高考数学试题分类汇编解析几何5

11与双曲线有公共焦点，x11与双曲线有公共焦点，x线程为，则五解几一、选择题1.重庆理8）在圆

x

2

y

2

xy

内，过点E（）最长弦和最短弦分别是A和BD则四边形ABCD面积为A

5

B

10

C．

152

D．

20【答案B2.浙江理）已知椭圆

2yy:＞＞0):x2a2b24C1的条渐近线与以

C1长轴为直径的圆相交于

两点若

C1恰好将线段

AB

三等分，则A

2

B

a2

C．

2

D．

b22【答案C（四川理10在抛物线

yax5(≠0)

x上取横坐标为1，2

的两点过这两点引一条割线有行于该线的一条直线同时与抛物线和圆抛物线顶点的坐标为

5x

相切则A

(

B．

(0,

C．

(2,

D．

【答案C【解析】由已知的割线的坐标

(),2y)xb

3651)

2又

xaxyax

(（陕西2）设抛物线的顶点在原点，准线方为

，则抛物线的方程是A

y

2

B．

y

2

C．

y

2

D．

y

2

【答案B（山东8）已知双曲线

a

22

20，＞b2

的两条渐近线均和圆C:

相切,且双曲线的右焦点为圆的心,则该双曲线的方程为cosB3，]2y2B或2cosB3，]2y2B或2A

5

4

B

4

5

C．

3

6

D．

26

3

【答案A（全国课标理）已知直线l过曲线C的个焦点，且与C的对称轴垂直l与交于A，B两，

||

为的轴长的C离心率为（A

（B

3

（

（D）【答案B（全国纲理10）已知抛物线C

y

2

x

的焦点为，线

y2x

与C交于A，B两点．则=A

C．

D．

【答案D（西理若曲线

C

1：

x

2

y

2

x

与曲线

C

2

：

y(ymx)

有四个不同的交点，则实数m取值范围是A

，）

B

3，0∪（，）C．[

33

D，

）（3，+）【答案B（湖南5）设双曲线

a

的渐近线方程为

3xy

，则的值为A4B．3C．2D1【答案C（北理）将两个顶点在抛物线三角形个数记为n则

2px(p0)

上，另一个顶点是此抛物线焦点的正An=0Bn=1C．n=2D．n【答案C（福建理7设圆锥曲线r的个焦点分别为，，若曲线r上存在点满足PF:PF2

，曲线r的心等于A

或2

或

．

或'CC'CC【答案A12.（京理设

A

，

C.

N

为平行四边形ABCD内含边界点的个数中整点是指横标都是整数的点数的值域为

NAC．

BD．

【答案C22x（安徽理）双曲线（A）2（B

y2

2

的实轴长是（C）

（D

2【答案C（辽宁理3已是物线的点AB是抛物线上的两点，则线段AB的点到y轴的距离为57

AFBF=3

，（A

（B

（）

（）

【答案C二、填空题15.湖北理）图，直角坐标系

xOy

所在的平面为，角坐标系

''y'（其中

轴一与

轴重合）所在的平面为

，

'45

。（Ⅰ）已知平面

内有一点

'

2,2)

，则点在面内射影的坐标为；（Ⅱ）已知平面

内的曲线的程是

('

，则曲线在面内的射影的程是。【答案，）

xy

（江理）设

,12

分别为椭圆

23

2

的左、右焦点，点

A

在椭圆上，若Am(5)xABP9Am(5)xABP9A2;则点的标是．【答案】17.上海理）设为常数，若点是双曲线m。【答案】

2xm9

的一个焦点，则（西理14若椭圆

2y2a2b2

的焦点在轴，过点，）圆

x2+

的切线，切点分别为A,B直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方是【答案】

5

4

（北京理）曲线C是平面内与两个定点（，0和F¬2（1，0的距离的积等于常数

a

的点的轨迹.出下列三个结论：①曲C坐标原点；②曲C于坐标原点对称；③若点在线C上则eq\o\ac(△,F)

