线性代数2021年期末试题

线性代数2021年期末试题

一、填空题（共10题，每题2分，共20分）

1.只于自身合同的矩阵是矩阵.

7](王

2.二次型/（尤1，9）=（3%2）的矩阵为

6八%2

3.设A是实对称矩阵，则当实数f，小+A是正定矩阵.

4.正交变换在标准正交基下的矩阵为。

5.标准正交基下的度量矩阵为.

6.线性变换可对角化的充要条件为o

7.在P”中定义线性变换b为：b（X）=（"，写出。在基

d

E”，耳2，刍।,&2下的矩阵•

8.设乂、匕都是线性空间V的子空间，且用1匕，若dimK=dim%,则

9叙述维数公式

10.向量a在基%%,•••,%（1）与基Si，%…，£“（2）下的坐标分别为x、y>

且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A,则x与y的关系为

_____________________________O

二、判断题（共10题，每题1分，共10分）

1.线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（）

2.设o■为〃维线性空间V上的线性变换，则oV+crT（0）=V。（）

3.平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数

量乘法，构成实数域上的线性空间。（）

4.设匕与匕分别是齐次线性方程组西+巧+…+怎=0与百=々=~=%的解

空间，则

匕㊉匕=P"()

5.一K为正定二次型。（）

/=!\/=1J

6.数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。（）

7.把复数域。看作复数域上的线性空间令n=1,则<7是线性变

换。（）

8.若。是正交变换，那么。的不变子空间的真正交补也是。的不变子空间。

（）

9.欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的.（）

10.若o■为P[x]（〃>1）中的微分变换，则。不可对角化。（）

三、计算题（共3题，每题10分，共30分）

’122、

1.设线性变换。在基与,£2，£3下的矩阵为A=212求。的特征值与

1221,

特征向量，并判断。是否可对角化？

2.f取什么值时，下列二次型是正定的?

/（不马,刍）=片+4+54+2比也一2%毛+4为七

3.设三维线性空间V上的线性变换（7在基£「£2,心下的矩阵为:

a\2阳

A。23，求cr在基与且左HO）,j下的矩阵反

〃32。337

四、证明题（共4题，每题10分，共40分）

1.证明:

4、4i、

AA-2

A与B相似，其中4%，…，是

4”，

1,2,…，〃的一个排列.

2.证明：和Z匕是直和的充要条件为:匕nWX={0}（i=2,3,…,s）。

3.设A是〃级实对称矩阵，且A2=A,证明：存在正交矩阵T,使得:

;1

1

T-'AT=1

0

OJ

’4

4.证明：A=

其中,A，…,i,是1,2,…,”的一个排列。

答案

<39、

一.1.零2.3.充分大4o正交矩阵5oE6.有

（96）

〃个线性无关的特征向量

’a0b0、

Qa0b

7o8oV9.

c0J012

、0c0d,

dim（K+%）=dim%+dim%-dim（V；01%）

10.X=AY

二.lox2.x3.x4oV5ox6ox7。x8。J

9Ox10.V

2-1-2-2

三.lo解：〃/1）=|花_.=-22-1-2=（2-5）（2+l）2（3分）

-2-22-1

所以，b的特征值为4=7（二重）和4=5。把4=T代入方程组

（2E-A）X=0W：

—2%—2々—2A?2=00

«—2X]—2x,—2X2—0基础解系为〃1—0n2=1

—2X]—29—2%2=0—1-1

因此，b属于-1得两个线性无关得特征向量为：

41~£2^2~£2~£3

因而属于-1的全部特征向量就是匕£1+e£2，占、42取遍P中不全为零的全

基础解系内J1

部数对（6分），再用4=5代入（XE—A）X=0得:因此,

属于5的全部特征向量是女左，k是P中任意不等于零的数。（9分）

因为b有三个线性无关的特征向量，所以。可能对角化。（10

分）

’1t-P

2.解：/的矩阵为：A=f12

㈠25,

1t、II7m4

vl>0,=1—产>0,旬=-5r-4/>0.得：一一<r<0

t1115

4

「・当一g＜，＜0时，/是正定的。

3.解：,.・宠|=〃］向+，〃2］（攵£2）+生产3(2.5分)

k

cr(^2)=ka.1+々22(^2)+%253(2o5分)

。J)=阳今+%&(%4)+⑵5分）

K

'«11、

I

在基下的矩阵为B。22(2.5分)

K

a

<3\攵“327

四.1。证：任意〃维向量空间V,VV的基华,。2,,则三唯一"creUV）

使4,%…%)=3%…%).(3分)

即=i=1,2,…,〃

。（如）=^i2ai2

b（a„,）=4,,a加

；.b在基%，弓2,…,鬼，下的矩阵为3（6分）

A与8相似（1分）

2.证：0.5匕是直和•••匕0工匕={可（3分）

?=1评

♦.“n£v,vKnZ%.•.匕「€"={0}（2分）

片1评j=l

<=令a[+…+%+ax=0•••%=_（%+—+%）

；.&€匕点匕（3分）

7=1

cts=0,同理砥_|=3=%=%=0

；.£匕是直和。（2分）

/=1

3.证：设4是A的任一特征值

,使Aa=/l。

/.A%=A（4。）=CL

A2=A,/.A2a=Aa

—X）a=0•「awOA2—A=0

X=1或几=0

・・・A实对称矩阵

p