数值计算方法试题集及答案

《数值计算方法》复习试题、填空题:1、答案:4—10—14—11、答案:4—10—14—10—141—140则4的LU分解为1—4,151—1 015/4 -156/153、f(1)=—1,f(2)=2,f(3)=1,则过这三点的二次插值多项式中的系数为，拉格朗日插值多项式为答案：-1,1 1格朗日插值多项式为答案：-1,1 1L(x)=-(x—2)(x—3)—2(x—1)(x—3)—-(x—1)(x—2)2 2 24、近似值x*=0.231关于真值x=0.229有(2)位有效数字;5、设可微，求方程5、设可微，求方程x=以x)的牛顿迭代格式是()；x二x答案n+1* nx—f(x)―n n—1—f,(x)n),f[0,1,2,3,4]),f[0,1,2,3,4]=( 0 )；( 2n+1)；6、对f(x)=x3+x+1，差商f[0,1,2,3]=( 17、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差;8、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(。力)内的根时，二分n次后的误差限为10、已知f(1)=2,f(2)=3,f(4)=,则二次Newton插值多项式中x2系数为( )10、11、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A11、不为零)。12、y12、y=10+为了使计算x—1(x—1)2(x—1)3的乘除法次数尽量地少，应将该v200l-v1999改写为 <2001+V199913、用二分法求方程f(x)=x3+x-1=0在区间［0,1］内的根，13、为，1 ，进行两步后根的所在区间为 ，14、3x+14、3x+5x=1《1 2求解方程组［02x1+4x2=0的高斯―塞德尔迭代格式为〔x(k+D=(1—5x2k))/3x(k+1)=—x(k+1)/20，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径P(M)= 12 。15、设15、设f(0)=0,f(1)=16,f(2)=46，则11(x)= 11(x)=-x(x-2)的二次牛顿插值多项式为N2a416%+7双X—D。Af(x)16、求积公式akk的代数精度以(高斯型16、求积公式a有( 2n+1 )次代数精度。21、如果用二分法求方程 在区间内的根x3+x—4=0精确到三位小数，需对分(10)次。22、已知s(x4条函数，则x31 —(x—1)精确到三位小数，需对分(10)次。22、已知s(x4条函数，则x31 —(x—1)3+a(x—1)2+b(x—1)+c121<x<3是三次样a=(()，b=()，)。23、l(x)l(x)Al(x)是以整数点x,x,,xLagran!ge插值基函数，则x,x,A,x

01为节点的Enlk(x)=( 1k=0En(x4+x2+3)l(x)=(kkkk=024、)，Exl(x)=kjkk=0当时)。25、区间上的三次样条插值函数在上具有直到2阶的连续导数。26、改变函数小）=、巾_五J>>J的形式，使计TOC\o"1-5"\h\z算结果较精确 ，狂。、X十1十xX27、若用二分法求方程f©_0在区间［1,2］内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分10次。 一28、写出求解方程组l：C3二2的Gauss-Seidel.1 1 2迭代公式 ［xX"X0X，k=0」八，迭代矩 I2 1阵为〔0101。，此迭代法是否收敛收敛。\UU・U/31、设A=〔:4］，则网=9 。— —848232、设矩阵41256]的4-LU，则U=01 600f[2f[2,4,8,16,32]=34、线性方程组川1 。101134、线性方程组川1 。101121101523的最小二乘解为36、设矩阵a二分解为a:印，则24301ioT21T.二、单项选择题：1、Jacobi迭代法解方程组Ax=。的必要条件是（C）。A的各阶顺序主子式不为零A的各阶顺序主子式不为零P(A)<1Ca=0,i=12A,n DA<1~22-3一A=05 12、设 L00-7」,则为（C）.A.2 B.5 C.7 D.34、求解线性方程组Ax=b的LU分解法中，A须满足的条件是（B）。A.对称阵 B.正定矩阵C.任意阵 D.各阶顺序主子式均不为零5、舍入误差是（A）产生的误差。A.只取有限位数B.模型准确值与用数值方法求得的准确值C.观察与测量 D.数学模型准确值与实际值6、是n的有（B）位有效数字的近似值。A.6 B.5 C.4 D.77、用1+x近似表示ex所产生的误差是（ C）误差。A.模型B.观测 C.截断 D.舍入