1

2

的面积大于a。其中，所有正确结论的序号是。【答案】②③（四川理14双曲线

x2y上一点到双曲线右焦点的距离是4，那么点6436

到左准线的距离是．【答案】【解析】

ac10

，点显在双曲线右支上，点到焦点的距离为，所以cx

2

2（全国大纲理）已知F1、F2分为双曲线-的左、右焦点，点AC，点M坐标为（20AM为F1AF2∠的平分线．则AF2|【答案】6

．kllkkllk（辽宁理13已知点，3在双曲线：则它的离心率为．【答案】2

b

上，C的距为，（庆理15设圆位于抛物线

y

2

2x

与直线x=3所围成的封闭区（含边界）内，则圆的径能取到的最大值【答案】

6全国新课标理）在平面直角坐标系xOy中圆C的心为原点点

,F12F在x轴，离心率为．点1的线l交C于AB两，么C的程________．

2的长为，那【答案】

2y2168（安徽理15在平面直角坐标系中，如果与

都是整数，就称点

(,y)

为整点，下列命题中正确的是_____________写出所有正确命题的编号.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果与都是无理数，则直线

ykx

不经过任何整点③直线经无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点④直线

y

经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线【答案】①，③，⑤三、解答题（江苏18如图，在平面直角坐标系

xOy

中，、N别是椭圆

242

的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于A两其P在第一象限过作x轴垂线足为连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的率为k当直线PA平线段，的值；当时求点到线的离；对任意，求证PA⊥PB本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质线方程线的垂直关系点直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分解）由题设知，

a2,b2,故M(N),

所以线段中的坐标为4242()

由直线平线段故直线PA过段的点又线PA过标原点，所以

k.（2直线的程

2代入椭圆方程得

2y24解得

2424x因(),A(,).3333于是

C(,0),

直线AC的率为

40323

2直线A的方程为x0.3此d

|1

.（3解法一：将直线PA的程

ykx

代入

x2y2解得记1k21

,则

P(),(C(故直线AB的率为

0其方程为

y

k

代椭方得(22)x22xk22)解得

x

k2)2

或x

k,

2

)

k

32k

k33

(22)(22)

1.k于是直线的率

2

k所A.因此11122P1122P解法二：设

P(x,),(xy),x0,0,xxA(,),(,0)1212121

设直线AB的率分别为

,1

2

因为

C在线AB上

k

0)k1x)221从而yy)kkkk1x)211

x

y21

()2x2212因此

k所A.1（徽理21设A的坐标为（1,1B在物线yx运动，点Q满BQ

，经过

点与Mx轴直的直线交抛物线于点，点P满

MP

求点的迹方程。本题考查直线和抛物线的方程面向量的概念质运算点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素.解：由

知M，三在同一条垂直于x轴的直线上，故可设(xy(,),M(则xyy则

①再设

B(由B即xy,1),101y2x2y2x2解得

110

②将①式代入②式，消去0，

x1yx1

③又点在抛物线

yx

2

上，所以，将③式代入11，得(1

,(1

,0.因边同除以得y0.故所求点的迹方程为28.（北京理19

y2x已知椭圆

G:4

2

过点）作圆

x22

的切线I交圆G于AB两点（I）求椭圆的点坐标和离心率；（II）将

表示为的函数，并求

的最大值.（）解）由已知得

a2,b所以

ca

3.所以椭圆G焦点坐标为

((3,0)离心率为

c3e.（Ⅱ）由题意知，

|

当时切线l的程，点AB的标分别为

3),(1,此时

|

3当－时，同理可得

|

322222221212llMP22222221212llMP当

|

时，设切线l的程为

yk(由

x),2得(1k)kkmy设A、B两的坐标分别为

x)(xy)1

，则8km2x,x1k2k2又由l与

x

y

切,

kmk

即m

k

所以

|())12

(1)[

64k4m4(4k4)(1)12

]

4||

.由于当

时，

|所以

AB

4|m2

,m([1,

因为

43||m2

433||

且当

m

时，|AB|=2所以|AB|的最大值为（福建理17已知直线l：y=x+m∈R。若以点M（）圆心的圆与直线l相与点P，点P在y轴，求该的方程；若直线l关轴对称的直线为直线与抛物线Cx2=4y是相切？说明理由。本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分分解法一：（I）依题意，点的标为（0m因为，以，ll'l'l'lll'l'l'l'l'解得m=2即点的标为（0，）从而圆的半径r(2

2,故所求圆的方程为

(

2

y

2

（II）为直线的程为

,所以直线的方程为

由

y'x2

得x2

2

m16(1)（1当

m即

时，直线与物线相（2当，时直线与物C相切。综上，当m=1时直线与抛物线C相；当时直线与物线C不切。解法二：（I）设所求圆的半径为，则圆的方程可设为

x2)

