高考数学第2部分专题6函数导数不等式解密高考6函数与导数综合问题巧在“转”难在“分”教案文

解密高考⑥函数与导数综合问题巧在“转”、难在“分”——————[思想导图]————————————[技法指津]——————函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，要点考察函数的一些性质，如含参数函数的单一性、极值或最值的探究与议论，复杂函数零点的议论，函数不等式中参数范围的议论，恒建立和能建立问题的议论等，是近几年高考试题的命题热门，关于这种综合问题，一般是先转变(变形)，再求导，分解出基本函数，分类议论研究其性质，再依据题意解决问题．母题示例：2019年全国卷Ⅰ，本小题满分12母题打破：2019年济南模拟分已知函数f(x)＝2sinx－cosx－，′( )此题考察：利用导数议论函数零点的个数、xxfx为f(x)的导数.依据恒建立的不等式求参数的范围问题，考(1)证明：′( )在区间(0，π)存在独一零点；查考生的逻辑推理、转变与化归、数学运算fx(2)若x∈[0，π]时，f(x)≥ax，求a的取值能力，要点考察考生逻辑推理和数学运算的范围.核心修养.[审题指导·挖掘条件]看到证明f′(x)在区间(0，π)存在独一零点，想到解决此问题应分两步：①确立有零点；②确立独一性．可先求出f′(x)的零点，而后利用导数证明单一性，从而确立独一性．(2)看到求a的取值范围，想到依据f(x)≥ax结构函数或分别参数求解．[规范解答·评分标准

](1)设g(x)＝f′(x)，则

g(x)＝cos

x＋xsin

x－1，g′(x)

＝

xcosx．············································2分当x∈

0，π2

时，g′(x)＞0；当

x∈

π2，π时，πg′(x)＜0，所以g(x)在0，2上单一递加，π在2，π上单一递减.················4分π又g(0)＝0，g2＞0，g(π)＝－2，故g(x)在(0，π)存在独一零点．所以f′(x)在区间(0，π)存在独一零点.6分由题设知f(π)≥aπ，f(π)＝0，可得a≤0.······················7分由(1)

知，f′(x)在(0，π)只有一个零点，设为

x0，且当

x∈(0，x0)时，f′(x)＞0；当x∈(x0，π)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，x0)单一递加，在(x0，π)单一递减.···························································10分又f(0)＝0，f(π)＝0，所以，当x∈[0，π]时，f(x)≥0.又当a≤0，x∈[0，π]时，ax≤0，故f(x)≥ax.所以，a的取值范围是(－∞，0].·····························12分[建立模板·三处要点]解函数与导数综合问题的要点要点1：会求函数的极值点，先利用方程f(x)＝0的根，将函数的定义域分红若干个开区间，再列成表格，最后依表格内容即可写出函数的极值；要点2：证明不等式，常结构函数，并利用导数法判断新结构函数的单一性，从而可证明原不等式建立；要点3：不等式恒建立问题除了用分别参数法，还能够从分类议论和判断函数的单一性下手，去求参数的取值范围．,已知函数f(x)＝(x－1)lnx＋(∈R)．axa当a＝0时，求f(x)的单一区间；(2)若f(x)＞0在(0，＋∞)上恒建立，务实数

a的取值范围．1

1[解]

(1)a＝0时，f(x)＝(x－1)ln

x，f′(x)＝ln

x＋(x－1)·x＝ln

x－x＋1，设1g(x)＝lnx－x＋1，x＋1则g′(x)＝x2＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上单一递加，而g(1)＝0，∴x∈(0,1)时，g(x)＜0，即

f′(x)＜0，x∈(1，＋∞)时，

g(x)＞0，即

f′(x)＞0，∴f(x)的单一递减区间为

(0,1)

，单一递加区间为

(1，＋∞)．(2)由(x－1)ln

x＋ax＞0，得－ax＜(x－1)ln

x，而

x＞0，∴－a＜

x－1x

ln

x

＝ln

lnx－

x

x

.记h(x)＝ln

lnx－

x

x，11x·x－lnx则h′(x)＝x－x2lnx＋x－1＝x2，设m(x)＝lnx＋x－1(x＞0)，明显m(x)在(0，＋∞)上单一递加，而m(1)＝0，∴x∈(0,1)时，m(x)＜0，