高中数学选择性必修二 导数的概念及其几何意义教学设计

导数的概念及其几何意义教学设计

课题导数的概念及其几何意义单元第二单元学科数学年级高二

教材

分析《导数的概念及其几何意义》是2019人教A版数学选择性必修第二册第五章的内容。

本节课的主要内容是导数的概念及其几何意义。

导数是微积分的核心概念之一，是研究函数增减、变化快慢、最值等问题的最有效工具。

教材按照“平均变化率-瞬时变化率-导数的概念-导数的几何意义”的顺序安排，采用“逼

近”的方法，从数形结合的角度定义导数，使导数概念的建立形象、直观、易于理解，突出

了导数概念的本质。

导数及其几何意义是本章中的核心概念，它是研究函数的基础，在学习过程中，注意特

殊到一般，数形结合，极限等数学思想方法是渗透。

1数学抽象：导数的概念

2逻辑推理：导数的概念及其几何意义

教学

3数学运算：求曲线在某点出切线的斜率

目标

4数学建模：掌握“平均变化率-瞬时变化率”的知识，为导数的学习打好基础的同时，也能

与

学习利用导数解决实际问题

核心

素养5直观想象：导数的其几何意义

6数据分析：通过经历“复习巩固一归纳总结一得出导数概念一例题讲解一练习巩固”的过

程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。

重点

难点

教学过程

教学环节教师活动学生活动设计意图

导入新课

前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理复习引入

学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；另一类是

几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率.这两类

问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采

用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想

方法；问题的答案也有一样的表示形式.下面我们用

上述思想方法研究更一般的问题.

缩短时间间隔_

平均速度力------->瞬时速度”(to)

、缩短时间间隔

平均变化率------->瞬时变化率

讲授新课

平均变化率通过对上节两个

函数y=y&)，从看到冷的平均变化率：知识的回顾，引

(1)自变量的改变量：△%=%2-工1导学生抽象出导

(2)函数值的改变量：Ay=/(x2)-/(Xi)数的概念。发展

(3)平均变化率学生数学抽象、

Ay_/(工2)-/~(%1)_数学运算、数学

△xx2-%iNK

建模等核心素

养。

注：对Ax,Ay的理解

1.Ax,Ay是一个整体符号，不是A与x,y

相乘.

2.Xi，x2是定义域内不同的两点，因此

Lx¥0,但可正、可负；

△y=/(%2)-/(Xi)是函数值的改变量，可正、

可负，也可为0,

因此平均变化率可正、可负，也可为零

函数的平均变化率为0,并不一定说明函数火x)

没有变化根据物体的路

程关于时间的

瞬时变化率函数求速度与

函数y(x)在x=而处的瞬时变化率是函数式的加速度和求已

从Xo到&+的平均变化率在△%T0时的极知曲线的切线

限，即这两类问题直

..Ay..f(劭+△%)-/(劭)接促使了导数

lim-7-=hm-------；----------

Ax->oAxAx。AX

的产生

导数的概念

①定义：如果当Ax-0时，平均变化率?无限

Ax

趋近于一个确定的值，即受有极限，则称y=/(x)

在x=出处可导，并把这个确定的值叫做y=

f(x)在x=&处的导数(也称为瞬时变化率)，

记作/'(殉)或y'|x=x。，即

/,(q)=lim^=lim—+词-殁。)

②几何意义：函数/U)在点X0处的导数f(xo)

的几何意义是曲线y=A龙)在点展也由处的切线

斜率.(瞬时速度就是位移函数s⑺对时间r的导数)

相应地，切线方程为丫一人如)=尸(xo)(x—演＞).

注意求曲线切线时，要分清在点P处的切线与

过点P的切线的区别，前者只有一条，而后者包

括了前者.

③函数/U)的导函数：

称函数/'(x)—lim八J八，为外)的

Ax-0

导函数.

导数概念的理解

(1)导数是一个局部概念，它只与函数y=/[x)

在x=g处及其附近的函数值有关，与Ax无关.

(2)f\x0)是一个常数，即当AxTO时，存在

一个常数与g竽©I无限接近.

△x

由导数的定义可知，

通过对上节课问

问题1中运动员在t=\时的瞬时速度v(l),就

题的再思考和分

是函数/i(t)=-4.9t2+4.8t+11在1=1处的导数

析，进一步理解

%(1)；导数的意义。。发

问题2中抛物线/(x)=%2在点Po(l，1)处的展学生数学抽

切线的斜率心，就是函数/(X)=产在X=1处象、数学运算、数

的导数/(1).学建模等核心素

实际上，导数可以描述任何运动变化事物的瞬养。

时变化率，如效率，国内生产总值(GDP)的增长

率等.