2

y

依题意，所求圆与直线

l:y

相切于点P（，m则

r|2

,,解得

mr2.所以所求圆的方程为

(

2

y

2

（II）解法一。（广东理19设圆C两圆

(

y

5)

中的一个内切，另一个外切。（1求C圆心轨迹L的程;（2已知点M

(

5

),F

，且为L上点求

FP

的最大值及此时l212MFPl212MFP点的坐标．（1）解：设C的心的坐标为

(,)

，由题设条件知(x5)

2

2

(

2

2

4,化简得L的程为

4

2

（2）解：过MF的直线方程为x2x0.

yx5)

，将其代入L的程得解得

x1

55652555l与L交点T,),T,).155因T1线段MF外在段MF内故

|FTMFMT||2MPFP|MF2.

，若不直线MF上在中有故

MP|FP

只在T1点得大值2（湖北理20平面内与两定点

(,0)

，

,0)(

连续的斜率之积等于非零常数的的轨迹，加上

1、

两点所成的曲线可是圆、椭圆成双曲线．（Ⅰ）求曲线的程，并讨论的状与值关系；（Ⅱ）当

时，对应的曲线为

；对给定的

m(U(0,

，对应的曲线为

，F设、

是

的两个焦点。试问：在

撒谎个，是否存在点，得

F

的积|

。若存在，求

tan

F

F

的值；若不存在，请说明理由。本小题主要考查曲线与方程圆曲线等基础知识同时考查推理运算的能力以及分类与整合和数形结合的思想分14分解）设动点为M其坐标为

(x)

，即

当2

时，由条件可得y2(2，

MA

MA

y2m,2又

A(A,0)12

的坐标满足

2y2ma

,故依题意，曲线的程为

y2ma2.当

m

曲线C的程为

2y2Ca2

是焦点在y轴的椭圆；当

时，曲线C的方程为

x

2y22

，是心在原点的圆；当

时，曲线C的程为

a

22

22

，是点在x轴的椭圆；当时曲线C的程为

x2a22

C是点在x轴的双曲线。（II）（I知，当m=-1，C1的程为

x22;当

时，C2的两个焦点分别为

(1,0),2对于给定的

(0,

，C1上存在点

N(,)(y0

使得

m

2

的充要条件是y2,y001|y||a2

由①得

0a,0

由②得

|0

||1

2212m|a2222212m|a222当

m|5,即m0,或

m

时，存在点N使；当

m

,

5

,或

5

时，不存在满足条件的点N当

5m,0

时，由

a1)0200

，可得

2)2y2令

NF,|NF|F122

，则由

rrcos121

,可得rr12

2

，从而

1ma1Srrma22

2

tan

，于是由，可得

matan

|a2,即tan

|.综上可得：当

m,0

时，在上存在点N，使得

a

,且tanFNF2当

1m

时，在上存在点N，使得

m|,且FNF当

(

55)(,

时，在C1上不存在满足条件的点。1l11l1（湖南理21如图7，椭圆

2y:0)a22

:x的离心率为，x轴被曲线

2

截得的线段长等于C1的长半轴长（Ⅰ）求C1C2方程；（Ⅱ）设C2与y的焦点为M过坐标原点的直线与交于点A,B,线MA,MB分别与相与D,E．（i）证明：MD⊥ME;（ii）记△MAB,MDE的积分别

,1

2．问：是否存在直线l,使

12

?请明理由。解：（Ⅰ）

由

题

意

知c3e,从a2,又ba,得a1.故，的程分别为

4

2

x

2

（Ⅱ）由题意知，直线l的率存在，设k则直线l方程为

ykx

由

ykxyx

得x

kx

设

(),xy),则x,x111

2

是上述方程的两个实根，于是xkxx11又点M的坐标为（，以k

MA

MB

yy(kx11xxx11

kx(x)121x1

22

故MA⊥，即MD⊥ME.（ii）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的程为

y

y1yx

解得11111111111111kyy21则点A坐标为

k1

又直线MB的率为

k

，同理可得点B的坐标为

(

1kk于是

1S|21k1由

y1x4y2

得

(1k)kx1解得

x或y

kx1,21k2y21则点D的标为

(11k2k11又直线ME的斜率为

k

k(22，同理可得点的坐标为11

于是因此

)|S|11(124)141k222

由题意知，

4(4k217),解得k24,或k21又由点A、B的标可知，

k

k21k1

1k21,所.1k2k1故满足条件的直线l存，且有两条，其方程分别为

y

3x和yx212AB12AB33.（辽宁理）如图，已知椭圆的心在原点O长左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的轴，，的心率都为，直线l，l与交两点，与C2交两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，，CD．（）设

