离公式应注意：(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.1.[2022·四川绵阳一诊]假设P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，那么|PQ|的最小值为()A.eq\f(9,5)B.eq\f(18,5)C.eq\f(29,10)D.eq\f(29,5)答案：C解析：因为eq\f(3,6)＝eq\f(4,8)≠eq\f(－12,5)，所以两直线平行，由题意可知，|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即eq\f(|－24－5|,\r(62＋82))＝eq\f(29,10)，所以|PQ|的最小值为eq\f(29,10).2．直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，那么直线l的方程为________．答案：x＋3y－5＝0或x＝－1解析：解法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，那么它的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知，eq\f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq\f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))，即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－eq\f(1,3)，∴直线l的方程为y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．综上知，所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.解法二：当AB∥l时，有k＝kAB＝－eq\f(1,3)，直线l的方程为y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当l过AB中点时，AB的中点为(－1,4)，∴直线l的方程为x＝－1.故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.考点3对称问题[考情聚焦]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．主要有以下几个命题角度：角度一点关于点的中心对称问题[典题3]过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，那么直线l的方程为________．[答案]x＋4y－4＝0[解析]设l1与l的交点为A(a,8－2a那么由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.角度二点关于直线的对称问题[典题4]直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，那么点A关于直线l的对称点A′的坐标为________．[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13)))[解析]设A′(x，y)，由得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)×\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13)，))故A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))).角度三直线关于直线的对称问题[典题5]直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．[解]在直线m上任取一点，如M(2,0)，那么M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设对称点M′(a，b)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)))－3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋0,2)))＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(6,13)，,b＝\f(30,13)，))∴M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))).设直线m与直线l的交点为N，那么由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4,3)．又∵m′经过点N(4,3)，∴由两点式，得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.角度四对称问题的应用[典题6]在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．假设光线QR经过△ABC的重心，那么AP等于________．[答案]eq\f(4,3)[解析]以AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立如下图的平面直角坐标系，那么A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，得△ABC的重心Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)))，设AP＝x，那么P(x,0)，x∈(0,4)，由光的反射定理知，点P关于直线BC，AC的对称点P1(4,4－x)，P2(－x,0)，与△ABC的重心Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)))共线，所以eq\f(\f(4,3),\f(4,3)＋x)＝eq\f(\f(4,3)－4－x,\f(4,3)－4)，解得x＝eq\f(4,3)，AP＝eq\f(4,3).[点石成金]1.点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))2．解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，那么线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直．3．假设直线l1，l2关于直线l对称，那么有如下性质：①假设直线l1与l2相交，那么交点在直线l上；②假设点B在直线l1上，那么其关于直线l的对称点B′在直线l2上．4．解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分〞，由“垂直〞列出一个方程，由“平分〞列出一个方程，联立求解.[方法技巧]1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.2．与直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0；(2)平行：Ax＋By＋n＝0.3．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)，那么：(1)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2(2)l1∥l2⇔eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)≠eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)；(3)l1与l2相交⇔eq\f(A1,A2)≠eq\f(B1,B2)(A2B2≠0)；(4)l1与l2重合⇔eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)．4．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法．[易错防范]1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．假设两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，假设直线无斜率时，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))的前提是将两方程中的x，y的系数化为对应相等．真题演练集训1．[2022·四川卷]设直线l1，l2分别是函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－lnx，0<x<1，,lnx，x>1))图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，那么△PAB的面积的取值范围是()A．(0,1) B．(0,2)C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)答案：A解析：不妨设P1(x1，lnx1)，P2(x2，－lnx2)，由于l1⊥l2，所以eq\f(1,x1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x2)))＝－1，那么x1＝eq\f(1,x2).