2022-2023学年湖南省衡阳市成考专升本高等数学一自考预测试题(含答案)

2022-2023学年湖南省衡阳市成考专升本高等数学一自考预测试题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.

2.下列命题中正确的为

A.若x0为f(x)的极值点，则必有f'(x0)=0

B.若f'(x)=0，则点x0必为f(x)的极值点

C.若f'(x0)≠0，则点x0必定不为f(x)的极值点

D.若f(x)在点x0处可导，且点x0为f(x)的极值点，则必有f'(x0)=0

3.滑轮半径，一0．2m，可绕水平轴0转动，轮缘上缠有不可伸长的细绳，绳的一端挂有物体A，如图所示。已知滑轮绕轴0的转动规律为φ=0．15t3rad，其中t单位为s。当t-2s时，轮缘上M点速度、加速度和物体A的速度、加速度计算不正确的是()。

A.M点的速度为VM=0．36m／s

B.M点的加速度为aM=0.648m／s2

C.物体A的速度为VA=0．36m／s

D.物体A点的加速度为aA=0.36m／s2

4.A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.无法确定敛散性

5.

6.

7.（）A.A.

B.

C.

D.

8.

9.微分方程y'+y=0的通解为y=A.e-x+C

B.-e-x+C

C.Ce-x

D.Cex

10.设z=x3-3x-y，则它在点(1，0)处

A.取得极大值B.取得极小值C.无极值D.无法判定11.A.A.1/2B.1C.2D.e12.

13.A.A.1

B.3

C.

D.0

14.A.-3-xln3

B.-3-x/ln3

C.3-x/ln3

D.3-xln3

15.曲线y=x-3在点(1，1)处的切线斜率为()

A.-1B.-2C.-3D.-416.设k＞0，则级数为()．A.A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.收敛性与k有关

17.设y=f(x)在[0，1]上连续，且f(0)>0，f(1)<0，则下列选项正确的是

A.f(x)在[0，1]上可能无界

B.f(x)在[0，1]上未必有最小值

C.f(x)在[0，1]上未必有最大值

D.方程f(x)=0在(0，1)内至少有一个实根

18.设有直线

当直线l1与l2平行时，λ等于（）．A.A.1

B.0

C.

D.一1

19.

20.

二、填空题(20题)21.

22.

23.设z=x2+y2-xy，则dz=__________。

24.

25.

26.ylnxdx+xlnydy=0的通解是______.

27.28.微分方程y=x的通解为________。

29.

30.

31.函数y=x3-2x+1在区间[1，2]上的最小值为______．

32.

33.34.函数f(x)=x3-12x的极小值点x=_______.35.36.

37.

38.=______．39.40.设y=1nx，则y'=__________．三、计算题(20题)41.

42.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．43.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

44.求曲线在点(1，3)处的切线方程．45.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

46.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

47.

48.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．49.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．50.证明：

51.

52.求微分方程的通解．

53.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

54.

55.56.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则57.58.59.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．60.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．四、解答题(10题)61.

62.

63.

64.

65.66.

67.

68.

69.

70.求曲线y=x2在(0，1)内的一条切线，使由该切线与x=0、x=1和y=x2所围图形的面积最小。

五、高等数学(0题)71.某厂每天生产某产品q个单位时，总成本C(q)=0．5q2+36q+9800(元)，问每天生产多少时，平均成本最低?

六、解答题(0题)72.计算

参考答案

1.D

2.D解析：由极值的必要条件知D正确。

y=｜x｜在x=0处取得极值，但不可导，知A与C不正确。

y=x3在x=0处导数为0，但x0=0不为它的极值点，可知B不正确。因此选D。

3.B

4.A本题考察了级数的绝对收敛的知识点。

5.D

6.A

7.C

8.D解析：

9.C

10.C

11.C

12.A

13.B本题考查的知识点为重要极限公式．可知应选B．

14.A由复合函数链式法则可知，因此选A．

15.C由导数的几何意义知，若y=f(x)可导，则曲线在点(x0，f(x0))处必定存在切线，且该切线的斜率为f"(x0)。由于y=x-3，y"=-3x-4，y"|x=1=-3，可知曲线y=x-3在点(1，1)处的切线斜率为-3，故选C。

16.A本题考查的知识点为级数的绝对收敛与条件收敛．

由于为莱布尼茨级数，为条件收敛．而为莱布尼茨级数乘以数-k，可知应选A．

17.D

18.C本题考查的知识点为直线间的关系．

19.D

20.A解析：

21.1/21/2解析：

22.本题考查的知识点为定积分的换元法．

23.(2x-y)dx+(2y-x)dy

24.

25.00解析：

26.(lnx)2+(lny)2=C27.1．

本题考查的知识点为函数连续性的概念．

28.本题考查可分离变量的微分方程．分离变量得dy=xdx，两端分别积分，∫dy=∫xdx，

29.3x+y-5z+1=03x+y-5z+1=0解析：

30.31.0本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最小值问题．

通常求解的思路为：

先求出连续函数f(x)在(a，b)内的所有驻点x1,…，xk．

比较f(x1)，f(x2)，…，f(xk)，f(a)，f(b)，其中最大(小)值即为f(x)在[a，b]上的最大(小)值，相应的x即为，(x)在[a，b]上的最大(小)值点．

由y=x3-2x+1，可得

Y'=3x2-2．

令y'=0得y的驻点为，所给驻点皆不在区间(1，2)内，且当x∈(1，2)时有

Y'=3x2-2＞0．

可知y=x3-2x+1在[1，2]上为单调增加函数，最小值点为x=1，最小值为f(1)=0．

注：也可以比较f(1)，f(2)直接得出其中最小者，即为f(x)在[1，2]上的最小值．

本题中常见的错误是，得到驻点和之后，不讨论它们是否在区间(1，2)内．而是错误地比较

从中确定f(x)在[1，2]上的最小值．则会得到错误结论．

32.y=1

33.

本题考查的知识点为不定积分的凑微分法．

34.22本题考查了函数的极值的知识点。f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),当x=2或x=-2时,f'(x)=0,当x＜-2时,f'(x)＞0；当-2＜x＜2时,f'(x)＜0;当x＞2时,f’(x)＞0,因此x=2是极小值点，35.本题考查的知识点为求二元函数的全微分．

通常求二元函数的全微分的思路为：

36.

本题考查的知识点为微分的四则运算．

注意若u，v可微，则

37.038.本题考查的知识点为定积分的换元积分法。设t=x/2，则x=2t，dx=2dt．当x=0时，t=0；当x=π时，t=π/2。因此

39.

40.

41.

则

42.

43.

44.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

45.

列表：

说明

46.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

47.由一阶线性微分方程通解公式有

48.

49.由二重积分物理意义知

50.

51.

52.

53.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

54.

55.

56.由等价无穷小量的定义可知

57.

58.5