线性代数试题及答案

线性代数期末试卷共53页第2页PAGE2012-2线性代数46学时期末试卷(A)考试方式：闭卷考试时间：一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设为矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是的（A）．()列向量组线性无关，（）列向量组线性相关，（）行向量组线性无关，（）行向量组线性相关．2．向量线性无关，而线性相关，则（C）。()必可由线性表出，（）必不可由线性表出，（）必可由线性表出，（）必不可由线性表出.3.二次型，当满足（C）时，是正定二次型．()；（）；（）；（）．4．初等矩阵（A）；()都可以经过初等变换化为单位矩阵；（）所对应的行列式的值都等于1；（）相乘仍为初等矩阵；（）相加仍为初等矩阵5．已知线性无关，则（C）A.必线性无关；B.若为奇数，则必有线性相关；C.若为偶数，则必有线性相关；D.以上都不对。二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型秩为2，则7．设矩阵，则8．设是阶方阵，是的伴随矩阵，已知，则的特征值为。9．行列式=__________;10.设A是4×3矩阵，，若，则=_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式的值。12．设矩阵，矩阵满足，求。13．求线性方程组的通解。14．已知，求出它的秩及其一个最大无关组。15.设为三阶矩阵，有三个不同特征值依次是属于特征值的特征向量，令,若，求的特征值并计算行列式.四、解答题（10分）16.已知，求五、证明题（每小题5分，共10分）17.设是非齐次线性方程组的一个特解，为对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：向量组线性无关。18.已知与都是 阶正定矩阵，判定是否为正定矩阵，说明理由.2011-2012-2线性代数期末试卷(B)一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设为正交矩阵，且，则().A.;B.;C.;D.2.若都是阶方阵，且,，则必有().A.或；B.；C.；D.或.3.是非齐次线性方程组有无穷多解的().A.充分条件;B.必要条件;C.既非充分条件又非必要条件;D.不能确定.4．是阶可逆矩阵，则与必有相同特征值的矩阵是().A.;B.;C.;D..5.设向量组线性无关,线性相关,则以下命题中，不一定成立的是().A.不能被线性表示；B.不能被线性表示；C.能被线性表示；D.线性相关.二、填空题（每小题3分，共15分）6．行列式=__________;7．设,，则AB=______;8．设是阶方阵的伴随矩阵，行列式，则=_____________；9．设A是4×3矩阵，，若，则=_____________；10．设方阵 相似于对角矩阵,则__三、计算题（每小题10分，共50分）11.求行列式的值。12．已知为阶正交矩阵，且。（1）求行列式的值；（2）求行列式的值。13.设非齐次线性方程组,问为何值时,系数矩阵的秩为2？并求此时方程组的通解．14．已知，其中，求矩阵。15.设矩阵，的秩为3，求。四、解答题（10分）16.设实对称矩阵，求正交矩阵，使为对角矩阵，并写出对角阵五、证明题（每小题5分，共10分）17.设为的非零解，为的解，证明与线性无关。18.已知与都是 阶正定矩阵，判定是否为正定矩阵，说明理由.2010-2011-2线性代数期末试卷(本科A)考试方式：闭卷统考考试时间：2011.5.28 一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设为阶矩阵，下列运算正确的是（）。A.B.C.D.若可逆，，则；2．下列不是向量组线性无关的必要条件的是（）。A．都不是零向量;B.中至少有一个向量可由其余向量线性表示;C.中任意两个向量都不成比例;D.中任一部分组线性无关;3.设为矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是的（）。A．列向量组线性无关；B.列向量组线性相关；C.行向量组线性无关；D.行向量组线性相关；4．如果（），则矩阵A与矩阵B相似。A.；B.；C.与有相同的特征多项式；D.阶矩阵与有相同的特征值且个特征值各不相同；5．二次型，当满足（）时，是正定二次型。A.；B.；C.；D.。二、填空题（每小题3分，共15分）6．设，则＝；7．设为行列式中元素的代数余子式，则；8．=；9．已知向量组线性无关，则向量组的秩为；10.设为阶方阵，，且，则的一个特征值；三、计算题（每小题10分，共50分）11．