专题11以四边形为载体的几何综合问题-决胜2022年中考数学压轴题（江苏）（原卷版）

决胜2022中考数学压轴题全揭秘精品（江苏专版）

专题11以四边形为载体的几何综合问题

(MU(2020.A9)

[««)(2019•俄旅)(«11)(202。・1•安)

【考点1】特殊四边把

【支文6-1](2020*«||»-«)[«5tl2J(20203州)

【考点6】关于四边形证照的判定

【爻式6-2)(2O2O*UMi)与计D的综合基(XX1-3)(2020>»B»)

3)(2019*jtW)

【加】(2020.KW)

(M7](2020•由通二0)[«it21]<2019也江)

（零点2】四边形的

[«5C71](2O19.ttW)(«>C22](2O19.S*H)

【零点7】关于四边形IB折线段计算何霆

[*5C72](2019.UMI)

与旋转的解答题[«X23](2019*ttif)

(«SC7-31(2019•连云港)

专题11以四边形为(M3)(2020-StHi)

(M81(2020-ttM>(S<31)(2020.UMk»)

载体的几何综合问【考点3】四边形与点

woa]二・)【考点】关于四边形动点[«d：32](2O2O.»n<hWtRB!W)

8的坐标间线

综合问题的解答基

(«««21(2019•无H)题(XC33](2020•连就)

(M9](2019•苏州)[9M](2020.XM)

1](2019,索州)【受式4」】(202。，郅1双三・)

【零点9】关于四边形类比探究【考点4】四边形与

(&.N92](2020♦喜津区二篌)【费式4-2](2020*MI4>iMIH)

问题的解答题三角形画数向蹙

3](2O2O-5｛；1E=M)【受式4-3](2020.4»B-«>

WSJ<2O2O.$JI|g«®=a)

(Hits1](2O2O.»tBa-M)

【零点5】四边形绿合

[囊型2]<2020.««<-»)

判所型向牌

【囊352】(2O2O.*Hb-»)

典例剖析

【考点1】特殊四边形的判定

【例1】（2020•宿迁）如图，在正方形A3CZ）中，点E,F在AC上，且AF=CE.求证:

四边形BED尸是菱形.

【变式1-1］（2020•淮安）如图，在团ABCD中，点、E、尸分别在BC、AO上，AC与EF相

交于点O,且AO=CO.

（1）求证：ZVIOF丝△COE；

（2）连接4E、CF,则四边形AECF（填“是”或“不是”）平行四边形.

【变式1-2］（2020•扬州）如图，团ABCD的对角线AC、BD相交于点0,过点。作EFrAC,

分别交AB、QC于点E、F,连接AF、CE.

（1）若OE=.,求EF的长;

（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由.

DFc

一

4EB

【变式1-3］（2020•连云港）如图，在四边形ABC。中，AD//BC,对角线BD的垂直平分

线与边A。、8c分别相交于点M、N.

（1）求证：四边形BNQM是菱形；

（2）若80=24,MN=\0,求菱形8NDW的周长.

,4D

BNC

【考点2］四边形的线段计算问题

【例2】（2020•盐城）如图，在菱形ABCD中，对角线4c、BD相交于点0,H为BC中点,

AC=6,BD=8.则线段OH的长为（）

c

125

A.—B.-C.3D.5

【变式2-1］（2019•镇江）如图，菱形ABC。的顶点8、C在x轴上（8在C的左侧），顶点

A、。在x轴上方，对角线BO的长是|S3,点E（-2,0）为BC的中点，点尸在菱

形4BCQ的边上运动.当点尸（0,6）到EP所在直线的距离取得最大值时，点P恰好

落在AB的中点处，则菱形48CC的边长等于（）

【变式2-2］（2019•苏州）如图，菱形A8CZ）的对角线AC,BD交于点O,AC=4,BD=16,

将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A8O：当点4与点C重合时，点A与点夕

之间的距离为（）

A.6B.8C.10D.12

【变式2-3］（2019•宿迁）如图，矩形ABC。中，AB=4,BC=2,点、E、F分别在AB、CD

上，S.BE=DF=

（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）求线段EF的长.