AD，求与的比值；（II当变化时，是否存在直线l，使得BOAN并说明理由．解）为，的离心率相同，依题意可设2y2b2:C:0)a2a4a设直线

lxta)

，分别与C1，C2的程联立，求得(

),B(a

2

………………4分当

3e时ba,别用,y2

表示AB的坐标，可知|23BC|:||4

………………6分（II）时l不符合题意.kAN相，即

t0

时，BO//AN当且仅当BO的率kBO与的率

2tt

,解得

t

a

.2因为

22t又以解e所以当

时，不存在直线l，使得BO//AN-2ll2-2ll2当

时，存在直线l得BO//AN.

…………分（全国大纲理）已知O为标原点F为圆

:x

2

22

在y正半轴上的焦点且率为的直线与交A、B两点，点P满

OAOP0.（Ⅰ）证明：点在上（Ⅱ）设点P关点O对称点为Q，明AP、BQ四在同一圆上．解：（I）（0的程为

y2x

，代入

2

2

并化简得4x

2x

…………2分设

A(x,y),B,y),xy),112233则

x1

624

x12

yy)122由题意得

xx312

y31所以点的标为

(

经验证，点P的标为

(

满足方程llll22

故点P在圆C上。

…………分（II）由

P(

和题设知，

(,1)l的直平分线的程为yx①设AB的点为M，

M

12

l，AB的直平分线为的程1y4

②由①、②得

ll1

2的点为

N(8

。………9分(

22)),28|22

322

,AM|

324

,MN|(

221))2,4||AM2

MN|

2

3118

,故。又NP|=|NQ||NA|=|NB|，所以，由此知A、P、BQ点在以N为圆心，NA为径的圆上（全国新课标理）

12分在平面直角坐标系xOy中已点（-1点直

y

上M点足

MB/

，MAMB

，M的轨迹为曲线C．求的程；为C上点，为在点P处切线，求点到距离的最小值．MAMBABMAMBAB2ll000l00llMAMBABMAMBAB2ll000l00lll）解：(Ⅰ设，y)由已知得，-3)，A(0rr所以（-x，，，，rr再由题意可知（+），即-x，-4-2y）(x-2)=0.所以曲线C方程式为x11(Ⅱ)设0，y0)为曲线：y=x-2上点，因为y=，所以的率为x因此直线的程为

yx()

，即0．则O点到的离

d

2y00x0

又

y

，所以(

2

)当

20

=0时等号，所以点到距离的最小值为2.（山东理22已知动直线与圆

3

2

交于P

y22

两不同点且OPQ的积

OPQ

=,其中为标原点.（Ⅰ）证明

和

均为定值（Ⅱ）设线段PQ的中点为M求

|OM|PQ

的最大值；（Ⅲ圆C上否存在点得

ODE

?若在eq\o\ac(△,断)DEG的形状；若不存在，请说明理（I）解）直线的率不存在时，P，Q两关于对称，所以

x.21111ll21l1111ll21l因为

P(1

在椭圆上，因此

2y213

①又因为

OPQ

所以

||.

②由①、②得

y此时

x2

2

（2）当直线的率存在时，设直线的程为2y2由题意知m，其代入，

ykxm(2k)2kmx2

，其中

2

12(2k)(m

2

0,即

k

…………（*）又

12

6km3(m2x222所以

|2(x)2x212

22k2

2

因为点O到线的离为SOPQ所以

d

|1

2

2622k6m|32k2

2

m

211212ll25).，当且仅当11212ll25).，当且仅当又

OPQ

整理得

3k

2

2m2,

且符合（*式，此时

2)11

2

63(mx)3,2ky1

y

22

22(3)(32)(2233

综上所述，

x2

结论成立。（II）解法一：（1）当直线的率存在时，由（I）知

x1

|y|2,1因此

OM|（2）当直线的率存在时，由I）知x312myxkm212(1)222mOM2

y91m211)21)224m2m|

(1)

k22)2(222)22m所以

|OM2|

1))m2所以

|OM|PQ

1(3)(2)m2213m22,即22

时，等号成.1212综合（1）||PQ|的最大值为解法二：

因为

4OM

()2

y)2

x)1

)