设，求。12．设三阶方阵，满足方程，试求矩阵以及行列式，其中。13．已知，且满足，其中为单位矩阵，求矩阵。14．取何值时，线性方程组无解，有唯一解或有无穷多解？当有无穷多解时，求通解。15.设，求该向量组的秩和一个极大无关组。四、解答题（10分）16．已知三阶方阵的特征值1，2，3对应的特征向量分别为，，。其中：，，，。（1）将向量用，，线性表示；（2）求，为自然数。证明题（每小题5分，共10分）17．设是阶方阵，且，；证明：有非零解。18．已知向量组(I)的秩为3，向量组(II)的秩为3，向量组(III)的秩为4，证明向量组的秩为4。2010-2011-1线性代数期末试卷(本科A)考试方式：闭卷统考考试时间：2010.12.19一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．满足下列条件的行列式不一定为零的是（）。(A）行列式的某行（列）可以写成两项和的形式;（B）行列式中有两行（列）元素完全相同;（C）行列式中有两行（列）元素成比例;（D）行列式中等于零的个数大于个.2．下列矩阵中（）不满足。(A）;（B）;（C）;（D）.3.设为同阶可逆方阵,则()。(A)；(B)存在可逆矩阵；(C)存在可逆矩阵；(D)存在可逆矩阵.4．向量组QUOTE线性无关的充分必要条件是（）（A）QUOTE均不为零向量；（B）QUOTE中有一部分向量组线性无关；（C）QUOTE中任意两个向量的分量不对应成比例；（D）QUOTE中任意一个向量都不能由其余QUOTE个向量线性表示。5．零为方阵A的特征值是A不可逆的（）。（A）充分条件；（B）充要条件;（C）必要条件;（D）无关条件;二、填空题（每小题3分，共15分）6．设，则=；7．已知设则；8．设是三阶方阵，且，则；9．已知向量组则该向量组的秩为;10.已知，，且于相似，则。三、计算题（每小题10分，共50分）12．已知3阶非零矩阵的每一列都是方程组的解.①求的值；②证明.13．设3阶矩阵满足等式,其中求矩阵。14．求向量组的秩及最大无关组。15.设1.求二次型所对应的矩阵；2.求的特征值和对应的特征向量。四、解答题（10分）16．，试讨论为何值时（1）不能用线性表示；（2）可由唯一地表示，并求出表示式；（3）可由表示，但表示式不唯一，并求出表示式。五、证明题（每小题5分，共10分）17．设QUOTE是一组维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一QUOTE维向量都可由它们线性表示。18．设为对称矩阵，为反对称矩阵，且可交换，可逆，证明：是正交矩阵。2010-2011-1线性代数期末试卷(本科B)一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．方程的实根为（）.（A）0;（B）1;（C）-1;（D）2.2．设为阶方阵，则下列方阵中为对称矩阵的是（）.(A)；(B)；(C)；(D).3．下列矩阵中,不为初等矩阵的是().(A)；(B)；(C)；(D).4．设为阶方阵，其秩，那么在的个行向量中（）。(A)必有个行向量线性无关；(B)任意个行向量线性无关；(C)任意个行向量都构成极大无关组；(D)任意一个行向量都可由其余的个行向量线性表示.5．设2是可逆矩阵A的一个特征值，则有一个特征值等于（）（A）2；（B）-2;（C）-;（D）.二、填空题（每小题3分，共15分）6．设阶方阵满足,则；7．；8．矩阵不是可逆矩阵，则；9．设QUOTE则；10．已知3阶矩阵A的特征值为1，－1，2，设矩阵，则。三、计算题（每小题10分，共50分）11．计算行列式12．求解非齐次线性方程组13．设且满足,求。14．设向量组线性相关，求常数；并找到一组最大无关组。15.求矩阵的特征值和对应的特征向量。四、解答题（10分）16．设，，是中的向量组，则1.为的一组基；2.用施密特正交化方法把它们化为一组标准正交基。五、证明题（每小题5分，共10分）17．设有矩阵QUOTE，且QUOTE。若QUOTE，试证明QUOTE的列向量组线性无关。18.设是维列向量，且，若，证明：。2009-2010-2线性代数期末试卷(本科A)考试方式：闭卷统考考试时间：2010.6.5单项选择题（每小题3分，共15分）1．下列行列式的值不一定为零的是（）。A．阶行列式中，零的个数多于个；B．行列式中每行元素之和为；C．行列式中两行元素完全相同；D．行列式中两行元素成比例。2．若A是（），则A不一定为方阵。A．初等矩阵；B．对称矩阵；C．可逆矩阵的转置矩阵；D．线性方程组的系数矩阵。3．若A、B均为阶方阵，则有（）。A．；B．；C．；D．。4．下列条件不是向量组线性无关的必要条件的是（）。A．