高等数学考研真题含答案

经典word整理文档，仅参考，双击此处可删除页眉页脚。本资料属于网络整理，如有侵权，请联系删除，谢谢！(nx10.设f(x)lim,则f(x)的间断点为x_________.考研真题一04数二考研题[]1nx2n2e1esinx11.0,()()1arcsincoskx与xxxx是等价无当x时x1/x21.求lim.00数一考研题x4/xx0穷小,则k________.05数二考研题x2.设函数f(x)在(,)内连续,且limf(x)0,则常数112.设函数f(x),则().aebxx05数二考研题xe11ab满足().x00数二考研题(A)x0,x1都是f(x)的第一类间断点;(B)x0,x1都是f(x)的第二类间断点;a0,b0;(B)a0,b0;(C)a0,b0;(D)a0,b0.1,x1,3.设f(x)则f{f[f(x)]}等于().(C)x0是f(x)的第一类间断点,x1是f(x)的第二类间断点;(D)x0是f(x)的第二类间断点,x1是f(x)的第一类间断点.0,x1,01数二考研题110,1,11xxxx(A)0;(B)1;(C);(D).xln(1x)0,13.lim.06数一、二考研题07数一、二考研题1cosxx03x1xx2x24.lim__________.14.当0时,与等价的无穷小量是().101数二考研题xxx1x5.设当x0时,(1cosx)ln(1x)是比xsinx高阶的无穷小,而(A)1e;(B)ln;2nx1xxsinx是比(e1)x高阶的无穷小则正整数等于,nn01数二考研题(C)1x1;(D)1.x1;(2;(C)3;(D)4.()tanxe1/xe15.16.f(x)[,](上的第一类间断点是x).函数在1etanx()xe1/e,x0x07数二考研题x2arcsin2(D).26.设函数f(x),在x0处连续,则a().(A)0;(B)1;(,)(C);,002数二考研题ae2xx设函数fx在(),{},内单调有界x为数列下列命题正确的n7.设0x3,xx(3x)(n1,2,),证明数列{x的极限存是().08数一、二考研题1n1nnn{x},收敛则{f(x)}收敛;收敛;收敛;收敛.(A)若(B)若(C)若(D)若在,并求此极限.nn02数二考研题{x},单调则{f(x)}148.ax0,(12)1与xx是等价无穷小则asin,_____.nn若x时{f(x)},收敛则{x}nn03数二考研题{f(x)},单调则{x}9.设{a},{b},{c}均为非负数列,且lima0,limb1,limc,nnnnnnnnnnnlnx17.f(x)sinx,f(x)(有).设函数则则必有().08数二考研题103数一考研题x(A)ab对任意n成立;(B)bc对任意n成立;(A)一个可去间断点,一个跳跃间断点;(B)一个可去间断点,一个无穷间断点;nnnn(C)极限limac不存在;(D)极限limbc不存在.nnnnnn....12(C)两个跳跃间断点;考研真题二(D)两个无穷跳跃间断点.1.填空设函数yy(x)由方程2xy所确定,则dyxy().18.当x0时,f(x)xsinax与g(x)xln(1bx)为等价无穷小,2x0则().00数二考研题09数一、二考研题2.求f(x)xln(1x)在x0处的n阶导数f(0)(n3).1(A)ab;61(B)ab;62(n)00数二考研题3.已知f(x)是周期为5的连续函数,它在x0的某个邻域内满足关系式(),1(C)a1,b;61(D)a1,b.f(1sinx)3f(1sinx)8x其中,()是当0时比高阶的无穷小,且()在1处可导,求曲线xxxfxxx6xx319.函数f(x)的可去间断点的个数,则().sinx(B)2;09数二考研题yf(x)在点(6,f(6))处的切线方程.4.填空设函数yf(x)由方程eyf(x)在点(0,处的法线方程为((A)1;(C)3;(D)无穷多个.00数二考研题cos(xy)e1所确定,则曲线2xy).01数二考研题5.设f(0)0,则f(x)在点x0可导的充要条件为:01数一考研题1h211(A)limf(1cosh)存在;f(hsinh)存在;(B)limf(1e)存在;hhh0h01(C)lim(D)lim[f(2h)f(h)]存在.h2hh0h06.填空设函数yy(x)由方程e6xyx10所确定,则y(0)y2().02数一考研题7.设函数f(u)可导,yf(x)当自变量x在x1处取得增量x2,相应的函数增量y的线性主部为0.1,则f().02数二考研题(A)1;(B)0.1;(C)1;(D)0.5.68.已知曲线的极坐标方程是r1cos,求该曲线上对应于处的切线与法线的直角坐标方程.02数二考研题9.设函数yf(x)由方程xy2lnxy所确定,则曲线yf(x)在点4处的切线方程是______________.03数二考研题10.曲线ylnx与直线xy1垂直的切线方程为________.04数一考研题11.设函数f(x)在(,)上有定义,在区间[0,2]上,f(x)x(x4),2若对任意的x都满足f(x)kf(x2),其中k为常数.04数二考研题(1)写出f(x)在[2,0)上的表达式;....34(2)问k为何值时,f(x)在x0处可导.dzdxd2zdx2yxey11所确定.设zf(lnysinx),求,.07数二考研题08数一考研题x0x012.设函数f(x)limn|x|,则f(x)在(,)内().3n21.f(x)xln(2t)dt,f(x)().(D)3.n05数一、二考研题设函数则的零点个数(A)处处可导;(B)恰有一个不可导点;0(A)0;(B)1;(C)2;(C)恰有两个不可导点;(D)至少有三个不可导点.22.曲线sin(xy)ln(yx)x在点(0,处的切线方程为_________.13.设ysinx),则dy|__________.x05数二考研题x08数一、二考研题t2t23.微分方程yxe)d(xxy的通解是_________.d0x22x08数二考研题14.设函数yy(x)由参数方程确定,则曲线yy(x)在yt)24.设f(x)x2(xx2),求f(x)的零点个数().08数二考研题x3处的法线与x轴交点的横坐标是().(A)0;(B)1;(C)2;(D)3.05数二考研题25.