行列式的计算方法

学年论文行列式的计算方法姓名：王海洋学 号：4院 系：统计与数学学院专 业：数学与应用数学指导老师：张志远日 期：2012年5月12日目录.定义法.化三角形法.数学归纳法.范德蒙行列式.加边法.降阶法.递推法.析因法.利用方阵特征值.对称法行列式是研究线性代数的一个重要工具，在线性方程组，矩阵，二次型中用到行列式，在数学其它分支也常常用到行列式，因此行列式的计算显得尤其重要，但行列式的计算灵活多变，需要较强的技巧。主要有下面几种算法：1定义法根据行列式的定义D“=E（-1）t（j邛j"）a12.Kaj我们可以利用定义直接计算行列式，其中j1j2Kjn A" J"T(jjLj)是jjLj的逆序数.11 n11naaaaa1112131415aaaaa例1证明D=2122232425a31a32000=0a41a42000a51a52000分析观察行列式我们会发现有许多零故直接用定义法.证明由行列式的定义知除去符号差别外行列式一般项可表示为aiJ2jKaj则 D=£（一1）T（j1j2Kj5）aaKaj1j2Kj5 A" J"（1）其中ji，ji，L,j5为J型的任意排列，在D中位于后三行后三列的元素为零，而在前两行前两列中,取不同行不同列的元素只有四个，就是说（1）式中每一项至少有一个来自后三行后三列.故D=0.注意此方法适用于阶数较低的行列式或行列式中零的个数较多.2化三角形法化三角形是将原行列式化为上（下）三角形或对角形行列式进行计算的一种方法，是计算行列式最基本的计算方法之一，这是因为由行列式的定义我们可以直接计算上（下）三角形或对角形行列式一般而言，对任意行列式都可化为三角形行列式，但是有的行列式化简时非常繁琐，应该先利用性质实施一些初等变换,然后再化简.

TOC\o"1-5"\h\z1 2 3 L2 3 4 L例2计算行列式D“= 3 4 5 Ln M M Mn-1nn112MMn-2n-11n(n-1)n2(n+1)

2n(n-1)nn-1(-1)2分析直接用化三角形法化简很烦，观察发现对于任意相邻两列中的元素，位于同一行的元素中,n-1nn112MMn-2n-11n(n-1)n2(n+1)

2n(n-1)nn-1(-1)2n-1n111L11n1211L11-n12=311L1-n1MMMMMMMn-2n-1n1-n1L111 2 3 L2 3 4 L解D=3 4 5 Ln M M Mn 1 2 L111+2+L+n00L000-n_1100L0-n-n0200L-n0nMMMMMMM00n-1-n0L001 1 1 L1 0 0 L=2 0 0 LM M Mn一1 一n 0 L000L0-n000L-n1n(n-1)000L0n2MMMMM-n0L00(n-1)(n-2)(-1) 2问题推广在例2中1,2,L,n,这n个数我们可以看成有限个等差数列在循环，那么对于一般的等差数列也应该适应.

a1a+da+2d1Ma+da+2da+3dMa+2da+3da+4dMLLLa+(n—1)dia+ndaiMa+ndaia+dMa+(n—1)d1a1a+daidda+ddLdLLdda+(n—3)did(1—n)da+(n—2)dia+2d d1M Ma+(n—1)d(1—n)d1a ddLd Ld LM MM(n—1)d—nd0LdT (n—1)da++L+1n nd2dM(n—1)ddLMdLd—ndM000MM—nd0(1—n)dMdd—ndM0L0LL—ndML0dMd0—ndM0D=(n-1)(n-2))(—nd)n-1(—1) 2计算行列式/dT (n—1)d=(a+ +L+——一1n n1n(a计算行列式/dT (n—1)d=(a+ +L+——一1n nTOC\o"1-5"\h\z=—( 1 1 )(—nd)n—1(—1) 2n 21n(a+a+(n—1)d (n-1)(n-2)如果将例2中的数a=1,d=1代入=-(1一f一-)(—nd)n-1(—1) 2 结论显然成立.1 n 23数学归纳法数学归纳法有两种一种是不完全归纳法,另一种是完全归纳法，通常用不完全归纳法寻找行列式的猜想，再用数学归纳法证明猜想的正确性.基本方法1)先计算n=1,2,3时行列式的值.2)观察DDD的值猜想出D的值.1,2,33)用数学归纳法证明.a+b1)先计算n=1,2,3时行列式的值.2)观察DDD的值猜想出D的值.1,2,33)用数学归纳法证明.a+bab0L001a+babL00MMMMM000L1a+b例3计算行列式D=n解：因为D=a2+ab+b2=2所以，猜想an+1—bn+1