例1设/(%)=;，求/(1).

解：

1」

/'(l+Ax)-/⑴1+Ax1

/(1)=lim-----------------------=hm-------

△x->0△%Ax->0A%

=lim(A)=1

△x^o\1+A%/

例2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不

同产品，需要对原油进行冷却和加热.已知在第xh

时，原油的温度(单位:。0为y=/(x)=x2-7x+

15(0<%<8).计算第2h与第6h时，原油温度的

瞬时变化率，并说明它们的意义.

解：在第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化

率就是尸(2)和((6).

根据导数的定义，

Ay_/(2+Ax)-/(2)_

△%Ax

(2+AX)2-7(2+AX)+15-(22-7X2+15)_

△%

4AX+(AX)2-7AX_八&

Ax-X'

所以

f'Q)=愿如杷。3-3)=-3.

同理可得r(6)=5请学生自己完

成具体运算过

在第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率分程

别为-3℃/h与5℃//i.说明在第2h附近，原

油温度大约以3的速率下降，在第6h附近，

原油温度大约以5汽"的速率上升.

一般地，f'（x0）（0-的W8）反映了原油温度

在时刻与附近的变化情况.

例3一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设

ts时汽车的速度（单位：m/s）为y=v（t）=-t2+

6t+60,求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速

度，并说明它们的意义.

分析：瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化

率，因此，在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度

分别为“'(2),M(6).

解：在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分

别为"'(2)和v鼠6).

根据导数的定义，

△y_v(2+At)-v(2)_

△tAt

22

-(2+At)+6(2+At)+60-(-2+6x2+60)A-C

At=禄+3，

所以

△y

vr(2)=lim—=lim(—At+2)=2

AsoAtAt-»O

同理可得v'(6)=-6

在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别

此处切线的定

2m/s2与一6m/s2.说明在第2s附近，汽车的

义与初中学过

速度每秒大约增加2m/s，；在第6s附近，汽车的速

的圆的切线定

度每秒大约减少6m/s.

义有什么不

同？

思考

利用信息技术

观察函数内（x）的图象（图5.1-3）,

工具，演示图

斗y=fi.x)/

危(Mx):k

5.1-4中P0P

//卜的人讨即）

的动态变化效

0\&3+X果，做一做，

图5.1-3看一看！

平均变化率

△y=fGo+Ax)-/(殉)

Ax

表示什么？瞬时变化率

/，a)=同学=仁川。+?一/(3

'Ax->0A%Ax->0△%

表示什么？

数学上常用简

提示：平均变化率

单的对象刻画

△y=fGo+Ax)-/(&)

△%△%复杂的对象.

表示割线PoP的斜率.例如，用有理

数3.1416近

如图5.1-4,似代替无理数

兀.这里，我们

用曲线上某点

处的切线近似

代替这一点附

近的曲线，这

是微积分中重

图5.1-4要的思想方法

在曲线产y(x)上任取一点P(X,/(%)),

----以直代

如果当点P(xJ(x))沿曲线内(X)无限趋近于

曲.

点PoQo,/Oo))时，割线P°P无限趋近于一个确定

的位置，这个确定位置的直线P°r称为曲线y=fM

在点治处的切线.

易知，割线&P的斜率

x-%0

记Ax=x-xQ9当点P沿着曲线月(x)无限趋

近于点P。时，即当t0时，k无限趋近于函数y=f

(X)在X=出处的导数.

因此，函数内(X)在x=%0处的导数尸(%0)

(即瞬时变化率)，就是切线的斜率心，

即

=/(x0+Ax)-/(x0)^

，-蚂Ax-/(。)

这也导数的几何意义.

继续观察图5.14,可以发现点P。处的切线P°r

比任何一条割线更贴近点Po附近的曲线.进一步

地，利用信息技术工具将点卅附近的曲线不断放大

(如图5.1-5),可以发现点Po附近的曲线越来越接

近于直线.因此，在点％附近，曲线可以用

点Pc处的切线近似代替.

///

///

图5.1-5

例4图5.1・6

11

图5.1-6

是高台跳水运动员的重心相对于水面的高度

随时间变化的函数

h(t)=-4.9t2+4.8t+11

的图象.

根据图象，请描述、比较曲线6⑴在t=

附近的变化情况.

解：我们用曲线双。在1=£051」2处的切线的

斜率，刻画曲线〃⑴在上述三个时刻附近的变化情

况.