设yy(x)是方程xyex1确定的隐函数,则11y(A)ln23;(B)ln23;(C)8ln23;(D)8ln23.88d2y________.15.设函数yy(x)由方程y1xe确定,则dx209数二考研题yx006数二考研题dydx.x016.设函数g(x)可微,h(x)e1g(x),h(1)1,g(1)2,则g(1)等于().06数二考研题(A)ln31;(B)ln31;(C)ln21;(D)ln21.17.f(x)在0,().x07数一、二考研题()fx若,则f(0)0;xx0f(x)f()x若,则f(0)0;xx0f(x)若,则f(0);xx0f(x)f(x)若,则(0).fxx0ttx2418.________.t1sinty07数二考研题119.,则(n)(0)____________.yy07数二考研题2x3(),且f(0)1,()fuyyx....56(B)当limf(x)存在时,必有limf(x)0;考研真题三xx(C)当limf(x)0时,必有limf(x)0;arctanxxln(12x3)1.填空lim.x0x000数二考研题00数二考研题(D)10.limf(x),limf(x)0.存在时必有x0当x0x02.填空曲线y(2x1)e1/x的斜渐近线方程为.设函数f(x)在x的某个邻域内具有一阶连续导数且f(0)0,03.设f(x),g(x)是恒大于零的可导函数,且()()()()0,fxgxfxgxf(0)0,若af(h)bf(2h)f(0)在h0时是比h高阶的无穷小,试确定则当axb时有().00数二考研题a,b的值.02数一考研题(A)f(x)g(b)f(b)g(x);(B)f(x)g(a)f(a)g(x);(D)f(x)g(x)f(a)g(a).2ablnblnaba111.设0ab,证明不等式.02数二考研题(C)f(x)g(x)f(b)gb);a22ab12.设函数f(x)在x0的某邻域内具有二阶连续导数,且f(0)0,4.求f(x)xx)在x0处的n阶导数f(n)(0)(n3).200数二考研题01数二考研题f(0)0,f(0)0.证明存在唯一的一组实数,,,0使得当h时,5.曲线y(x1)(x3)的拐点个数为().(D)22123()(2)(3)(0)fhfhfhf(A)0;(B)1;(C)2;123是比高阶的无穷小.h26.已知函数f(x)在区间(1,1)内有二阶导数,f(x)严格单调减02数二考研题13.设函数f(x)在(,)内连续,其导数的图形如图所示,则f(x)有(y少,且f(1)f(1)1,则01数二考研题)(A)在(1,1)和(1,1)内均有f(x)x;(B)在(1,1)和(1,1)内均有f(x)x;(A)一个极小值点和两个极大值点;(B)两个极小值点和一个极大值点;(C)两个极小值点和两个极大值点;(D)三个极小值点和一个极大值点.1Ox03数一考研题(C)在(1,1)内,f(x)x,在(1,1)内,f(x)x;(D)在(1,1)内,f(x)x,在(1,1)内,f(x)x.7.设yf(x)在(1,1)内具二阶连续导数且f(x)0,试证:01数一考研题14.(cos)2______.ln(1x)x(1)对(1,1)内的任一x0,存在唯一的(x)(0,1),使03数一考研题03数二考研题x0f(x)f(0)xf(x)x]成立(2)lim(x)1/2.;15.4lnxk与y4lnx4x的交点个数.讨论曲线y16.()[,],(,),且fxababx0()sinttsinxxf(2xa)存在,f'(x)0.lim8.求极限limsinsin,记此极限为f(x),求该函数的间断点并指xa03数二考研题xxatx(1)在(a,b)内f(x)0;出其类型.01数二考研题02数一考研题2b2a2(2)在(a,b),使;9.设函数yf(x)在(0,)内具界且可导,则(A)当limf(x)0时,必有limf(x)0;f)bfx()a(3)在(a,b)(2)中使xx....78226.(1)设数列{x}满足0,xnsin(2,)xxb()af'()(2)ba2fxdx.n1n1na证明limx存在并求极限;,n117.设函数f(x)连续,且f(0)0,则存在0,使得((A)f(x)在(0,)内单调增加;(B)f(x)在(,0)内单调减少;(C)对任意的x(0,)有f(x)f(0);(D)对任意的x(,0)有f(x)f(0).4).04数一、二考研题1x(2)计算lim.n1xn206数一、二考研题06数一、二考研题xnnx4sinx27.曲线y的水平渐近线方程为.52cosxx28.证明:当0ab时,18.设eabe,证明lnblna(ba).sin2cossin2cos.bbbBaaaa2206二考研题204数一、二考研题e21x29.曲线yln(1e)渐近线的条数为().t3t1x3x07数一、二考研题19.设函数y(x)由参数方程凸的x取值范围为_________.确定,则曲线yy(x)向上t3t1y2(A);0(B);1(C)2;(D)3.30.设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(,)内具有二阶导数且存在ab04数二考研题04数二考研题20.设f(x)|x(1x)|,则().(a)g(a),fb)gb),证明:存在(a,b),使得f)g相等的最大值f(A)x0是f(x)的极值点,但(0,0)不是曲线yf(x)的拐点;(B)x0不是f(x)的极值点,但(0,0)是曲线yf(x)的拐点;(C)x0是f(x)的极值点,且(0,0)是曲线yf(x)的拐点;(D)x0不是f(x)的极值点,(0,0)也不是曲线yf(x)的拐点.)]07数一、二考研题arctanxsinx31.lim.07二考研题xx03[sinxsin(sinx)]sinx32.求极限lim.08数一、二考研题x04x1cos(xf(x))12cosxx33.设f(x)连续,lim1,则f(0)_________.21.lim1.求极限04数二考研题fxe()08数二考研题x330x2x0xx2222.曲线y的斜渐近线方程为_________.34.求函数f(x)(x5)x3的拐点__________.05数一考研题08数二考研题2x135.(1)证明拉格朗日中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)可(,)23.