EB

【考点3】四边形与点的坐标问题

【例3】（2020•常州）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数

和几何中最好的东西，互相以长补短.在菱形ABCZ）中，AB=2,4048=120°.如图,

建立平面直角坐标系xOy,使得边AB在x轴正半轴上，点。在y轴正半轴上，则点C的坐

【变式3-1］（2020•高邮市一模）如图，已知菱形ABC。的顶点A的坐标为（1,0）,顶点

B的坐标为（4,4）,若将菱形ABC。绕原点。逆时针旋转45。称为1次变换，则经过

C.(-9,-4)D.(-4,-9)

【变式3-2］（2020•海门市校级模拟）如图，已知梯形ABCC中BC〃AD,AB=BC=CO=y。,

点A与原点重合，点。（4,0）在x轴上，则点C的坐标是（

A.(3,2)B.(3,V3)C.(V3,2)D.(2,3)

【变式3-3］（2020•连云港）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶

点M、N的坐标分别为（3,9）、（12,9）,则顶点A的坐标为

ox

【考点4】四边形与三角形函数问题

【例4】（2020•常州）如图，点C在线段48上，且AC=2BC,分别以AC、3C为边在线

段A5的同侧作正方形ACQE、BCFG,连接EC、EG,则tanNCEG=

【变式4・1】（2020•吴江区三模）如图，正方形A8CD中，内部有4个全等的正方形，小正

方形的顶点E、F、G、，分别在边AB、BC、CD、AD±,则tan/A£W=（）

221

A.-B.一C.一D.-

3574

【变式4-2］（2020•扬中市模拟）如图，菱形48CD的边长为15,sin/BAC=|,则sin/

BAD=

【变式4・3】（2020•金湖县一模）如图，菱形A3CD中，对角线AC=8,BD=6,点七是AB

边上的中点，连接CE,则tanNACE的值为

【考点5】四边形综合判断型问题

【例5】（2020•崇川区校级三模）在矩形ABCO中，M,N,P,。分别为边AB,BC,CD,

上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABC。，下面四个结论中，

①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；

②存在无数个四边形MNPQ是矩形；

③存在无数个四边形MNPQ是菱形；

④至少存在一个四边形MNPQ是正方形，

其中正确的结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式5-1］（2020•灌南县一模）如图，正方形ABC。中，E、F分别为8C、的中点，

AF与DE交于点G.则下列结论中：©AF1DE：@AD=BG；③GE+GF=&GC；④S

△AGB=2S四边形ECFG-其中正确的是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式5-2］（2020•常州一模）如图，四边形ABC。、CEFG是正方形，E在CD上且8E平

分NDBC,。是BD中点，直线BE、DG交于H.BD,AH交于M,连接OH,下列四个

结论：

①BE1.GD；@OH=③NA”O=45°；@GD=y［2AM,

其中正确的结论个数有（）

C.3个D.4个

【变式5-3］（2019•东海县一模）如图，P为正方形ABCD的对角线8。上任一点，过点尸

作PEJ_3c于点E,PFLCO于点F,连接EF.给出以下4个结论:

①△FP。是等腰直角三角形;

②AP=EF；

③AD=PD；

@NPFE=NBAP.

其中，所有正确的结论是（）

A.①②B.①④C.①②④D.①③④

【考点6］关于四边形证明与计算的综合题

【例6】（2019•扬州）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分ND4B,已知CE=6,BE=8,

£>£=10.

(1)求证：NBEC=90°；

【变式6-1］（2020•建邺区二模）数学课上，陈老师布置了一道题目：如图①，在AABC中,

A。是8c边上的高，如果A8+BO=AC+CQ,那么AB=AC吗？

悦悦的思考:

①如图，延长至点E,使BE=BA,延长。C至点F,使CF=CA,连接AE、AF.

②由A。是所的垂直平分线，易证/E=/F.

③由易证N48C=NACB.

④得到AB=AC.

如图②，在四边形A3CZ）中，AD//BC,AB+AD^CD+CB.

求证：四边形A8CO是平行四边形.

图①图②

【变式6-2】（2020•扬州）如图1,已知点。在四边形A8CD的边AB上，JSOA=OB=OC

=00=2,OC平分NBO。，与8。交于点G,4c分别与B。、0。交于点E、F.

(1)求证：OC〃AO；

力E

(2)如图2,若DE=DF,求而的值;

DE

(3)当四边形A88的周长取最大值时,求而的值.