都不是零向量；B．中任意两个都不成比例；C．中至少有一个向量可由其它向量线性表示；D．中任一部分线性无关。5．下列条件中不是阶方阵A可逆的充要条件的是（）。A．；B．；C．A是正定矩阵；D．A等价于阶单位矩阵。二、填空题（每小题3分，共15分）6．的根的个数为个。7．。8．，当时，矩阵A为正交矩阵。9．设A为5阶方阵，且，则。10．设三阶方阵A的特征值为1、2、2，则。计算题（每小题10分，共50分）11．计算行列式。已知，求、、。13．问各取何值时，线性方程组有唯一解？无解？有无穷多解？有无穷多解时求其通解。14．设向量组，，，的秩为2，求。15.设维向量，，且,,求。四、解答题（10分）16．设3阶对称矩阵A的特征值为6、3、3，与6对应的特征向量为，求矩阵A。五、证明题（每小题5分，共10分）17．设A、B为两个阶方阵，且A的个特征值互异，若A的特征向量恒为B的特征向量，证明。18．，，证明B可逆，并求。2009-2010-2线性代数期末试卷(本科B) 一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设A、B为同阶方阵，则（）成立。A．；B．；C．；D．。2．设A为非奇导矩阵，则（）为对称矩阵。A．；B．；C．；D．。3．若矩阵A、B、C满足，则（）。A．；B．；C．；D．。4．有向量组,,（）时,是,的线性组合。A．；B．；C．；D．。5．阶方阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有个（）。A．互不相同的特征值；B．互不相同的特征向量；C．线性无关的特征向量；D．两两正交的特征向量。二、填空题（每小题3分，共15分）6．。7．。8．设,,,则线性组合。9．设，且，则=。10．设，，则。三、计算题（每小题10分，共50分）11．计算行列式。12．已知，其中，，求。13．求解齐次线性方程组。14．设,,，，问是否线性相关，为什么？15.设，且有，求。四、解答题（10分）16．求一个正交变换，使二次型化为标准型。五、证明题（每小题5分，共10分）17．对任意阶方阵A，证明：为对称矩阵，为反对称矩阵，且A可以表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和。18.A是阶正交矩阵，，求证-1是A的一个特征值。2005年（春）线性代数考试试题2005.5填空（每小题4分，共20分）若行列式则设的伴随矩阵为，则设向量组的秩为2，则设三维向量空间的一组基底为，则向量在此基下的坐标是。方阵的非零特征值是。单项选择题（每小题4分，共20分）设是6阶行列式的一项，则（）（A），取正号（B），取负号（C），取负号（D），取正号2．元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，则它有非零解的充要条件是（）。（A）（B）（C）（D）3．设向量组线性无关，则向量组（）线性无关。（A）；（B）；（C）；（D）4．设矩阵，则的特征值为：（）（A）（B）（C）（D）5．二次型当满足（）时时正定二次型。（A）（B）（C），（D）三、计算题（第1小题8分，后面每小题10分，共48分）设排列的逆序数为，试求排列的逆序数。计算阶行列式。设矩阵,求.已知，求（为正整数）设有线性方程组，问当取何值时，此方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？并在有无穷多解时求其通解。四、证明题（每小题6分，共12分）设向量组线性无关，且，证明：向量组也线性无关。设，证明

武汉科技大学2011-2012-2线性代数期末试卷(本科A)解答与参考评分标准一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.A;2.C;3.C;4.A;5.C二、填空题（每小题3分，共15分）6．4;7．;8.5;9.0;10.2三、计算题（每小题10分，共50分）11.解：5分8分10分12．解：…………3分………………5分所以……………8分所以…………10分13.解：对其增广矩阵作初等变换可得：……………..5分…………….7分取为自由向量，原方程组可化为：………………9分所以方程组的通解为：其中为任意常数。…….10分14．解：由于……….6分因此该向量组的秩为2，它的一个最大无关组的个数为2。……..8分由于线性无关，所以是它的一个最大无关组。……………10分15..解：3分6分，，及A的特征值为0，1，-18分的特征值为-3，-1，-510分16.解（二重）3当时，，解得的特征向量为……5分当时，，解得的特征向量为…6分令，则有………8分所以…………10分17.