江苏省南师附中、淮阴中学、天一中学、海门中学2021-2022学年高三上学期12月联考数学试卷

2022届四校联考高三年级十二月份数学学科测试卷数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{x|y＝2－x}，则A∩B＝A．(－∞，3]B．[1，2)C．[1，2]D．(－∞，1]2．若复数z满足z-|1＋i|＝1－i，则z＝22i＋222iA．B．C．－iD．i22－23．下列函数中，在区间上单调递增的函数是A．y＝cos(x－π)3B．y＝3sinx－cosxC．y＝sin(x＋π)4D．y＝|sin2x|4．某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径为1的半球．已知该胶囊的表面积为10π，则它的体积为135101316A．π6B．π3C．π3D．π325．已知(x＋2)2n＋1的展开式中第二项与第三项的系数之比为1：8，则(x－x)n的展开式中常数项为A．－24B．24C．－48D．484πsin(α－)5tanα6．若＝－3，则＝ππtan5sin(α－)5A．2B．34C．32D．12x27．设点M，N均在双曲线－y＝1上运动，AB为圆C：(x－2)2＋y＝4的任意一条直径，223→则|→→MA＋MB－2MN|的最小值为A．2B．23C．23D．4－238．已知a＝5，b＝15(ln4－ln3)，c＝16(ln5－ln4)，则A．a＜c＜bB．c＜b＜aC．b＜a＜cD．a＜b＜c3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．对平面向量a，b，有A．若a和b为单位向量，则a＝bB．若|a·b|＝|a||b|，则a//bC．若|b|＝2，a在b上的投影向量为1b，则a·b的值为22D．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线410．北京冬奥会临近开幕，大众对冰雪运动关注不断上升，各地陆续建成众多冰雪设施，广大市民有条件体验冰雪活动的乐趣，为研究市民性别和喜欢冰雪活动是否有关，某校社团学生在部分市民中进行了一次调查，得到下表：性别合计冰雪运动的喜好男性140女性b喜欢不喜欢合计140＋b80＋cc80140＋c80＋b220＋b＋c73已知男性喜欢冰雪运动的人数占男性人数的，女性喜欢冰雪运动的人数占女性人数的，105则n(ad－bc)2参考：χ2＝，P(χ2＞3.841)＝0.05，P(χ2＞6.635)＝0.01．(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)A．列联表中c的值为60，b的值为120B．有95%的把握认为市民性别和喜欢冰雪运动有关系C．随机对一路人进行调查，有95%的可能性对方喜欢冰雪运动D．没有99%的把握认为市民性别和喜欢冰雪运动有关系11．20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石．人工合成金刚石的典型晶态为立方体(六面体)、八面体和立方八面体以及它们的过渡形态．其中立方八面体(如图所示)，它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体．已知一个立方八面体的棱长均为1，则5A．它有24条棱、12个顶点、14个面B．它的任意两条不共面的棱所在直线都相互垂直52C．它的体积为3D．它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等C正确；12．已知抛物线y2＝4x，焦点为F，l1，l是过F的两条直线，斜率分别为k，k，且分别122交抛物线于A，B两点和C，D两点，以A，B为切点的切线相交于点P，以C，D为切点的切线相交于点Q，则A．若AB中点的纵坐标为4，则k＝21B．若kk＝－1，则AB＋CD的最小值为1612C．P点在以AB为直径的圆上→D．若kk＝1，则→FP·FQ为定值8126三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．713．已知函数f(x)＝sinx(ex－ae－x)＋b是奇函数，则a＋b＝．14．已知曲线C：x2＋y＝2|x2|＋2y，则曲线C围成的图形面积为．15．对于数列{a}，使数列{a}的前k项和为正整数的k的值叫做“幸福数”．已知nnn＋1a＝logn，则在区间[1，2021]内的所有“幸福数”的个数为．4n16．若存在实数t，对任意的x∈(0，s]，不等式(lnx－x＋2－t)(1－t－x)≤0成立，则整数s8的最大值为．(ln3≈1.099，ln4≈1.386)四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)1＝3，a＝3＋，n∈N*．n3n＋111a}满足a1已知数列{ann＋19(1)求数列{a}的通项公式；n(2)求数列{a}的前n项和S．nn【解析】18．(本小题满分12分)宜兴紫砂壶是艺术品，它形制优美，颜色古雅该地某紫砂壶厂家为进一步提升产品质量和经济效益，决定对紫砂壶的质量实行专家鉴定制度；若一件紫砂壶被3位专家都鉴定通过，则该紫砂壶为一等品；若一件紫砂壶被3位专家中的2位鉴定通过，则该紫砂壶为二等品；若一件紫砂壶仅被3位专家中的1位鉴定通过，则该紫砂壶为三等品；若－件紫砂壶没有得到3位专家的鉴定通过，则需第4位专家进行鉴定，如果鉴定通过，则该紫砂壶为三等品，否2则为四等品．已知每件紫砂壶被每位专家鉴定通过的概率均为，且专家之间鉴定是否通过3相互独立．(1)求一件紫砂壶被专家鉴定为三等品的概率；(2)一件紫砂壶若被鉴定为一等品、二等品、三等品方可出厂销售，且利润分别为2700元、1800元和820元；被鉴定为四等品则不能出厂销售，且亏损200元．记一件紫砂壶的利润为X元，求X的概率分布及数学期望．【解析】1019．(本小题满分12分)25记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＝5，b＝4，点D是AC边上π一点，且满足AD＝BD，∠DBC＝4．AD(1)求sinC；BC(2)求△BCD的面积．【解析】1120．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△PAB为正三角形，PD＝10，E为线段AB的中点，M为线段PD(不含端点)上的一个动点，且PM＝λPD．(1)证明：PE⊥平面ABCD；(2)若二面角M－EC－D的大小为60°，求实数λ的值．PMDAEBC【解析】1221．(本小题满分12分)x2y23已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为2，右顶点为A，过点B(a，1)的直线l与椭圆a2b2C交于不同的两点M，N，其中点M在第一象限当点M，N关于原点对称时，点M的横坐标为2．13(1)求椭圆C的方程；(2)过点N作x轴的垂线，与直线AM交于点P，Q为线段NP的中点，求直线AQ的斜率，并求线段AQ