a-b(1)证明当n=1时,（1）式显然成立.设n<k-1时,（1）式显然成立，则n=k时a+bab0L00a+bab0L000a+babL00-ab0a+babL00MMMMMMMMMM000L1a+b000L1a+b(k-1)D=(a+b)k(k-1)=(a+b)D-abDak—bk ak-1—bk-1 ab ak+i-bk+i・•・当n=k时⑴式也成立，从而得证.an+1一bn+1D= na一b注意一般而言，对于给定的一个行列式，要猜想一个之比较困难，所以一般情况下是先给定其值,然后再证明.4范德蒙行列式111L1xxxLx123Lnx2x2x2x2123nMMMMXn-1Xn-1Xn-1LXn-1123n范德蒙行列式Dnnx-％.1<j<i<n因此可将给定行列式化为范德蒙行的形式然后直接计算.2n-22n-1-2L23-22例4计算”1阶行列式Dn「3n—33n—1—3L33一36MMMMnn—nnn-1一nLn3一nn2—n解用加边法将行列式化为范德蒙行列式1 1 1L1 133一3M02n一22n-1一2L 33一3MD=03n-33n-1-3Ln-1MMM0nn一nnn-1一nL111L1122n2n-1L232233n3n-1L3332MMMMMnnnnn-1Ln3n25加边法利用行列式按行（列）展开的性质把n阶行列式通过加行（列）变成与之相等的n+1阶行列式，然后计算.a11aa12aLLa1na添加行列式的四种方法:设D=naaa a21Man1LL22Man2a1naL102nManna1a11.a2a12LLana1n（1）首行首列D=n21Man1a11a22Man2a12aLLL2nManna1na=0M00a11aa21 22MMan1 an200aa12 13LLLLa2屋Mann1a1（2）首行末列D=n21Man1a11a22Man2a12aLLL2nManna1na=a21Man1a1a2aa22 23MMan2 an3aaa21 a22LLLLa2Mana1na2n（3）末行首列D=n21Man1a11a22Man2a12aLLL2nManna1na=a3M1a11a21aaM31 M3200aa12 13aa22 23LLLLa3nM0a1a2（4）末行末列D=n21Man122Man2L2nMann=a31M0aa32 33MM00LLa3M1

x+aaaLa123Lnax+aaa123naax+aLa123nMMMMaaaLx+a123(X中0).例5计算D=n1000Ma1000Ma1x+a1a

ia1Ma2a2x+a2LLLLananananx+an(n+1)x(n+1)将第一行乘(-1)加到其余各行上去，得1aaLa12n-1X0L0-10XL0-100L0MMM-100LX(n+1)x(n+1)1将第2列,L，第n列分别乘一，全都加到第一列，得XTOC\o"1-5"\h\z、n a T+乙faaLak=1X0 x 0 L 00 0 x L 00 0 0 L 0MMMM0 0 0 L x(n+1)x(n+1)=Xn(1+12a)=Xn+Xn-1Xa

xk kk=1 k=1加边法是将原行列式中添加适当的行(列)，构成一个新的行列式,并以此行列式为过渡来达到计算原行列式的目的.