已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)0,f(1)导,则存在ab使得证明:(1)存在(0,)1;使得f05数一、二考研题()())().fbfa(2)证明:若函数f(x)在x0处连续,在(0,)0)内可导,且lim()A,fba(2)存在两个不同的点,(0,使得f)f()x)3/2fx24.曲线y的斜渐近线方程为__________.05数二考研题x0x(0)存在,且(0)A.f则f09数一、二考研题25.yf(x)具有二阶导数且f(x)0,f(x)0,x为自变量x在x,设函数01tdeuux处的增量,y与dy分别为f(x)在点处对应的增量与微分若,x(2则x36.曲线,在(0,0)处的切线方程为________.00(A)0xy;(C)d0;(B)0yy;(D)d0.ln(2)yt2t209数二考研题函数yx在区间(0,1]上的最小值为________.yyyy37.2x06数一考研题09数二考研题....91038.若f(x)不变号,且曲线yf(x)在点(1,1)上的曲率圆为2,则在区间(1,2)内().(A)有极值点无零点;(C)有极值点,有零点;考研真题四09数二考研题,(B),;无极值点有零点1.计算不定积分:xedx.3x94数二考研题94数一考研题(D)无极值点,无零点.dx(1cos)[ln(1tan)]xxx2.计算不定积分:.39.求极限lim.09数二考研题sin22sinsinxxx4x0x23.设f(x1)ln,且f[(x)]lnx,求(x)dx.2x2295数二考研题96数二考研题arctanx4.计算不定积分:5.计算不定积分:6.计算不定积分:dx.x2(1x2)1dx.1sinxdx96数二考研题97数二考研题.x(4x)lnsinxdx.7.计算不定积分:8.计算不定积分:sinx98数二考研题2x5dx.x26x13x)99数二考研题00数二考研题01数一考研题9.设f(lnx),计算f(x)dx.xarctanex10.求不定积分:dx.e2xdx(2xx111.求.01数二考研题2212.一个半球体状的雪堆,其体积融化的速率与半球面面积S成正比,比例常数K0.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状,已知半径为r的雪07堆在开始融化的3小时内融化了其体积的,问雪堆全部融化需要多少小时?801数二考研题13.已知函数f(x)在(0,)内可导,f(x)0,limf(x)1,且满足x1()fxhx1limhex,(x)02数二考研题fh0....1112求f(x).14.计算不定积分考研真题五xearctanxdx.03数二考研题(1x)123/21.2xxdx填空200数一考研题00数二考研题015.已知f(e)xe,且f0,则f(x)________.xx04数一考研题06数二考研题dx2.填空arcsinexex(x7)x216.求dx.23.设函数f(x)在[0,]上连续,且1x17.计算不定积分ln1dx(x0).f(x)dx0,f(x)cosxdx0,x09数二考研题00试证在(0,)内至少存在两个不同的点,,使ff()()0.00数一考研题12124.设xOy平面上有正方形D{(x,y)0x1,0y及直线l:xyt(t0).若S(t)表示正方形D位于直线l左下方部分的面积,试求x(t)dt(x0).S00数二考研题0x5.设函数(x)costdt,S00数二考研题0(1)当n为正整数且nx(n1)时,证2nS(x)2(n1);(2)求limS(x)/x.x226.填空(xsinx)cosdx32201数二考研题7.设函数f(x)在[0,)上可导,f(0)0,且其反函数为g(x).若f(x)()dgttx2e.求fx().x01数二考研题01数二考研题08.设f(x)在区间[a,a](a0)上有二阶连续导数,f(0)0,(1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式;a(2)证明在[a,a]上至少存在一点,使af)3f(x)dx.3adx9.填空xln2x02数一考研题e1nnn10.填空lim1cos1cos1cosnnn02数二考研题....1314()()()11.设函数f(x)连续,则下列函数中必为偶函数的是().02数二考研题n18.limln1n12222nn11等于().nn04数二考研题xx(A)(C)f(t)dt;(B)(D)f(t)dt;22222200(A)lnxdx;(B)2lnxdx;(C)2ln(1x)dx;(D)lnx)d.22xx1111t[f(t)f(tdt;t[f(t)f(tdt.00x19.设f(x)|sint|dt,204数二考研题arctanx12.已知两曲线yf(x)与yedt在点(0,0)处的切线相同,xt2()证明f(x)是以为周期的周期函数;()求f(x)的值域.0()2n写出此切线方程,并求极限limnf.02数一考研题ndx20.__________.2x3x2/2,1x004数二考研题xx21x13.已知函数f(x),求函数F(x)f(t)dt1x/(ex1)2,0x1xe121.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,“”表示“M的充分MN的表达式.14.设a必要条件是N”,则必有((A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数;Fx是奇函数).02数二考研题05数一、二考研题32n1xn11xndx,limna().nnn0n(B)()f(x)是偶函数;(A)(1e)3/21;(B)(1e)1;13/2(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数;(D)F(x)是单调函数f(x)是单调函数.(C)(1e)1;(D)(1e)1.13/23/24tanxx22.如图曲线C的方程为yf(x),点,(3,2)是它的一个拐点直线l,x15.设Idx,Idx,则().14tanx03数二考研题1200(0,0)(3,2)处的切线其交点为设函数f(x)(2,4).,与l分别是曲线C在点与2(A)II1;(B)1II;12123具有三阶连续导数,计算积分(xx)fxx()d.205数一、二考研题(C)II(D)1II.02121y12t,x2dyl2l16.