8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是(A)。A.控制舍入误差 B.减小方法误差C.防止计算时溢出 D.简化计算x9、用1+3近似表示3G所产生的误差是(D)误差。A．舍入B．观测C．模型D．截断10、-324．7500是舍入得到的近似值，它有(C)位有效数字。A． 5 B．6C．7 D．811、设f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为(A)。A.-0.5B.0.5C.2D.-212、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C)。A. 3B.4C.5D.213、(D)的3位有效数字是X102。(A)X103(B)X10-2 (C) (D)X10-114、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=(x),则f(x)=0的根是(B )。(A)y=(x)与x轴交点的横坐标 (B)y=x与y=(x)交点的横坐标(C)y=x与x轴的交点的横坐标 (D)y=x与y=(x)的交点3x-x+4x=1123〈一x+2x-9x=023_15、用列主元消去法解线性方程组〔一4xi-3x2+x3=一1,第1次消元，选择主元为(A)。(A)-4 (B)3 (C)4 (D)-916、拉格朗日插值多项式的余项是(B),牛顿插值多项式的余项是(C)。f(x,x0,x1,x2,...,xn)(x—x1)(x—x2)...(x—xn—1)(x—xn),(B)f(n+1)&)

(n+1)!(B)f(x,x0,x1,x2,...,xn)(x—x0)(x—x1)(x—x2)...(x—xn—1)(x—xn),f(n+1)(E)R(x)=f(x)一P(x)=f-(E)3(x)n n (n+1)!n+118、用牛顿切线法解方程f(x)=0,选初始值x0满足(A )，则它的解数列{xn}n=0,1,2,...

一定收敛到方程f(x)=0的根。(A)f(x)f”(x)>0 (B)f(x)f(x)>0 (C)f(x)f"(x)<0 (D)f(x)f(x)<0000 019、为求方程x3—x2—1=0在区间［,］内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A)。11x2二 ,迭代公式:x二：TOC\o"1-5"\h\zx-1 k+1 'x 1x1 \xk1x=1+―,迭代公式：x=1+—x2 k+1 xk2(C)x3(C)x3=1+x2,迭代公式x=(1+x2)1/3

k+1 kx3—1=x2,迭代公式：x=1+ k (D) k+1 xk2+xk+121、解方程组小二b的简单迭代格式x(k+1)=Bx(k)+g收敛的充要条件是( )。(1)P(B)(1)P(B)<1P(A)>1(4)P(B)>123、有下列数表那确.2定的插值多项式的次数是( )。(1)二次；(2)三次；(3)四次；(4)五次25、取热。1.732计算*=(、回—1)4，下列方法中哪种最好( )(A)28—16*3；(A)28—16*3；(4—2<3)2；(4+1&2； (D)16(4+1)4。27、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是()X123i-1TOC\o"1-5"\h\z(AT5； ^T；； 3；(D)2。x-x+—•(x-x+—•(B)x-x+3^—•(C)x-x+—•(D)k+i2x， k+i22x， k+i2x，kk k3(A)X- k+ k+1 3x。30、用二分法求方程4柏。在区间内的实x3+4X2—10-0根，要求误差限为-2X。3，则对分次数至少为乙TOC\o"1-5"\h\z( )(A)10； (B)12； (C)8；(D)9。32、设是以x-k(k-0,i,⑼为节点的Lagrange插值基k函数，则工kl(k)-( )k-0(A)； (B)； (C)i；(D)。135、已知方程 在附近有根，下列迭x3—2x—5-0x-2代格式中在X-2不收敛的是( )(B)xk+(B)xk+1(C)x-x3—x—5；k+1 kk(A)X-3；2X+5；k+1 %k

(DL136、由下列数据确定的唯一插值多项式的次数为(((DL136、由下列数据确定的唯一插值多项式的次数为((A)4；(D)3。(B)2；)(C)1；三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打，否则打)1、已知观察值(x->i)(i=°J，2，A，m)，用最小二乘法求n次拟合多项式Pn(x1、Pn(x)的次数n可以任意取。x22、2、用1-2近似表示cosx产生舍入误差。(x-x0)(x-x2)3、(xi-x0)(xi-x2)表示在节点x1的二次(拉格朗日)插值基函数。3、4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。5、矩阵5、矩阵a=J具有严格对角占优。四、计算题：4x+2x+x=11123x+4x+2x=181231、用高斯-塞德尔方法解方程组Hxi+x2+5x3=22，取x(0)=(0，0，0)"迭代四次(要求按五位有效数字计算)1、答案：迭代格式55、已知1345f(xi)26542、已知2、已知分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求的三次插值多项式P3（x）,并求的近似值（保留四位小数）。答案：(x-答案：(x-3)(x-4)(x-5)(1-3)(1-4)(1-5)+6(x-1)(x-4)(x-5)(3-1)(3-4)(3-5)+5(x-1)(x-3)(x-5)+4(x-1)(x-3)(x-4)(4-1)(4-3)(4-5) (5-1)(5-3)(5-4)差商表为一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-101P(x)=N(x)=2+2(x-1)-(x-1)(x-3)+-(x-1)(x-3)(x-4)33 4f⑵XP3⑵二5.5