证明：由题意可得在等式的两边同时乘以矩阵可得，由此得，所以=0，…3分因此上式可以写成，由于为对应的齐次线性方程组的一个基础解系，所以线性无关，所以……………4分所以向量组线性无关。…………5分18.证明：所以对称2分3分因为正定，所以也正定，也必正定即是正定矩阵5分2011-2012-2线性代数期末试卷参考答案(B)一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.B;2.D;3.B;4.C;5.B二、填空题（每小题3分，共15分）6．0;7．；8．；9．2；10．5.三、计算题（每小题10分，共50分）11.解：5分8分10分12．解：(1)4分5分（2）8分10分13.解：4分要使得系数矩阵的秩为2，必须有6分此时方程有无穷多解8分10分14．解：1分4分8分所以10分15.解：3分8分10分四、解答题（10分）16.解：（二重）4分当时，解得正交化得6分当时，解得正交化得8分令10分五、证明题（每小题5分，共10分）17.证明：2分4分线性无关5分18.证明：所以对称2分3分因为正定，所以也正定，也必正定即是正定矩阵5分武汉科技大学2010-2011-2线性代数期末试卷(本科A)解答与参考评分标准一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设为阶矩阵，下列运算正确的是（D）。A.B.C.D.若可逆，，则；2．下列不是向量组线性无关的必要条件的是（B）。A．都不是零向量;B.中至少有一个向量可由其余向量线性表示;C.中任意两个向量都不成比例;D.中任一部分组线性无关;3.设为矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是的（A）。A．列向量组线性无关；B.列向量组线性相关；C.行向量组线性无关；D.行向量组线性相关；4．如果（D），则矩阵A与矩阵B相似。A.；B.；C.与有相同的特征多项式；D.阶矩阵与有相同的特征值且个特征值各不相同；5．二次型，当满足（C）时，是正定二次型．A.；B.；C.；D.。二、填空题（每小题3分，共15分）6．设，则＝；7．设为行列式中元素的代数余子式，则-1；8．=；9．已知向量组线性无关，则向量组的秩为2；10.设为阶方阵，，且，则的一个特征值-3；三、计算题（每小题10分，共50分）11．设，求。解：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分12．设三阶方阵，满足方程，试求矩阵以及行列式，其中。解：由，得，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分由于，，，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分，．．．．8分所以。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分13．已知，且满足，其中为单位矩阵，求矩阵。解：因为，所以可逆，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分由，得，故，即，．．．．4分不难求出,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分因此。．．．．．．．．．．．．．．．10分14．取何值时，线性方程组无解，有唯一解或有无穷多解？当有无穷多解时，求通解。解：由于方程个数等于未知量的个数，其系数行列式；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分1.当时，有，，原方程组无解；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分2.当时，有，所以原方程的通解为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分3.当时，方程组有唯一解。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分15.设，求该向量组的秩和一个极大无关组。解：．6分所以向量组的秩为2，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分因为任意两个向量均不成比例，所以任意两个向量都是该向量组的一个极大无关组。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分四、解答题（10分）得分16．已知三阶方阵的特征值1，2，3对应的特征向量分别为，，。其中：，，，。（1）将向量用，，线性表示；（2）求，为自然数。