又切线l1：y－lnx1＝eq\f(1,x1)(x－x1)，l2：y＋lnx2＝－eq\f(1,x2)(x－x2)，于是A(0，lnx1－1)，B(0,1＋lnx1)，所以|AB|＝2.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－lnx1＝\f(1,x1)x－x1，,y＋lnx2＝－\f(1,x2)x－x2，))解得xP＝eq\f(2,x1＋\f(1,x1)).所以S△PAB＝eq\f(1,2)×2×xP＝eq\f(2,x1＋\f(1,x1))，因为x1>1，所以x1＋eq\f(1,x1)>2，所以S△PAB的取值范围是(0,1)，应选A.2．[2022·新课标全国卷Ⅱ]点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两局部，那么b的取值范围是()A.(0,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))答案：B解析：如图①所示，点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)，0))在线段AB上时，可求得Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－b,a＋1)，\f(a＋b,a＋1)))，那么S△EFB＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))·eq\f(a＋b,a＋1)＝eq\f(1,2)S△ABC＝eq\f(1,2)，整理得a＝eq\f(b2,1－2b)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤－\f(b,a)<0，,a＝\f(b2,1－2b)>0，))可解得eq\f(1,3)≤b<eq\f(1,2)；①②如图②所示，当点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)，0))在点A左侧时，可求得Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－b,a＋1)，\f(a＋b,a＋1)))，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－b,a－1)，\f(a－b,a－1)))，那么S四边形ABEG＝S△BEF－S△AFG＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))·eq\f(a＋b,a＋1)－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(b,a)))·eq\f(a－b,a－1)＝eq\f(1,2)S△ABC＝eq\f(1,2)，整理可得a2＝－2b2＋4b－1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)<－1，,a2＝－2b2＋4b－1>0，))可解得1－eq\f(\r(2),2)<b<eq\f(1,3)或1<b<1＋eq\f(\r(2),2)(舍去)．综上可得，b的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)，\f(1,2)))，应选B.3．[2022·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中，假设曲线y＝ax2＋eq\f(b,x)(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，那么a＋b的值是________．答案：－3解析：由曲线y＝ax2＋eq\f(b,x)过点P(2，－5)可得－5＝4a＋eq\f(b,2).①又y′＝2ax－eq\f(b,x2)，所以在点P处的切线斜率4a－eq\f(b,4)＝－eq\f(7,2).②由①②解得a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3.4．[2022·四川卷]设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，那么|PA|·|PB|的最大值是________．答案：5解析：∵直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0分别过定点A，B，∴A(0,0)，B(1,3)．当点P与点A(或B)重合时，|PA|·|PB|为零；当点P与点A，B均不重合时，∵P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直，∴△APB为直角三角形，∴|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，∴|PA|·|PB|≤eq\f(|PA|2＋|PB|2,2)＝eq\f(10,2)＝5，当且仅当|PA|＝|PB|时，上式等号成立．课外拓展阅读直线过定点及直线的距离最值问题专题一直线过定点问题直线l的方程中除去x，y还有其他字母(称为参数)，假设直线l过一个定点P，求定点P的坐标时，通常对参数分别取两个具体的值，将所得的两个方程联立得方程组，由方程组的解可得定点P的坐标．[典例1]两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P(2,3)，求过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)(a1≠a2)的直线方程．[思路分析]由两直线过定点得出系数之间的关系，从而得出直线方程．[解]因为点P(2,3)在直线上，所以2a1＋3b1＋1＝0,2a2＋3b所以2(a1－a2)＋3(b1－b2)＝0，即eq\f(b1－b2,a1－a2)＝－eq\f(2,3)，所以所求直线方程为y－b1＝－eq\f(2,3)(x－a1)．所以2x＋3y－(2a1＋3b1)＝0，即2x＋3y[典例2]点P(2,1)到直线mx－y－3＝0(m∈R)的最大距离是________．[思路分析][解析]解法一：点P(2,1)到直线mx－y－3＝0(m∈R)的距离d＝eq\f(|2m－1－3|,\r(m2＋1))＝eq\f(|2m－4|,\r(m2＋1))，那么设f(m)＝d2＝eq\f(2m－42,m2＋1)＝4×eq\f(m2－4m＋4,m2＋1)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3－4m,m2＋1)))，下面求eq\f(3－4m,m2＋1)(m∈R)的最大值．设3－4m＝t，那么m＝eq\f(3－t,4).当m<eq\f(3,4)时，t>0，那么eq\f(3－4m,m2＋1)＝eq\f(t,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－t,4)))2＋1)＝eq\f(16t,t2＋25－6t)＝eq\f(16,t＋\f(25,t)－6)≤eq\f(16,2\r(25)－6)＝4，当且仅当t＝eq\f(25,t)，即t＝5时等号成立；当m＝eq\f(3,4)时，eq\f(3－4m,m2＋1)＝0；当m>eq\f(3,4)时，t<0，那么0>eq\f(3－4m,m2＋1)＝eq\f(t,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－t,4)))2＋1)＝eq\f(16t,t2＋25－6t)＝eq\f(16,t＋\f(25,t)－6)≥eq\f(16,－2\r(25)－6)＝－1，当且仅当t＝eq\f(25,t)，即t＝－5时等号成立．综上可得，eq\f(3－4m,m2＋1)(m∈R)的最大值为4，所以点P(2,1)到直线mx－y－3＝0(m∈R)的最大距离是eq\r(4×1＋4)＝2eq\r(5).解法二：对于直线l：mx－y－3＝0(m∈R)，令m＝0，那么有－y－3＝0；令m＝1，那么有x－y－3＝0，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－y－3＝0，,x－y－3＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－3，))那么直线l经过定点Q(0，－3)，如下图．由原题答图知，当PQ⊥l时，点P(2,1)到直线l的距离取得最大值，此时|PQ|＝eq\r(2－02＋1＋32)＝2eq\r(5)，所以点P(2,1)到直线l的最大距离是2eq\r(5).[答案]2eq\r(5)方法探究受思维定式的影响，很容易想到解法一，这种方法看起来可行，但是在具体求解时很繁琐，解法二应用数形结合的思想，方便简捷，是最优解法，值得学习和借鉴．专题二有关直线的距离最值问题[典例3]直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．[思路分析][解](1)设A关于直线l的对称点A′(m，n)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－0,m－2)＝－2，,\f(m＋2,2)－2·\f(n＋0,2)＋8＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co