求的二次拟合曲线p2(x)，并求的近似值。答案：解：正规方程组为5正规方程组为5a+10a=150210a=3110a+34a=4110311—+—x+—x10311—+—x+—x2710 1410—,a713—,a1011214311p'(x)=—+ x2 10 73f(0)氏p2(0)=10i0-244-816-8161-121-11-22201000003131113342548161020015100343416、已知区间［，］的函数表如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小并求该近似值。答案：解：应选三个节点，使误差尽量小，即应使।①3(x)|尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点｛0.5,0.6,0.7｝最好，实际计算结果sin0.6389120.596274，且

sin0.63891—0.5962741,一一一 一一 .<可|(0.63891-0.5)(0.63891-9-0.6)(0.63891-0.7)|<0.55032义10-47、构造求解方程"+10x-2=0的根的迭代格式xn+1=5(xJn=OJZA，讨论其收敛性，并将根求出来，1xn+1-xnk10-4答案：解：令f(x)=ex+10x-2,f(0)=-2<0,f(1)=10+e>0.且f，(x)=ex+10>0对VxG(-^，+^)，故f(x)=0在(0,1)内有唯一实根.将方程f(x)=0变形为x=—(2-ex)10则当xG(0,1)时I6(x)1=--10故迭代格式1x——(2exn)TOC\o"1-5"\h\zn+1 10收敛。取x0=0.5，计算结果列表如下:n0123127872424785877325n4567595993517340525950525008TOC\o"1-5"\h\z且满足।x7-x61<0.00000095<10-6.所以x*20.090525008x+2x+3x=141 2 32x+5x+2x=181 2 38、利用矩阵的LU分解法解方程组〔3x+x+8、利用矩阵的LU分解法解方程组〔12 3A=LU=答案：解：令Ly=b得y=(14,-10,-72)t,Ux=y得x=(1,2,3)t9、对方程组〔3x+2x+10x=1512 310x-4x一x=9、对方程组〔3x+2x+10x=1512 310x-4x一x=512 32x+10x-4x=81 23(1)试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由;(2)取初值X(0)=(0，0，0)T,利用(1)中建立的迭代公式求解，要求IIx(k+D——x(k)II<10-38解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优10x-4x-x=51232x+10x-4x=81 233x+2x+10x=1512 3故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为,一、 1x(k+1)=—(101Ix(k+1)=_(-2x(k+1)10 14x2(k)+x3k)+5)x3k包=!(-3呼+1)-2x22+1) +15)取X⑼=(0,0,0)T，经7步迭代可得:X*XX⑺=(0.999991459,0.999950326,1.000010)t10、已知下列实验数据xif(x)试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。解：当0<x<1时，f"(x)=ex,则If(x)1<e Lxdx，且0有一位整数.要求近似值有5位有效数字，只须误差R(n)(f)1<-X10-42R(n)(f)\<R(n)(ex)< <——

12n212n2即可，解得-n>:ex102=67.30877•••

\'6所以n=68，因此至少需将［0,1］68等份。11、用列主元素消元法求解方程组解：-4-所以n=68，因此至少需将［0,1］68等份。11、用列主元素消元法求解方程组解：-4-12111525121r一一r51—2r——r511513T2515-1285793"-4-4-1212、r+—r3132回代得取节点12、r+—r3132回代得取节点x0=0，x113工1551379大513x3-—1,x2=6,x1=3=0.5,x2-1,求函数f（x）=e-x在区间［0,1上的二次插值多项式P2（x），并估计误差。解：P(x)=e-0x(x一°.5)(x-1)+e-0.5x(x-0)(x一])

