2023届高考数学二轮复习解析几何常考问题第6讲巧用同构

/15/15/第6讲巧用同构典型例题【例1】设为抛物线外一点,过点作抛物线的两条切线,切点分别为.(1)若点坐标为,求直线的方程;(2)若为圆上的点,记两切线的斜率分别为,求的取值范围.【答案】(1).【解析】(1)设直线方程为,直线方程为.因为与抛物线相切,所以.取,则,即点.同理可得点.所以.(2)设点,则直线方程为,直线方程为.因为直线与抛物线相切,所以.同理可得.所以是方程的两个根，所以.则.又因为,则,所以【例2】已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,它的一个顶点为,离心率为(1)求椭圆的方程;(2)过右焦点作直线交椭圆于两点,交轴于点,若,求的值.【答案】(1).【解析】(1).因为,解得,所以椭圆的方程为.(2)由(1)得点.设直线,可得点.设点.可得.由可得因为点在椭圆上,所以,将(1)式代人可得,得,所以.对于,.同理可得.所以为方程的两个不同桹，所以.【例3】已知抛物线与直线.(1)求抛物线上的点到直线距离的最小值;(2)设点是直线上的动点,是定点,过点作抛物线的两条切线,切点分别为,求证:三点共线;并当时,求点的坐标.【答案】(1)；(2)见【解析】.【解析】(1)方法1,设抛物线斜率为的切线的切点为,因为,所以,切线方程为.抛物线上的点到直线的距离的最小值,即两条平行线间的距离,最小值为.方法2设抛物线上点的坐标为,则时取得等号),抛物线上的点到直线的距离最小值为.(2)设点,则直线的方程为,直线的方程为.因为两条直线都过点,所以.又,所以直线过点,即证..所以为方程的两个根,所以.又因为,所以..解得或2,所以点或.【例4】已知抛物线上的动点,点在射线上,满足的中点在抛物线上.(1)若直线的斜率为1,求点的坐标;(2)若射线上存在不同于点的另一点,使得的中点也在抛物线上,求的最大值.【答案】(1)或;(2).【解析】(1)设直线的方程为.得点.设点.,.又,解得,或.经检验,都是方程的解,所以点或,).(2)设点,则由的中点在抛物线上,所以,整理得-16).同理.所以是方程的两个不相等的非负根,所以,所以.所以,当且仅当时取得等号.所以的最大值为.【例5】已知抛物线,圆的圆心为点.(1)求点到抛物线的准线的距离;（2）已知是抛物线上一点(异于原点),过点作圆的两条切线,交抛物线于两点,若过两点的直线垂直于,求直线的方程.【答案】(1)(2).【解析】(1)由题意可知,抛物线的准线方程为,所以圆心到准线的距离是(2)方法1设点,,则由题意得.设过点的圆的切线方程为,即(1)则,即，设的斜率为,则是上述方程的两个根,所以.将(1)式代人,得.由于是此方程的根,故,(或利用点差法知,所以,更显简单)所以.由,得.,解得,即点的坐标为,所以直线的方程为.方法2设点,则由题意得,所以.所以PA,即.所以,则.同理.所以是方程0的两个根,所以.因为,所以.所以,所以.【例6】已知是椭圆外一点,过点作椭圆的两条切线,切点分别为.(1)求证:切线的方程是;(2)设为抛物线上的动点,求面积的最小值.【答案】(1)见【解析】;(2).【解析】(1)设过点的直线方程为.得,,即.所以,即切点坐标为,故点,即，故,所以切线的方程为,综上所述,切线的方程为.(2)切线的方程为,同理,切线的方程为.因为是直线与的交点,即所以直线的方程为,即直线的方程为,令,所以,.又因为,故,令,所以,则,故单调递增,所以.综上所述,.【例7】如图,已知抛物线,设直线经过点,且与抛物线交于两点,抛物线在两点处的切线交于点,直线分别与轴交于两点.(1)求点的轨迹方程;(2)当点不在上时,记的面积为的面积为,求的最小值.【答案】(1).【解析】解法(1)因为抛物线,其导数为.设点,则切线的方程为,切线的方程为.联立两个方程,解得交点设直线的方程为,代人,整理得,,且,所以,于是.故点的轨迹方程为.(2)因为切线,所以. 同理.所以.又点,故.由(1)可知.又点到直线的距离为,所以.所以.令,则,当即时取得等号.综上所述,的最小值为4.解法2：(1)设点,则切线的方程为,切线的方程为.设点,则,且,所以是方程的两组解,即直线的方程为y).因为直线经过点,所以2),所以点的轨迹方程为.(2)因为切线的方?为,所以.同理.所以.又点,故.由(1)可知直线的方程为,且,所以直线的方程为.过点作轴的平行线交于点,则,所以所以.所以.所以.令,则,当即时取得等号.综上所述,的最小值为4.【例8】已知抛物线,椭圆为椭圆上的一个动点,抛物线的准线与椭圆相交所得的弦长为.直线与抛物线交于两点,线段分别与抛物线交于点,恰好满足.(1)求椭圆的标准方程:(2)求以为直径的圆面积的最大值.【答案】(1).【解析】(1)抛物线的准线方程为.因为抛物线的准线与椭圆相交的弦长.抛物