设函数yy(x)由参数方程(t所确定,求.2112lnteuudx2x9yduyf(x)103数二考研题C17.把x0时的无穷小量1234xOxx2cosd,tttand,xsindt2tt3txdx000123._________.05数二考研题05数二考研题排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是().(2x)1x02204数一、二考研题(D),,.(A),,;(B),,;(C),,;fx24.设函数()连续,且(0)0,求极限f....1516(xt)f(t)dt031.设函数f(x,y)连续,则二次积分dx1f(x,y)dy等于().2lim.sinx07数二考研题xx0xf(xt)dt(A)1dyf(x,y)dx;yf(x,y)dx;(B)1dyf(x,y)dx;00arcsiny0arcsiny1xsind,0t2txA(C)1dy(D)1dyyf(x,y)dx.25.设函数f(x)x3在x0处连续,则a.02200a,x006数二考研题32.设f(x)是区间0,上的单调、可导函数,且满足xdx426.广义积分.(1x2)206数二考研题0cossintsincostttf(x)x()df1tttd,t27.设f(x)是奇函数,除x0外处处连续,x0是其第一类间断点,则00其中f1是f的反函数,求().fxx()d是().ftt07数二考研题06数二考研题033.函数f(x)连续,(A)连续的奇函数;(B)连续的偶函数;x(1)F(x)f(t)dt,证明F(x)可导,且F(x)f(x);(C)在x0间断的奇函数;(D)在x0间断的偶函数.0(2)设f(x)是周期为2的连续函数,证明t1x2(t0),28.已知曲线的方程为L4tt06数二考研题y22xg(x)2f(t)dtxf(t)dt,00(1)L讨论的凹凸性;也是周期为2的周期函数.34.yf(x)曲线方程为08数一考研题(2)过点(L,(x,y),;并写出切线的方程引的切线求切点00函数y(3)29.L(对应于xx)xA(a,f(a))求此切线与的部分及轴所围成的平面图形的面在区间[0,a]上有连续导数,则定C(0,f(a))0积.积分xfxx表示(a()d).101x2edx____________.DO(A)曲边梯形面积;ABCD07数一考研题x31x(B)(C)(D)ABCD面积;(,0)Ba梯形曲边三角形形ABCD30.如图,yf(x)y题34图ACD面积;[3,2],[2,3]1,[2,0],[0,2]上2.三角形面积.08数二考研题08数二考研题321123xO1x2arcsinx35.求积分dx.01x2设F(x)xf(t)dt,().36.证明07数一、二考研题0(1)积分中值定理:如果函数()在积分区间[a,b]上连续,则在[a,b]fx3454(A)F(3)F(2);(B)F(3)F(2);,使下式成立:至少存在一个点3454(C)F(3)F(2);(D)F(3)F(2).bbaf(x)dxf)()().aba....1718(2)已知(x)有二阶导数,且满足考研真题六3(2)(2)()d,xx1.设曲线yax(a0,x0)与y1x交于点A,过坐标原点O和2223),()0.使得证明至少存在一点点A的直线与曲线yax围成一平面图形问为何值时该图形绕轴旋.,08数二考研题2ax37.设函数yf(x)在区间[3]上的转一周所得的旋转体体积最大最大体积是多少?00数二考研题x图形如右图所示,则函数F(x)f(t)dt为2.设(x)是抛物线yx上任一点M(x,y)(x1)处的曲率半径,()0().21O123ddds09数一、二考研题x32ss(x)是该抛物线上介于点A于M之间的弧长,计算3的ds2(A)(B)y值(在直角坐标系下曲率公式为K).(1y)01数二考研题23/23.填空位于曲线yxe(0x)下方,x轴上方的无界图形的面x21O112233x21O1123x积是().02数二考研题(D)(C)4.某闸门的形状与大小如图所示,其中直线lDC为对称轴,闸门的上部为矩形ABCD,下部由二次抛11物线与线段AB所围成.当水面与闸门的上端相平21O11x21O1123xABl时欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承,38.已知edx1,则k________.受的水压力之比为闸门矩形部分的高h应为5:4,kx09数二考研题09数二考研题多少m米)?139.limesinnxdx________.02数二考研题xn05.设是由抛物线2和直线,2xaxDyx2y1及y0所围成的平面区域;D是由抛物线y2x和22直线y0,xa所围成的平面区域,其中0a2.D2(1)试求D绕x轴旋转而成的旋转体体积V;2Oax11D绕y轴旋转而成的旋转体的体积V;22(2)试问a为何值时VV取得最大值?试求此最大值.02数三考研题126.过坐标原点作曲线ylnx的切线,该切线与曲线ylnx及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A;03数一考研题....1920所围图形的面积为().如果总有()(),求曲线SySxSy(的方程x(2)求D绕xe直线旋转一周所得旋转体的体积V.C3y2127.设曲线的极坐标方程为e(a0),则该曲线上相应于从0变到05数二考研题CCayl32yM(x,y)2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为______.03数二考研题C18.某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层,汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k,k0),汽锤第一次击打将桩打进地下am.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打所作的功之比为常数r(01lx1xOx12.设是位于曲线yxa(a0x)下方、x轴上方的无2aDr2).