2 (0-0.5)(0-1) (0.5-0)(0.5-1)解：+e-1x(x-0)(xS

(1-0)(1-0.5)=2(x-0.5)(x-1)-4e-0.5x(x-1)+2e-1x(x-0.5)f(x)=e-x,f'"(x)--e-x,M-max\frx)I=1又 3x可0,1]1 _IR(x)1-1e-x-P(x)l< Ix(x-0.5)(x-1)1故截断误差2 31故截断误差15、用牛顿（切线）法求的近似值。取x0=,计算三次，保留五位小数。

解：是f(x)=X2-=1(-X(k+1)+X(k+=1(-X(k+1)+X(k+1) -8) 1 2X=Xn+1 nX=%+-^―(n=0,1,2,A)

X=Xn+1 nnn123取x0=,列表如下:nL(x)=2x解：2(x-1)(x-2)+3xn123取x0=,列表如下:nL(x)=2x解：2(x-1)(x-2)+3x(x+1)(x-2)-4x(x+1)(x-1)(一1一1)(一1一2)(1+1)(1—2)(2+1)(2-1)TOC\o"1-5"\h\z2 3 4=-(x-1)(x-2)--(x+1)(x-2)--(x+1)(x-1)

3 2 3- - 1 /f(1.5)氏L2(1.5)=^^氏0.0416718、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组f311v1x1x2X35-1-8保留三位小数。保留三位小数。取x(0)=(0,0,0)t,列表计算三次，解：Gauss-Seidel迭代格式为：X(k+1)1二3(-x3k)+5)1 ,八八<X(k+1)2X(k+1)

3——(-x(k<X(k+1)2X(k+1)

3系数矩阵严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛.公式拟合以下数据：解：19253038①=span{1,x2}At=1111192解方程组312382yT=119.032.349.073.3解：19253038①=span{1,x2}At=1111192解方程组312382yT=119.032.349.073.31AtAC=ATy其中AtA=解得：C=3391339135296030.9255577-0.050102522、（15分）方程ATy=173.6179980.7所以=0.9255577，b=0.0501025在附近有根，把x3-x-1=0x=1.5方程写成三种不同的等价形式（1）.tK对应x―3：x+1\:1+:对应迭代格式xE；\:1+:对应迭代格式xE；(2)x=x3n+1 1xn+1=；（3）x=x31对应迭代格式x二x3-1。判断迭代格式在x=15的收敛性，选一种收敛格式计算附近的0根，精确到小数点后第三位。x=1.5解：(1)6(x)解：(1)6(x)=3(x+1)-；,P(1.5)=0.18<1，故收敛；6(x)=-(2)2x2V1+x，甲(1.5)=0.17<1，故收敛；故发散。故发散。(3)叭x)=3x2，|b(1.5)=3x1.52>1，选择(1)：x=1.5，x=1.3572，x=1.3309，x=1.3259，x=1.3249，01 2 3 4x=1.32476，x=1.3247223、(8分)已5知方程组6AX ，其中23、AX=f

4334-1-142430-24（4334-1-142430-24（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。解：Jacobi迭代法:x(k+1)=1(24-3x(k))1 4 2x(k+1)=1(30-3x(k)+x(k))2 4 1 3x(k+1)=1(-24+x(k))

34 2k=0,1,2,3,AGauss-Seidel迭代法:x(k+1)=1(24-3x(k))

14 2x(k+1)=1(30-3x(k+1)+x(k))2 4 1 3x(k+1)=1(-24+x(k+1))34 2k=0,1,2,3,AB=-D-1(L+U)=j0 -3z-3400 3；0340P（Bj）1尻（或者二①79056931、（12分）以100,121,144为插值节点，用插值法计算的近似值，并利用余项估计误差。用Newton插值方法：差分表：100101211114412100101211114412<115”10+(115-100)(115-100)(115-121)<115”10+(115-100)(115-100)(115-121)RI=RI=£3即-100)115一⑵如5-144：13 5< 100-2x15x6x29氏0.001636833.（10分）用Gauss列主元消去法解方程组:x+4x+2x=24TOC\o"1-5"\h\z12 3v3x+x+5x=342 3x+6x+x=27i1 2 30.00000x:(2.0000,3.0000,5.0000)(134、（834、（8分）求方程组解。的最小二乘^AtAI=A^AtAI=Arb，(Ml，-1.333312.0000)若用Householder变换，则:(-1.73205-3.464104.61880'(A,b)- 0 -0.36603