2[(2110.

x

22

)y1

22

)]所以

2PQ

4OM|2PQ|225即

|OM|,

当且仅当

2|OM|PQ5

时等号成立。因此|OM|·|PQ|的最大值为

（III）椭圆C上存在三点D，，，使得

ODE

.证明：假设存在

D,E(x,),(x,y)S1

ODE

ODG

，由（I）得21解得

u222x2;v1

x2v2y21y2y1

2,v

2

y

22

2,y21

y

22

因此x,x能从选取,y能从选,1因此DE，G只在

(

这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与

ODG

矛盾，所以椭圆上存在满足条件的三点D，（陕西理17如图，设P是圆

xy25

上的动点，点D是在x轴的摄影M为上点，且MD

PD22P(1,1)l22P(1,1)l（Ⅰ）当在上运动时，求点M的迹C的程；（Ⅱ）求过点（3，）且斜率为的线被截线段的长度解）设M的标为（x,y）的标为（）由已知得

,5ypy,4xy∵在上，∴，C的程为

2516y（Ⅱ）过点，）且斜率为的直线方程为，设直线与的点为

122

将直线方程

y

代入的程，得x241x12∴

即

x

∴线的长度为

x1

2

y1

y

2

x12

415注：求AB长时，利用韦定理或弦长公式求得正确结果，同样得分。（上海理23已知面上的线段l及P，l上取一点d(P,l)称为点P到线l的离，记作。

，线段

PQ

长度的最小值（1求点

到线段

l:5)

的距离

d(P,l)

；（2设是长为2的段，求点集

Dd,l

所表示图形的面积；。l。l（3写出到两条线段

ll1

2离相等的点的集合

{P|(,l)d(l)}1

，其中lABl1

，A,B,

是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是2分②，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。(1,0),(D

。

A(1,0),(D(A0,(00),(,),

。

O

解：⑴设

Q(,3)

是线段

l:5)

上一点，则

59|PQ|x222()(3x22Q|5l)|i

，

当

时，⑵设段的点分别为

，以直线轴的点为原点建立直角坐标系，则

(1,0),

，点集由下曲线围成l:xl1)1

，C:(x

y

(x

y

x其面积为

。⑶①选择

ABC(D(

，

{(y)|0}②选

A(1,3),BC(D(

。{(x)|x0}{(,)|

2

y{()|③选

A(0,1),C(0,0),

。{(x|x0,0}{(xy)y,0{()|x

2

yx2}{(y)2}C

A

C

All121212ll121212（四川理21椭圆有两顶点A-10（，0其焦点（，1的直线l与圆交于CD两，并与x轴交于点．线AC与线BD交点．（I）当|CD=

时，求直线l的方程；（II）点异AB两时，求证：

为定值。解：由已知可得椭圆方程为

22

2

，设的方程为

y(xk

为的斜率。则

kx2

(2)

2

xxx2

2

y2yy22(x)1

2

)12

2

82k2k)2(2)

2

2l

的方程为

y2（天津理）在平直角坐标系

xOy

中，点

P,b)a0)

为动点，

1

分别为eMM所以122y12eMM所以122y12椭圆

a

22

2b

PF的左右焦点．已知△为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设直线

PF2与圆相交于

两点，是线

PF2上点，满足

AM

，求点的迹方程．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质线的方程平向量等基础知识考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能满分13分（I）解：设

(,0),F(12由题意，可得

PFF22即

(a)

整理得

c2()2得aa

（舍或

c11.e2（II）：由（I知

c,可得椭圆方程为

x

2

y

2

c,直线PF2方为

x).A，B两的坐标满足方程组

yc2,x).消去y并理，得

5x

0.解得

x0,c得方程组的解

8xc,,5不妨设

3c,c55Cyll55Cyll设点M的坐标为

3(,),AMxc,c),BM)5

，由

y),得c

y.于是

AM

33833yxy),555BMx

由

AM383(yxyx即，化简得

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