问03数一考研题界区域.07数二考研题(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?)当区域绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a);D(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深?)当a为何值时,V(a)最小?并求此最小值.(注:m表示长度单位米)()y2x4213.椭球面积s是椭圆1绕x轴旋转而成,圆锥面积s是过点312219.设位于第一象限的曲线yf(x)过点,,其上任一点P(x,y)x2y222(4,0),1相切的直线绕x轴旋转而成.且与椭圆43处的法线与y轴的交点为Q,且线段PQ被x轴平分.(1)求曲线yf(x)的方程.03数二考研题(1)求s及s的方程;12(2)求s与s之间的立体体积.1209数一考研题(2)已知曲线ysinx在[0,]上的弧长为l,试用l表示曲线yf(x)的弧长s.eexx10.曲线y与直线x0,xt(t0)及y0围成一曲边梯2形.该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体,其体积为V(t),侧面积为S(t),在xt处的底面积为F(t).04数二考研题S(t)(1)求的值;V(t)S(t)F(t)(2)计算极限lim.t111.如图,C和分别是ye)和ye的图象,过点(0,1)的Cxx122曲线C是一单调增函数的图象,过上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴C23和y轴的直线l和l.记CC,与l所围图形的面积为S(x);C,C与lxxy12123y....21229.一个半球体状的雪堆,其体积融化的速率与半球面面积S成正比,比考研真题七例常数K0.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状,已知半径为r的01.微分方程xy3y0的通解为__________.00数一考研题37/8,问雪堆全部融化需要多少小雪堆在开始融化的小时内融化了其体积的时2.某湖泊的水量为V,每年排入湖泊内含污染物A的污水量为V/6,流3.199901数二考研题入湖泊内不含的水量为V6流出湖泊的水量为,已知年底湖中AAV1210.微分方程yyy0满足初始条件y1,的特解2y的含量为5m,超过国家规定指标.为了治理污染,从2000年初起,限定排入x0x00是____________..,湖泊中含A污水的浓度不超过mV问至多需要经过多少年湖泊中污染物02数一考研题02数一考研题0A的含量降至m以内?(设湖水中A的浓度是均匀的).11.验证函数000数二考研题3.设函数f(x)满足方程f(x)f(x)x,且f(0)0,则().f(0)是f(x)极大值;(B)f(0)是f(x);x3x6x9x3ny(x)1x()6!9!(3n)!满足微分方程yyye;(C)点(0,f(0))是曲线yf(x)的拐点;x(D)f(0)不是f(x)的极值,点(0,f(0))也不是曲线yf(x)的拐点.x3n(2)利用(1)的结果求幂级数的和函数.(3n)!00数二考研题n04.函数f(x)在[0,)上可导,f(0)1,且满足等式12.设yy(x)是二阶常系数微分方程ypyqye满足初始条3x1x1x()()fxfx()d0,fttln(1x)2件y(0)y(0)0的特解,则当x0,函数的极限().0y(x)求导数f(x);不存在;(B)等于1;(C)等于2;(D)等于3.(2)证明:当x0时,不等式ef(x)1成立.02数二考研题x00数二考研题13.求微分方程xdy(x2y)dx0的一个解yy(x),使得由曲线yy(x)与直线x1,x2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的5.设ye(CsinxCcosx)(C,C为任意常数)为某二阶常系数x1212线性齐次微分方程的通解,则该方程为____________.()01数一考研题1的曲线方程为___.01数二考研题旋转体体积最小.1202数二考研题y6.过点,0且满足关系式yarcsinx1x14.设函数yy(x)在(,)内具有二阶导数,且y'0,xx(y)2是yy(x)的反函数.7.设函数f(x),g(x)满足f(x)g(x),g(x)2e(),且(0)0,fxf[]x03数一考研题(1)试将xx(y)所满足的微分方程()g(x)f(x)g(0)2,求dx.1x(1x)2dd02xx3(ysinx)0dydy8.设L是一条平面曲线,其上任意一点P(x,y)(x0)到坐标原点的2变换为yy(x)所满足的微分方程;距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点(1/2,0).01数二考研题32试求曲线L的方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)0,y'(0)的解.()()(2)求L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围成的图形的面积最小.xyxyxy15.已知y是微分方程y'的解,则的表达式为lnxx....2324().(A)22.cos(0t化简微分方程xyxyy))0,用变量代换xt203数二考研题y2x2y2x2xyxy并求其满足||2的特解.2222yy;(B);(C);(D).05数二考研题x0x0y(1x)23.微分方程y的通解是.16.有一平底容器,其内侧壁是由曲线x(y)(y0)绕y轴旋转而成06数一、二考研题x的旋转曲面(如图),容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求,当以3m/min3fu24.设函数()在(0,)内具有二阶导数,且(y)满足关2zfx2的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以m/min2yzz03数二考研题2x20系式06数一、二考研题2y2的速度均匀扩大(假设注入液体前,容器内无液体).