【变式6-3］（2019•无锡）如图，在回A8CO中，点E、F分别在边A。、8c上，KDE=BF,

直线E尸与84、DC的延长线分别交于点G,H.求证:

(1)ADEH//\BFG；

(2)AG=CH.

【考点7］关于四边形翻折与旋转的解答题

【例7】（2020•南通二模）如图，在矩形A8CO中，A8=10,BC=m,E为BC边上一点,

沿AE翻折△4BE,点8落在点尸处.

（1）连接CF,若CF〃AE,求EC的长（用含，"的代数式表示）；

⑵若EC=§,当点尸落在矩形ABC3的边上时，求机的值；

（3）连接。尸，在8c边上是否存在两个不同位置的点E,使得SAADF=%矩彩ABCQ?若

存在，直接写出，"的取值范围；若不存在，说明理由.

【变式7-1］（2019•盐城）如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：

（I）将矩形纸片沿。尸折叠，使点A落在边上点E处，如图②；

（II）在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B'处，如

图③，两次折痕交于点。；

（III）展开纸片，分别连接08、OE、OC、FD,如图④.

【探究】

（1）证明：△OBC会△OEZ）；

于x的关系

【变式7-2］（2019•扬州）如图，四边形ABC。是矩形，AB=20,8c=10,以C£＞为一边

向矩形外部作等腰直角△GOC,NG=90°.点M在线段A8上，且点尸沿折

线AO-DG运动，点。沿折线8C-CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持

线段PQ〃AB.设PQ与AB之间的距离为x.

（1）若4=12.

①如图1,当点P在线段A。上时，若四边形4MQP的面积为48,则x的值为3；

②在运动过程中，求四边形4例。2的最大面积；

（2）如图2,若点P在线段OG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50,求〃

的取值范围.

【变式7-3］（2019•连云港）问题情境：如图1,在正方形ABCQ中，E为边BC上一点（不

与点8、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、8于点M、P、N.判断

线段。N、MB、EC之间的数量关系，并说明理由.

问题探究：在“问题情境”的基础上.

（1）如图2,若垂足P恰好为AE的中点，连接BQ,交MN于点、Q,连接EQ,并延长

交边AO于点F.求NAEF的度数；

（2）如图3,当垂足P在正方形48c4的对角线80上时，连接AV,将AAPN沿着AN

翻折，点P落在点严处，若正方形48CD的边长为4,4。的中点为S,求PS的最小值.

问题拓展：如图4,在边长为4的正方形ABCQ中，点M、N分别为功AB、8上的点，

将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边8。恰好经过点A,CN交AD于点F.分

别过点A、尸作AGLMN,FHLMN,垂足分别为G、H.若AG=?,请直接写出尸”的

长.

【考点8］关于四边形动点综合问题的解答题

【例8】（2020•盐城）木门常常需要雕刻美丽的图案.

（1）图①为某矩形木门示意图，其中AB长为200厘米，AD长为100厘米，阴影部分

是边长为30厘米的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心点P处，在雕刻时始终保

持模具的一边紧贴木门的一边，所刻图案如虚线所示，求图案的周长；

（2）如图②，对于（1）中的木门，当模具换成边长为306厘米的等边三角形时，刻刀

的位置仍在模具的中心点尸处，雕刻时也始终保持模具的一边紧贴木门的一边，使模具

进行滑动雕刻.但当模具的一个顶点与木门的一个顶点重合时，需将模具绕着重合点进

行旋转雕刻，直到模具的另一边与木门的另一边重合.再滑动模具进行雕刻，如此雕刻

一周，请在图②中画出雕刻所得图案的草图，并求其周长.

【变式8-1］（2020•东海县二模）如图1,矩形ABC。中，AB=3,BC=4,点P是线段4。

延长线上的一个动点，连接CP,以CP为一边，在CP的左侧作矩形CPFE.

(1)若DP=3,

①如图1,当矩形CPFE的顶点尸恰好落在CD的延长线上，求PF的长；

②如图2,求证：点A一定在矩形CPFE的边CE所在的直线上；

③如图3,连接EP,易知EP中点。在CP的垂直平分线上，设CP的垂直平分线交

的延长线于点G,连接B0,求58O+3OG的最小值；

(2)如图4,若所作矩形CPFE始终保持CE=在BC的延长线上取一点H,使

CH=2,连接”F,试探究点尸移动过程中，”尸是否存在最小值，若存在，请直接写出

H尸的最小值；若不存在，请说明理由.