解：（1）把用线性表示，即求解方程故。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）．．．．．．．．．．10分五、证明题（每小题5分，共10分）17．设是阶方阵，且，；证明：有非零解。证明：，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分所以有非零解。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分18．已知向量组(I)的秩为3，向量组(II)的秩为3，向量组(III)的秩为4，证明向量组的秩为4。证明：向量组的秩为3，向量组的秩为3，所以为向量组的一个极大无关组，因此可唯一的由线性表示；．．．．2分假设向量组的秩不为4，又因为向量组的秩为3，所以向量组的秩为3，因此也可唯一的由线性表示；．．．4分因此可唯一的由线性表示，而向量组的秩为4，即线性无关，因此不能由线性表示，矛盾，因此向量组的秩为4。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分武汉科技大学2010-2011-1线性代数期末试卷(本科A)解答与参考评分标准一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．满足下列条件的行列式不一定为零的是（A）。(A）行列式的某行（列）可以写成两项和的形式;（B）行列式中有两行（列）元素完全相同;（C）行列式中有两行（列）元素成比例;（D）行列式中等于零的个数大于个.2．下列矩阵中（C）不满足。(A）;（B）;（C）;（D）.3.设为同阶可逆方阵,则(D)。(A)；(B)存在可逆矩阵；(C)存在可逆矩阵；(D)存在可逆矩阵.4．向量组QUOTE线性无关的充分必要条件是（D）（A）QUOTE均不为零向量；（B）QUOTE中有一部分向量组线性无关；（C）QUOTE中任意两个向量的分量不对应成比例；（D）QUOTE中任意一个向量都不能由其余QUOTE个向量线性表示。5．零为方阵A的特征值是A不可逆的（B）。（A）充分条件；（B）充要条件;（C）必要条件;（D）无关条件.二、填空题（每小题3分，共15分）6．设，则=0。7．已知设则；8．设是三阶方阵，且，则27；9．已知向量组则该向量组的秩为2;10.已知，，且于相似，则6。三、计算题（每小题10分，共50分）11．解：5分8分10分12．已知3阶非零矩阵的每一列都是方程组的解.①求的值；②证明.解：①因为非零矩阵的每一列都是齐次方程组的解，所以齐次线性方程组有非零解，即5分②由题意可得，8分因为，所以，即不可逆，所以10分注：第二问也可以用反证法，方法对即可。13．设3阶矩阵满足等式,其中求矩阵。解：3分8分所以。10分14．求向量组的秩及最大无关组。解：，6分所以，任意两个不成比例的向量组均是的一个极大无关组。10分15.设1.求二次型所对应的矩阵；2.求的特征值和对应的特征向量。解：1.二次型所对应的矩阵，3分2．（二重）6分当时，，所以为对应的特征向量。8分当时，，所以为对应的特征向量。10分四、解答题（10分）16．，试讨论为何值时（1）不能用线性表示；（2）可由唯一地表示，并求出表示式；（3）可由表示，但表示式不惟一，并求出表示式.解：问题转化为方程组求解问题增广矩阵5分（1）时,(若则,若则)方程组无解，即不能用线性表示6分（2）时，，方程组有唯一解，即可由唯一地表示，求表示式：8分（3）时，，可由表示，但表示式不惟一，求表示式：，10分五、证明题（每小题5分，共10分）17．设QUOTE是一组维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一QUOTE维向量都可由它们线性表示。证明：充分性：是一组维向量，任一维向量都可由它们线性表示。因此有可由线性表示，因此有线性无关。3分必要性：线性无关，因此有线性相关，即有惟一解，所以向量可由向量组线性表示，由的任意性可得任一QUOTE维向量都可由线性表示。5分18．设为对称矩阵，为反对称矩阵，且可交换，可逆，证明：是正交矩阵。证明：为对称矩阵，为反对称矩阵，可交换，2分4分所以是正交矩阵。5分武汉科技大学2010-2011-1线性代数期末试卷(本科B)解答与参考评分标准一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．方程的实根为（C）.（A）0;（B）1;（C）-1;（D）2.2．设为阶方阵，则下列方阵中为对称矩阵的是（B）.(A)；(B)；(C)；(D).3．下列矩阵中,不为初等矩阵的是(C).(A)；(B)；(C)；(D).4．设为阶方阵，其秩，那么在的个行向量中（A）。