量词课件人教版选修

通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义．能正确对含有一个量词的命题进行否定．知道全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．

1.1.2量词

【课标要求】1．2．3．全称命题和存在性命题真假的判定．(重点)对含有一个量词的命题进行否定．(难点)常与命题的真假性判断结合考查．

【核心扫描】1．2．3．全称量词和全称命题(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做________，并用符号_____表示．(2)全称命题：含有_________的命题叫做全称命题．事实上，全称命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题．一般地，设p(x)是某集合M的所有元素都具有的性质，那么全称命题就是形如“对M中的所有x，p(x)”的命题，用符号简记为_____________．自学导引全称量词“∀”1．全称量词∀x∈M，p(x)存在量词和存在性命题(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做________，并用符号____表示．(2)存在性命题含有_________的命题，叫做存在性命题．一般地，设q(x)是某集合M的有些元素x具有的某种性质，那么存在性命题就是形“___________________________”的命题，用符号简记为_____________．存在量词“∃”2．存在量词存在集合M中的元素x，q(x)∃x∈M，q(x)想一想：同一个全称命题或存在性命题的表述是否惟一？提示不惟一．对于同一个全称命题或存在性命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，只要形式正确即可．试一试：常见的全称量词有哪些？存在量词有哪些？提示常见的全称量词有：“所有”，“任意”，“一切”，“每一个”，“任给”“凡是”等；常见的存在量词有“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“存在一个”，“对某个”，“有的”等．全称命题、存在性命题真假的判断(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x，验证p(x)成立．要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使p(x0)不成立即可(即举反例)．(2)存在性命题真假的判断：要判断一个存在性命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则，这一存在性命题是假命题．名师点睛1．全称命题、存在性命题的不同表述同一个全称命题或存在性命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法．现列表总结于下，在实际应用中可以灵活地选择.2．命题全称命题“∀x∈A，p(x)”存在性命题“∃x∈A，p(x)”表述方法①所有的x∈A，p(x)成立；②对一切x∈A，p(x)成立；③对每一个x∈A，p(x)成立；④任选一个x∈A，p(x)成立；⑤凡x∈A，都有p(x)成立.①存在x∈A，使p(x)成立；②至少有一个x∈A，使p(x)成立；③对有些x∈A，使p(x)成立；④对某个x∈A，使p(x)成立；⑤有一个x∈A，使p(x)成立.题型一

全称命题与存在性命题的概念判断下列语句是全称命题，还是存在性命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)有一个函数，既是奇函数又是偶函数；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．[思路探索]先看是否有全称量词和存在量词，当没有时，要结合命题的具体意义进行判断．【例1】解

(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”，故为全称命题．(2)含有存在量词“有的”，故是存在性命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．(4)含有存在量词“有一个”，故为存在性命题．(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．规律方法判定命题是全称命题还是存在性命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词和存在量词；另外，有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．

用量词符号“∀”“∃”表达下列命题：(1)实数都能写成小数形式；(2)有一个实数α，tanα无意义；(3)对任意实数x，都有x3>x2.解

(1)∀x∈R，x能写成小数形式．(2)∃α∈R，使tanα无意义．(3)∀x∈R，x3>x2.【变式1】指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是存在性命题，并判断真假．(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，ax>0；(2)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则tanx1<tanx2；(3)∃T0∈R，使sin(x＋T0)＝sinx；(4)∃x0∈R，使x02＋1<0.[思路探索]判断全称命题为假时，可以用特例进行否定，判断存在性命题为真时，可以用特例进行肯定．题型二

全称命题和存在性命题真假的判断【例2】解

(1)(2)是全称命题，(3)(4)是存在性命题．(1)∵ax>0(a>0，a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan0＝tanπ，∴命题(2)是假命题．(3)y＝sinx是周期函数，2π就是它的一个周期，∴命题(3)是真命题．(4)对任意x∈R，x2＋1>0.∴命题(4)是假命题．规律方法对于全称命题“∀x∈M，p(x)”，要判断它为真，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断它为假，只需在M中找到一个x0，使p(x0)不成立，即“∃x0∈M，p(x0)不成立．”对于存在性命题“∃x0∈M，p(x0)”，要判断它为真，只需在M中找到x0，使p(x0)成立，要判断它为假，需要判断“∀x∈M，p(x)不成立”．

判断下列命题的真假：(1)∀x∈R，x2＋2x＋1>0；(2)∃x0∈R，|x0|≤0；(3)∀x∈N*，log2x>0；【变式2】解

(1)∵当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，∴原命题是假命题．(2)∵当x＝0时，|x|≤0成立，∴原命题是真命题．(3)∵当x＝1时，log2x＝0，∴原命题是假命题．(4)∵当x∈R时，

设p(x)：2x＋1是奇数，试用不同的表述方法写出下列命题．(1)全称命题：∀x∈R，p(x)(2)存在性命题：∃x∈R，p(x)．[思路探索]准确选择全称量词与存在量词，是解决问题的关键．解

(1)全称命题：对所有的实数x，2x＋1是奇数；对一切实数x，2x＋1是奇数；对每一个实数x，2x＋1是奇数；凡是实数x，都有2x＋1是奇数．(2)存在性命题：存在实数x，使2x＋1是奇数．题型三

全称命题与存在性命题的不同表述【例3】至少有一个实数x，使2x＋1是奇数.对有些实数x，使2x＋1是奇数．对某个实数x，使2x＋1是奇数．规律方法全称命题说明的是所研究的所有对象都满足某一性质，而存在性命题说明的是存在一些对象满足某一性质，由于自然语言的不同，全称命题与存在性命题可有不同的表达方式，熟悉这些形式，必要时换一种表达方式，可以帮助我们正解理解题意． (1)设集合S＝{四边形}，p(x)：内角和为360°.试用不同的表述写出全称命题“∀x∈S，p(x)”．(2)设q(x)：x2＝x，试用不同的表述方式写出存在性命题“∃x∈R，q(x)”．解

(1)对所有的四边形x，x的内角和为360°；对一切四边形x，x的内角和为360°；每一个四边形x的内角和为360°；任一个四边形x的内角和为360°；凡是四边形x，它的内角和为360°；【变式3】(2)存在实数x，使x2＝x成立；至少有一个x∈R，使x2＝x成立；对有些实数x，使x2＝x成立；有一个x∈R，使x2＝x成立；对某一个x∈R，使x2＝x成立．[错解](1)(2)(3)(4)均为真命题．

判断一个命题的真假，首先要明确这个命题是全称命题还是存在性命题．对于全称命题为假命题时，只须举出一个反例即可．误区警示

判断全称命题为假命题时不能举出反例而出错【示例】[正解](1)当a＝0，b＝1时，方程无解，当a＝0，b＝0时，方程有无数解，故为假命题．