【变式8-2](2019•无锡)如图1,在矩形ABCC中，BC=3,动点尸从B出发，以每秒1

个单位的速度，沿射线BC方向移动，作关于直线布的对称△勿8',设点P的

运动时间为f(£).

(1)若AB=2g.

①如图2,当点B'落在AC上时，显然△以夕是直角三角形，求此时，的值；

②是否存在异于图2的时刻，使得△「圆’是直角三角形？若存在，请直接写出所有符

合题意的f的值？若不存在，请说明理由.

(2)当P点不与C点重合时，若直线PB'与直线CQ相交于点且当t<3时存在某

一时刻有结论/以"=45°成立，试探究：对于f>3的任意时刻，结论“/FM=45°”

是否总是成立？请说明理由.

【考点9］关于四边形类比探究问题的解答题

【例9】（2019•苏州）已知矩形ABC。中，AB=5cm,点尸为对角线AC上的一点，且AP

=2限m.如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着A-B-C的方向匀速运动（不包

含点C）.设动点"的运动时间为？（s）,ZSAPM的面积为S（。后），S与/的函数关系如图

②所示.

（1）直接写出动点M的运动速度为cm/s,8c的长度为cm；

（2）如图③，动点M重新从点4出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同

时，另一个动点N从点。出发，在矩形边上沿着。fCf8的方向匀速运动，设动点N

的运动速度为v（cm2.已知两动点M,N经过时间x（s）在线段BC上相遇（不包含

点C）,动点M,N相遇后立即同时停止运动，记此时△APM与△OPN的面积分别为Si

（cm2）,S2（cm2）

①求动点N运动速度丫Qcmk）的取值范围；

②试探究Si咱2是否存在最大值，若存在，求出S|・S2的最大值并确定运动时间x的值;

若不存在，请说明理由.

【变式9-1］（2019•常州）数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内

角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”.“算

两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想.

【理解】

（1）如图1,两个直角边长分别为4、氏斜边长为C的直角三角形和一个两条直角边都

是C的直角三角形拼成一个梯形.用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的

结论；

（2）如图2,n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可

得等式：〃2=______________一；

【运用】

（3）“边形有〃个顶点，在它的内部再画，"个点，以（〃?+〃）个点为顶点，把〃边形剪

成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形.当附=3,m=3时，如图3,最多

可以剪得7个这样的三角形，所以y=7.

①当”=4,m=2时，如图4,y=；当”=5,/〃=时，y=9；

②对于一般的情形,在“边形内画烧个点,通过归纳猜想，可得y=（用

含〃?、〃的代数式表示）.请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立.

1

1

□

-

-

-

【变式9-2］（2020、曷淳区二模）在菱形ABC。中，NABC=60°,点P是射线8。上一动

点，以AP为边向右侧作等边△APE,点E的位置随点P的位置变化而变化.

（1）如图1,当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE,则BP与CE的数量关系

是,CE与AO的位置关系是；

（2）如图2、3,当点E在菱形A8CO外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请

予以证明；若不成立，请说明理由；（选择图3予以证明或说理）

（3）如图4,当点P在线段BD上，点E在菱形ABCD外部时，连接BE、DE,若AB=28，

BE=6,求四边形AP£>E的面积.

图1图2图3图4

【变式9-3］（2020•吴江区三模）如图，在正方形ABC。中，E是AB上一点，尸是4。延长

线上一点，且。F=BE.

（1）求证：CE=CF；

（2）图1中，若G在4。上，且NGCE=45°,则GE=BE+G。成立吗？为什么？

（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2,在直角梯形ABC。

中，AD//BC（BC>AD）,ZB=90°,AB=BC=6,E是AB上一点,且NDCE=45°,

BE=2,求的长.