(A)必有个行向量线性无关；(B)任意个行向量线性无关；(C)任意个行向量都构成极大无关组；(D)任意一个行向量都可由其余的个行向量线性表示.5．设2是可逆矩阵A的一个特征值，则有一个特征值等于（D）（A）2；（B）-2;（C）-;（D）.二、填空题（每小题3分，共15分）6．设阶方阵满足,则；7．；8．矩阵不是可逆矩阵，则1/2；9．设QUOTE则；10．已知3阶矩阵A的特征值为1，－1，2，设矩阵，则-288。三、计算题（每小题10分，共50分）11．计算行列式解：6分10分12．求解非齐次线性方程组解：增广矩阵8分所以方程组的解为10分13．设且满足,求。解：5分=10分14．设向量组线性相关，求常数；并找到一组最大无关组。解：，由于线性相关，所以6分所以的极大无关组为或或。10分15.求矩阵的特征值和对应的特征向量。解：（二重）5分当时，，所以为对应的特征向量。7分当时，，所以为对应的特征向量。10分四、解答题（10分）16．设，，是中的向量组，则1.为的一组基；2.用施密特正交化方法把它们化为一组标准正交基。解：1.易验证线性无关，所以是中的一组基；3分2．现对施行施密特标准正交化.令，，，8分所以标准正交基为10分五、证明题（每小题5分，共10分）17．设有矩阵QUOTE，且QUOTE。若QUOTE，试证明QUOTE的列向量组线性无关。证明：，2分，4分QUOTE的列向量组线性无关。5分18.设是维列向量，且，若，证明：。证明：，2分由于，所以，有非零解，4分所以5分武汉科技大学2009-2010-2线性代数期末试卷(本科A)解答与参考评分标准一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．下列行列式的值不一定为零的是（B）。A．阶行列式中，零的个数多于个；B．行列式中每行元素之和为；C．行列式中两行元素完全相同；D．行列式中两行元素成比例。2．若A是（D），则A不一定为方阵。A．初等矩阵；B．对称矩阵；C．可逆矩阵的转置矩阵；D．线性方程组的系数矩阵。3．若A、B均为阶方阵，则有（D）。A．；B．；C．；D．。4．下列条件不是向量组线性无关的必要条件的是（C）。A．都不是零向量；B．中任意两个都不成比例；C．中至少有一个向量可由其它向量线性表示；D．中任一部分线性无关。5．下列条件中不是阶方阵A可逆的充要条件的是（C）。A．；B．；C．A是正定矩阵；D．A等价于阶单位矩阵。二、填空题（每小题3分，共15分）6．的根的个数为2个。7．8．，当时，矩阵A为正交矩阵。9．设A为5阶方阵，且，则0。10．设三阶方阵A的特征值为1、2、2，则3。三、计算题（每小题10分，共50分）11．计算行列式。解：原式=5分。10分12．已知，求、、。解：，A可逆，2分，6分。10分13．问各取何值时，线性方程组有唯一解？无解？有无穷多解？有无穷多解时求其通解。解：，4分①当时，方程组有唯一解，6分②当，时，方程组无解，8分③当，时，方程组有无穷多解，此时。10分14．设向量组，，，的秩为2，求。解：6分，。10分15．设维向量,，且,,求。解：，5分由于，而的秩为1，因此有（舍去）10分四、解答题（10分）16．设3阶对称矩阵A的特征值为6、3、3，与6对应的特征向量为，求A。解：因为对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，因此与3对应的特征向量满足,。因此为的解向量。取令，5分则有，。10分五、证明题（每小题5分，共10分）17．设A、B为两个阶方阵，且A的个特征值互异，若A的特征向量恒为B的特征向量，证明。证明：设为A的特征向量，则必可逆。设为A对应的特征值，为B对应的特征值，则有，。2分。5分18．，，证明B可逆，并求。证明：可逆，2分，3分，4分B可逆，且5分武汉科技大学2009-2010-2线性代数期末试卷(本科B)解答与参考评分标准一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设A、B为同阶方阵，则（C）成立。A．；B．；C．；D．。2．设A为非奇导矩阵，则（D）为对称矩阵。A．；B．；C．；D．。3．若矩阵A、B、C满足，则（C）。A．；B．；C．；D．。4．有向量组,,（B）时,是,的线性组合。A．；B．；C．；D．。5．阶方阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有个（C）。A．互不相同的特征值；B．互不相同的特征向量；C．线性无关的特征向量；D．两两正交的特征向量。二、填空题（每小题3分，共15分）6．0。7．8．设,,,则线性组合9．设，且，则=0。10．设，，则0。三、计算题（每小题10分，共50分）11．计算行列式。解：原式=。