(1)根据t时刻液面的面积,写出t与(y)f(u)(1)验证:f(u)0;()yu之间的关系式;(2)求曲线x(y)的方程.(注:m表示长度单位米,min表示时间单位分).y(2)若f(1)0,f(1)1,求函数f(u)的表达式.25.函数yCeCexe满足一个微分方程是().x2xx06数二考研题2O122x(A)yy2y3xe;(B)yy2y3e;xxdydydx217.欧拉方程x4x2y0(x0)的通解为______.2(C)23xex;yyyex(D)23.yyy04数一考研题dx226.二阶常系数非齐次线性微分方程y4y3y2e218.某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h.经测试,,07数一、二考研题x的通解为y____________.27.求微分方程(2)满足初始条件xy(k6.010机滑行的最长距离是多少?6).问从着陆点算起,飞yy07数二考研题(1)(1)1yy04数一、二考研题的特解.28.微分方程xyy0满足条件y(1)1的解是y_________.(注kg表示千克,km/h表示千米/小时).6519.微分方程(yx)dx2xdy0满足y|的特解为______.08数一考研题3x1yCexC29.在下列微分方程中,以xCcos2sin2(,xCCC为,12312304数二考研题任意常数)为通解的是().(A)yy4y4y0;(C)yy4y4y0;20.微分方程yyx1sinx的特解形式可设为().08数一、二考研题204数二考研题(B)yy4y4y0;(D)yy4y4y0.(A)yaxbxcx(AsinxBcosx);2(B)yx(axbxcAsinxBcosx);230.曲线yf(x)在区间[0,)上具有连续导数的单调增加函数,且(C)yaxbxcAsinx;2(0)1.对于任意的[0,),该曲线与直线0,及0围成一曲边ftxxty(D)yaxbxcAcosx.梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体,其体积为V(t),侧面积为S(t).如果f(x)(t)21S21.微分方程xy2yxlnx满足y的解为_________.二阶可导,且2,求曲线yf(x)的表达式.08数二考研题9V(t)05数一、二考研题....252631.若二阶常系数线性齐次微分方程0考研真题八yayby的通解为yCCx)e,则非齐次方程yaybyx满足条件y(0)2,x1,x122112z11xyy(0)0的解为y___________.32.设非负函数yy(x)(x0)满足微分方程xyy20,1.求与直线y1t,及都平行且过原点的平面09数一考研题2zt87数一考研题方程.当曲线yy(x)过原点时,其与直线x1及y0围成平面区域D的面积为2,求D绕y轴旋转所得旋转体体积.xt2,2.求过点M(1,2,1)且与直线L:y3t4,垂直的平面方程.()09数二考研题221zt90数一考研题33.设yy(x)是区间(,)内过,的光滑曲线,当x0,3.已知两条直线方程1y2z3曲线上任一点处的法线都过原点,当x0时,函数满足yyx0,求xx2y12z,1L:,L:y(x)的表达式.09数二考研题110121求过L且平行于L的平面方程.1291数一考研题95数一考研题4.设(ab)c2,求[(ab)(bc)](ca).3y2z10x5.试确定直线L:与平面:4x2yz20的2xy10z30位置关系.95数一考研题6.设一平面经过原点及点(6,3,2),且与平面4xy2z8垂直,求此平面方程.7.求(1)直线L:96数一考研题x11z11y1在平面:xy2z10上的投影直线L的方程;0(2)直线L绕y轴旋转一周而成的曲面方程.098数一考研题8.点(2,0)到平面3x4y5z0的距离z.06数一考研题09数二考研题9.函数zf(x,y)的全微分为dzdxdy,则点(0,0)().(A)不是f(x,y)的连续点;(C)是f(x,y)的极大值点;(B)不是f(x,y)的极值点;(D)是f(x,y)的极小值点.....2728(1)设M(x,y)D,问h(x,y)00考研真题九()()?g(x,y),g(x,y)的0000xyyx1.设zfxy,g,其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连;(2)现欲利用此小山开展攀登活动,z2续导数,求.00数一考研题xy,,x2y2xyD2.选择设函数f(x,y)在点(0,0)的附近有定义,且f(0,0)3,(0,gxy(1)(,),.f02数一考研题xyzxy2x4yz0____.1,则((A)dz).2201数一考研题03数一考研题3dxdy;(0,0)fxy(,)(0,0)的某个领域内连续,且(B)曲面zf(x,y)在点(0,0,f(0,0))的法向量为{3,1,1};f(x,y)xylimx0y01,zf(x,y)(xy)222(C)曲线(D)曲线在点(0,0,f(0,0))的切向量为0,3};0y则().点(0,0)03数一考研题zf(x,y)在点(0,0,f(0,0))的切向量为{3,0,1}.ff(x,y);y0(B)点(0,0)是f(x,y);(C)点(0,0)是f(x,y);(0,0)f(x,y).3.设函数zf(x,y)在点(1,1)处可微,且f1)1,2,xfddx3,()(,(,)).fxfxx求3().xx01数一考研题02数一考研题yx1设zz(x,y)x6xy10y2yzz0确定的函数,求2224.选择考虑二元函数f(x,y)的下面4条性质:①f(x,y)在点(x,y)处连续;zz(x,y).04数一考研题00zz(x,y)ze2y确定,则2x3z②f(x,y)在点(x,y)处的两个偏导数连续;00zz3__________.③f(x,y)在点(x,y)处可微;xy04数二考研题00④f(x,y)在点(x,y)处的两个偏导数存在.10.设zf(xy,e),f,求0022xy若用PQ表示可由性质P推出性质Q,则有().zz2z,,.(A)②③①;(C)③④①;(B)③②①;(D)③①④.xyy04数二考研题1x2y2z211.u(x,y,z)1,n则65.设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区3域为D{(x,y)xyxy75},小山的高度函数为22u______.n05数一考研题h(x,y)75x2y2xy.2,3)....2912.