压轴精练

一.选择题（共5小题）

1.（2019•无锡）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）

A.内角和为360。B.对角线互相平分

C.对角线相等D.对角线互相垂直

2.（2020•连云港）如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的4处.若

8c=24°,则NA'EB等于（）

A.66°B.60°C.57°D.48°

3.（2020•吴江区二模）如图，四边形ABCD是矩形，NBDC的平分线交AB的延长线于点

E,若AQ=4,AE=10,则A8的长为（）

C.5.2D.5.5

4.（2020•扬州）如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点8,向左转45。后又沿直

线前进10米到达点C,再向左转45°后沿直线前进10米到达点。…照这样走下去，小

明第一次回到出发点A时所走的路程为（）

C.60米D.40米

5.（2020•江阴市二模）如图：正方形ABCQ边长为1,P是边中点，点B与点E关于

直线CP对称，连接CE,射线与CP交于点凡则所的值为（）

3>/52V10

5

二.填空题（共5小题）

6.（2020•镇江）如图，点P是正方形ABC3内位于对角线AC下方的一点，Z1=Z2,则

NBPC的度数为

7.（2020•宿迁）如图，在矩形ABC。中，48=1,40=旧，P为上一个动点，连接BP,

线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ,当点P从点A运动到点。时,

线段PQ在平面内扫过的面积为.

8.（2020•天水）如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，。是坐标原点，点E的坐

标为（2,3）,则点尸的坐标为.

9.（2019•绍兴）如图，在直线A尸上方有一个正方形ABC。，ZPAD=30a,以点B为圆心，

A3长为半径作弧，与AP交于点A,M,分别以点A,M为圆心，AM长为半径作弧，两

弧交于点E,连结E£>,则/AOE的度数为.

10.（2020•扬州）如图，在团ABC。中，ZB=60°,AB=\0,BC=8,点E为边AB上的一

个动点，连接并延长至点F,使得DF另DE,以EC、EF为邻边构造回EFGC,连接

EG,则EG的最小值为.

D

三.解答题(共12小题)

II.(2019•淮安)已知：如图，在团ABCO中，点E、尸分别是边AO、BC的中点.求证:

BE=DF.

12.(2020•惠山区二模)如图，在团ABC£＞中，点E、尸分别在边C£＞、A8上，且满足CE

=AF.

(1)求证：AADE且ACBF；

(2)连接AC,若AC恰好平分/E4F,试判断四边形AECF为何种特殊的四边形？并说

明理由.

13.(2019•泰州)如图，线段A8=8,射线8GLAB,P为射线8G上一点，以AP为边作

正方形APCD,且点C、。与点8在AP两侧，在线段DP上取一点E,使/E4P=/BAP,

直线CE与线段AB相交于点尸(点尸与点A、8不重合).

(1)求证：△AEP丝△CEP；

(2)判断CF与AB的位置关系，并说明理由；

(3)求△AEF的周长.

14.(2020•淮阴区模拟)如图，在团ABCO中，已知E、尸分别为边43、C£)的中点.

(1)求证：AADE注ACBF；

(2)若AB=2,ZADB=90°,求四边形BED尸的周长.

15.(2020•江都区三模)【阅读理解】设点P在矩形A8C。内部，当点尸到矩形的一条边的

两个端点距离相等时，称点P为该边的“和谐点例如：如图1,矩形ABC。中，若以

=PD,则称P为边AD的“和谐点”.

【解题运用】已知，点尸在矩形A8CD内部，且AB=10,BC=6.

(1)设P是边AO的“和谐点”，则P边BC的“和谐点”(填“是”或“不是”)；

(2)若「是边8C的“和谐点”，连接以，PB,当△以8是直角三角形时，求必的值；

(3)如图2,若P是边AO的''和谐点"，连接用，PB,PD,求tanN/MBranNPBA的

最小值.

4

16.(2020•滨湖区模拟)如图1,在菱形A8CO中，4B=5,tan/ABC=/点E从点。出

发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为，(秒)，

将线段CE绕点C顺时针旋转一个角a(a=NBCD),得到对应线段CF.

(1)求证：BE=DF；

（2）当，=秒时，的长度有最小值，最小值等于；

（3）如图2,连接80、EF、BD交EC、EF于点P、Q,当f为何值时，△EPQ是直角

三角形？

（4）在点E的运动过程中，是否存在到直线AD的距离为1的点F,若存在直接写出t

的值，若不存在，请说明理由.

17.（2020•高淳区二模）如图，在四边形中，AD//BC,Ji.AD+AB=BC+CD.证明

四边形A8C。是平行四边形.

小明同学在证明该题时，他根据题目中条件“AO+AB=BC+CQ”想到延长D4至E,使

AE=AB,则DE=AD+AE=AD+AB；延长BC至F,使CF=C£>,则BF=B