6降阶法n阶行列式等于它的任意一行（歹U）各元素与其对应的代数余子式乘积的和.即ijiji=1D=faA(i=1,2,L,n)或D=faA(j=1,2,L,ijiji=1ijijj=1行列式按一行（列）展开将高阶转化为若干低阶行列式计算方法称为降阶法.这是一种计算行列式行列式按一行的常用方法.例6计算D=1310301例6计算D=131030110121141010003-9-2101211100=1x-9-21-22注意对于一般的n阶行列式若直接用降阶法计算量会大大加重.因此必须先利用行列式的性质将行列式的某一行（列）化为只含有一个非零元素然后再按此行（列）展开,如此进行下去，直到二阶.7递推法n-1递推法是根据行列式的结构利用n阶行列式的性质，把给定的行列式D用与D有相同形式的D阶行列式表示出来然后将Dn_］阶行列式再用与Dn-1有相同形式的Dn-2阶行列式表示出来n-1下去直到D被有相同形式D2的表示出来，这样Dn可被易计算的D2表示出来,故可达到计算Dn的目的.a+P10Ma+P10MaP

a+P

1M0

ap

a+PM000M000Ma+Pan+1-Pn+1证明，其中"P分析此行列式的特点是除主对角线及其上下两条对角线的元素外其余的元素都为零，这种行列式称“三条线”行列式，从行列式的左上方往右下方看即知。与。具有相同的结构.因此可考虑用递推nn-i法证明.证明把行列式。按第一行展开，得n=(a+P)D-aPDTOC\o"1-5"\h\zn-1 n-2于是有递推关系式D=(a+p)D-a^D

n n-1 n-2或 D-aD=P(D-aD)n n-1 n-1 n-2类似有D-aD=P(D-aD)

n-1 n-2 n-2 n-3LLLLD-aD=p(D-aD).

3 2 2 1由于 D=(a+P)D=(a+p)2-ap1 2因而D-aDn n-1=p«-2[(a+p)2-ap-a(aD-aDn n-1若 a=0时0=0"nTOC\o"1-5"\h\zD D B若 aw。时—=「^+(21)〃OCn (Xn-1 a利用计算递推，得 ft-=+(=+(+(=L=1-+(——)2+L+(

anan-ia an-2aa aa a=i+P+(P)2+laa

1-(B)n+1

a=a所以若a=P时，从所以若a=P时，从D=—— (aw0).na-000 0得到D=(n+1)an

nan+1—0n+1比 得到D=(n+1)an

nan+1—0n+1比 n 1当aw0=,a-0(n+1)an当a=08析因法基本方法:如果行列式D中有一些元素是变量了的多项式,那么将行列式D当作一个多项式f(x)然后对行列式施行某些变换，求出f(x)互素的一次因式，使得f(x)与这些因式的乘积式x)只相差一个常数因子J根据多项式相等的定义，比较f(x)与其x)的某一项的系数求出c值,便可求得D=cg(x).112312-x223例8计算行列式D=23152319-x2分析这是一个关于x的4次多项式，在复数范围内此多项式可分解成4个一次因式的乘积112312-x223解令f(x)=D=23152319-x2则f(x)是关于x的4次多项式，由行列式的性质当x=±1,x=±2时f(x)三0.因此f(x)有四个一次因式(x-1),(x+1),(x-2),(x+2).g(x)=(x-1)-(x+1)-(x-2)-(x+2)

于是f(x)=a•(x-1)-(x+1)-(x-2)-(x+2).于是比较D中x4的系数，得a=-3D=f(x)=-3•(x-1)-(x+1)-(x-2>(x+2).注意找一次因式时因该先观察，若行列式是关于x的n次多项式就相应的找n个一次因式(重因式按重因式个数计算)而不要意味的看行列式的阶数n相应的找n个一次因式.9利用方阵特征值在线形变换的研究中，矩阵的特征多项式非常重要,由矩阵的特征多项式，再根据根与系数的关系式可知矩阵全体特征值的积为相应行列式的值.因此，我们可以用这个办法来计算行列式.例9计算如下行列式的值Ma例9计算如下行列式的值Ma+入a2a3Lanaa+入aLai23naaa+入Lai23nMMMMaaaLa+入i23naaaLa1 23naaaLa1 23naaaLa1 23nMMMMaaaLa1 2