设有三元方程xyzlnye根据隐函数存在定理,存在点(0,1,zxzy____________.xy1)的一个邻域,在此邻域内该方程().05数一考研题19.f(x,y)(0,0)().二元函数在点处可微的一个充分条件是(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数zz(x,y);07数二考研题(A)lim[f(x,y)f(0,0)]0;(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数yy(x,z)和zz(x,);(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数xx(y,z)和zz(x,);(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数xx(y,z)和yy(x,z);(x,y)(0,0)(,0)(0,0)fx(0,)(0,0)yfff(B)lim0,且lim0;xyx0y0(,)(0,0)fxyf(C)lim(x,y)(0,0)0;xy13.设函数u(x,y)(xy)(xy)(t)dt,其中函数具有x2y2xy(D)lim[(,0)0)]且lim[)(0,0)]0.fx二阶导数,具有一阶导数则必有,().ffyf05数一、二考研题xxyyx0y0u2uuuxy20.函数f(x,y)arctan在点(0,1)处的梯度等于().(A)(C);(B)(D);08数一考研题xyxy2222(A)i;(B)i;(C)j;(D)j.2u2u2u2u;.x2y22z20xyxyx2y221.已知曲线C:,求曲线C距离XOY面最远点和最近y3z5x14.已知{(,)的全微分dz2xdx2ydy,并且2.求f(x,y)zfxyf}点.08数一考研题y2在椭圆域D(x,y)|x1上的最大值和最小值.205数二考研题x4yzy22.已知z,则_________.x08数二考研题x15.设f(x,y)与(x,y)均为可微函数,且(x,y)0.已知(x,y)是(1,2)y0023.设函数yy(x)由参数方程f(x,y)在约束条件(x,y)0,().下的一个极值点下列选项正确的是xx(t)(A)若f(x,y)0,则f(x,y)0;06数一、二考研题2x00x00tln(1u)y(B)若f(x,y)0,则f(x,y)0;0x00y00x0d2y(C)若f(x,y)0,则f(x,y)0;x确定,其中()是初值问题xtd的解,求.t|x00y0008数二考研题dx2x0(D)f(x,y)0,f(x,y)0.则若t000y00x24.求函数222存在约束条件22和4下uxxyzyzzxy16.设f(u,v)为二元可微函数,zf(x,y),则yx07数一考研题的最大和最小值.25.设函数f(u,v)具有二阶连续偏导数,zf(x,xy),则zx08数二考研题____________.17.求函数f(x,y)x2yxy,在区域{(,)|y4,2z2222Dxyx22y________.09数一考研题09数一考研题xy上的最大值和最小值.07数一考研题07数二考研题26.求二元函数f(x,y)x2(2y)ylny的极值.2yx,则18.设(,)是二元可微函数,zffuv,fxy27.设函数(,)连续,则xy....31322224ydxf(x,y)dydyf(x,y)dx().考研真题十09数二考研题1x1y(A)dx4xf(x,y)dy;2(B)dx4xf(x,y)dy;21.设有一半径为R的球体P是此球体的表面上的一个定点球体上任,,0111x一点的密度与该点到P距离的平方成正比(比例常数k0)求球体的重心位(C)dx4yf(x,y)dy;2(D)dyf(x,y)dx.220111y置.00数一考研题2zxy28.设zf(xy,xy,xy),其中f具有二阶连续偏导数,求dz与.2.计算eddy,其中D{(x,y)0x0y1}.max(x2,y2)09数二考研题02数一考研题D3.设函数f(x)连续且恒大于零,f(x2y2z2)dvf(x2y2)dF(t)(t),()D(t)Gt,(xy)dtfxx()df222tD(t)其中(t){(x,y,z)|x2y2z2t2},D(t){(x,y)|x2y2t2},(1)讨论F(t)在区间(0,)内的单调性;2(2)证明当t0时,F(t)G(t).03数一考研题tt4.设f(x)为连续函数,F(t)dyf(x)dx,则F(2)等于().1y04数一考研题(A)2f(2);(B)f(2);(C)f(2);(D)0.5.设函数f(u)连续,区域D{(x,y)|xy2y},则f(xy)dxdy22D等于((A)).04数二考研题1(B)22dydxxf(xy)dy;2yy2f(xy)dx;211x0022sinf(rsincos)dr;(D)2sin(C)f(rsincos)dr.2200006.设D{(x,y)|x2y22,x0,y0},x2y2]表示不超过1x2y2的最大整数.计算二重积分xyxy]ddy.2205数一考研题D....33347.设区域D{(x,y)|xy4,x0,y0},f(x)为D上的正值连续22xyxy其中13.求二重积分max{,d,08数二考研题09数一考研题函数上的正值连续函数,a,b为常数,则D05数二考研题D{(x,y)|0x2,0y2}.af(x)bf(y)14.设,,)xyzx2yz,则2ddd________.zxyzd().22f(x)f(y)D15.如图,正方形x,y)xy被yb.2ab;2a1(A)ab;(B)(C)(ab);(D)其对角线划分为四个区域D1D(k1,2,3,4),8.计算二重积分|xy1|d,其中D{(x,y)|0x0y22kD2D411xIycosxdxdy,kD05数二考研题3Dk4则max{}().11f(r,rsin)dr等于().I9.设f(x,y)为连续函数,则k1k400(A)I;(B)I;(C)I;(D)I.06数一、二考研题09数一考研题09数二考研题123422221x21x2(A)(C)dxdyf(x,y)dy;f(x,y)dx;(B)dxdyf(x,y)dy;16.