(1)当£=无时，曲线岚0在《="处的切线

“平行于，轴，〃(%)=0・这时，在"片附近曲

线比较平坦，几乎没有升降.

(2)当t=一时,曲线依)在t=-处的切线k

的斜率"QD<0.这时，在t=t］附近曲线下降，

即函数〃⑴在t=q附近单调递减.

(3)当t=，2时，曲线人⑴在t=处的切线，2

的斜率出«2)<0.这时，在t=t2附近曲线下降，即

函数〃⑴在t=t2附近也单调递减.

从图5.1-6可以看出，直线的倾斜程度小于直

线，2的倾斜程度，这说明曲线〃⑴在士=G附近比在

t=匕附近下降得缓慢.

例5图5.1-7是人体血管中药物浓度勺7)(单

位：mg/mL)随时间t(单位：min)变化的函数图

象.根据图象，估计t=0.2,0.4,0.6,0.8min时，

血管中药物浓度的瞬时变化率(精确度0.1).

解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，

就是药物浓度W)在此时刻的导数，从图象上看，它

表示曲线大。在此点处的切线的斜率.

如图5.1-7,画出曲线上某点处的切线，利用网

格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度

瞬时变化率的近似值.

作匚0.8处的切线,并在切线上取两点，如(0.7,

0.91),(1.0,0.48),则该切线的斜率

0.48-0.91

k.=——————-x—1.4

1.0—0.7

所以

f'(0.8)®-1.4

表5.1-3给出了药物浓度的瞬时变化率的估计

值.

«5.1-3

ta20.40.60.8

药物浓度的■时变化率Q4o:77-L4

从求函数月(幻在％=与处导数的过程可以看

到,当X=Xo时，f'(x0)是一个唯一确定的数.

这样，当X变化时，y=f'(X)就是X的函数，

我们称它为词用的导函数(简称导数).词R的

导函数有时也记作y',即

f\x)=y'=lim.

Ax->0Ax

课堂练习：

1根据导数的定义求下列函数的导数.

(1)求函数y=%2+3在x=l处的导数；

(2)求函数y=:在%=a(a00)处的导数.

解:(1)Ay=f(l+Ax)—/(I)=[(1+Ax)2+

3]-(I2+3)=2Ax+(Ax)2

...包=叫块立=2+A%

AxAx

y'\=i=lim(2+Ax)=2

xAx-»0

(2)

11

△y=/(a+△%)f(a)=a+Axa

a—(a+△%)Ax

=-----------=-----------

a(a+Ax)Q(Q+Ax)

.Ay_Ax1_1

Axa(a+Ax)Axa(a+Ax)

yr\-=Hm[——1

Jlxx~a-La((a+AAx)JJ—a2

求函数y=_Ax)在点X。处的导数的三个步骤

1求函数的增量1-»△「=八与+―/(%)]

1

求函数的平均_△)'_f(-0+△.r)一f(即)

变化率

取极限，得导数1一/(二)=?啮

2已知函数,人幻在x=出处导数的4,则

|im/(%0+3.二)一/(「0)_

△x->0Ax

解：

|imf(%o+3Ax)_/(ro)_

Ax-OAX

①包山x3]=

△x^O3Ax」

3Hmf(x°+3ya°)=3/,(%0)=3x4=12

-3Ax

答案：12

注：

(1)本题中x的增量是3Ax,即(%o+3Ax)

%o=3Ax,而分母为△%,两者不同，若忽视这一点

则易得出结论为4的错误答案.

(2)在导数的概念中，增量的形式是多种多才毕

的，但无论是哪种形式，分子中自变量的增量与5

母中的增量必须保持一致.

3长方形的周长为10,一边长为x.其面积为S.

(1)写出S与x之间的函数关系；

(2)当x从1增加到1+Ax时，面积S改变了刍

少？此时，面积S关于x的平均变化率是多少？角帛

释它的实际意义；

(3)当长从x增加到x+Ax时，面积S改变了4

少？此时，面积S关于x的平均变化率是多少？

(4)在x=\处，面积S关于x的瞬时变化率是W

少？解释它的实际意义；

(5)在x处，面积S关于x的瞬时变化率是多少?

解释它的实际意义.

解：

(1)长方形的周长为10,一边长为x,则另一边

为5-x,

所以S=x(5-x)=-x2+5x(0<x<5)

(2)

△S=-(1+Ax)2+5(1+Ax)-(-1+5)

=3Ax—(Ax)2

・.・AS=„.

—△x3-Ax

答：面积S改变了：3Ax—(Ax)2

此时，面积S关于x的平均变化率是3,它的实

际意义：在