求二重积分(xy)ddy,其中0x00D22221y21y2xyx{(,)(2(22,}.(D)f(x,y)dx.Dyyx0y0010.设区域D{(x,y)xy1,x0},计算二重积分2206数一、二考研题1xyIdxdy.1xy22D11.设二元函数x2,xy||||1f(x,y),1,1|x||y|2yx22计算二重积分(,)d其中,fxy,)||||2}.Dxyxy07数二考研题D12.设函数f(u)连续,yf(xy)22222F(u,v)dxdy,x2x2y2DuvFuDuvv其中区域D为图中阴影部分,则uv().Ox08数二考研题(C)vf(u);vv(A)vf(u);(B)f(u);(D)f(u).22uu....3536(1)证明曲线积分I与路径L无关;(2)当abcd时,求I的值.考研真题十一1.曲面x2y3z21在点2)的法线方程为().22200数一考研题9.已知平面区域{(,)|0,0},为D的正向边界.DxyxyL2.设S:xyza(z0),S为S在第一卦限中的部分,则有().22221试证：(1)(2)03数一考研题(A)(C)dS4xdS;(B)(D)ydS4xdS;00数一考研题xesinydyyesinxdxxesinydyyedx;sinxSSSSLLL11xesinydyyedx2.2zdS4dS;xyzS4xyzdS;sinxSSSS1110.设L为正向圆周xy2在第一象限中的部分,则曲线积分22xdyydx3.计算曲线积分I,其中L是以点(1,0)为中心,R为半4xy22d2d的值为_____________.xyyxL04数一考研题04数一考研题L径的圆周(R1)取逆时针方向.00数一考研题11.计算曲面积分4.设rxyz,则div(gradr)().22200数一考研题01数一考研题(1,2,2)I2x3ydz2y3dzdx3(z21)dxdy,5.设对于半空间x0内任意的光滑有向封闭曲面S,都有其中是曲面z1xy(z0)的上侧.xf(x)dydzxyf(x)dzdxe2zdzdy0,22x12.设是由锥面zxy与半球面zRxy围成的空间区S22222其中函数f(x)在(0,)内具有连续的一阶导数,且limf(x)1,求f(x).x0域,是的整个边界的外侧,则xdydzyddxdxdy_______.6..计算I(yz)dx(2zx)dy(3xy)dz,其中L是平05数一考研题222222L13.()设函数y具有连续导数在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线,面xyz2与柱面xy1的交线,从z轴正向看去,L.01数一考研题()d2dyxxyy上,曲线积分的值恒为同一常数.L05数一考研题2xy247..设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆,在融化过程中,其侧面满足方程L(1)证明:对右半平面x0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有2(xy)22zh(t)()d2dh(t)yxxyy0;2xy(设长度单位为cm,时间单位为小时),已知体积减少的速度与侧面积成正比24L(2)求函数(y)的表达式.(比例系数0.9),问高度为130cm的雪堆全部融化需多少小时?01数一考研题8..设函数f(x)在(,)内具有一阶连续导数,L是上半平面(y0)14.设是锥面z2(01),x2yz的下侧则06数一考研题内的有向分段光滑曲线,其起点为(a,b),终点为(c,d),记02数一考研题xdydz2ydzdx3(zdxdy.1xI[1y2f(xy)]dx[y2f(xy)1]dyyy215.设在上半平面D{(x,y)y内函数fxy具有连续的偏导0},(,)L....3738数,且对任意的t0都有f(tx,xy)tf(x,y).证明:对D内的任意分段光2考研真题十二滑的有向简单闭曲线L,都有06数一考研题1..设级数u收敛,则必收敛的级数为yf(x,y)dxxf(x,y)dy0.00数一考研题nLn1u16.设曲面:|x||y||z|1,则(A)(C)(1)nn;(B)(D)u2;07数一考研题nn1n1(x|y|)dS____________.(uu);(uu).2n12nnn1n1n117.设曲线L:f(x,y)1(f(x,y)具有一阶连续偏导数)过第Ⅱ象限内1xn2..求幂级数的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.的点M和第Ⅳ象限内的点分小于零的是().N,为上从点到点的一段弧则下列积LMN,3(2)nnnn1{01数一考研题1x207数一考研题arctanx,x0x03..设f(x)x,试将f(x)展开成x的幂级数,并(A)(C)f(x,y)dx;f(x,y)ds;(B)(D)f(x,y)dy;1,(n的和.f(x,y)dxf(x,y)dy.求级数00数一考研题14n2xyn1nu18.计算曲面积分4..设u0(n2,3,),且lim1,则级数07数一考研题02数一考研题n()nnIxzdydz2zydzdx3xydxdy,11(n1uuyn1nn12其中为曲面z1x(0z1)的上侧.24(A);(B);(C)条件收敛;(D)不能判定.发散绝对收敛19.设曲面是z4x2y的上侧,则208数一考研题5..设x2acosnx(x),则a______.n203数一考研题xydydzxdzdxxdxy______.2n012x12x(n6..将函数f(x)arctan展开成x的幂极数,并求级数2n120.计算曲线积分sin2xdx2(x2dy,其中L是曲线ysinx上从n0L的和.03数一考研题03数二考研题点(0,0)到点(,0)的一段.08数一考研题n3221.已知曲线L:yx(0x2),则xds________.7..设an1x1xdx,则极限limna等于()2n1n09数一考研题nnL0n22.计算曲面积分33(A)e)21;(B)(1e)21xdydzyddxddyI,3332(xyz)(C)(1e)21;(D)e)21.2221其中是曲面2x2yz4的外侧.22209数一考研题8.设a为正项级数.下列结论中正确的是().n04数一考研题n1....3940(A)若minna0,则级数a收敛;nn15