河北省邯郸市2022年高三第三次模拟考试数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合/＞={月％-240},。={X]140，，贝!）。严0。为（）

A.[0,2）B.（2,3]C.[2,3]D.（0,2]

2.已知点尸不在直线/、m上，贝心过点P可以作无数个平面，使得直线/、都与这些平面平行”是“直线/、机互相

平行”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.将3个黑球3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法

共有（）

A.14种B.15种C.16种D.18种

r221

4.已知椭圆三+v齐=1（。＞人＞0）的右焦点为尸，左顶点为A,点尸椭圆上，且M_LAF,若tanNP4/=耳，则

椭圆的离心率e为（）

]_2

B.D.

433

5.在正方体ABC。-44GA中，点E,F,G分别为棱AQ-RD,A£的中点，给出下列命题：①A£_LEG；

IT

②GCHED；③平面8GG；④EF和成角为」.正确命题的个数是（）

4

A.0B.1C.2D.3

6.已知正方体ABC。-A4G。的棱长为2,点M为棱的中点，则平面ACM截该正方体的内切球所得截面面

积为（）

7.执行下面的程序框图，如果输入加=1995,〃=228,则计算机输出的数是（）

//&n,n/

|求m除以:看箱薪一]

Im=nJ

In=7]

/输电m/

蜃)

A.58B.57C.56D.55

8.在复平面内，复数z=a+bi(a,人eR)对应向量应(。为坐标原点)，设|无卜乙以射线Ox为始边，OZ

为终边旋转的角为。，则z=r(cos6+isin6),法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：4=《(cosq+ising),

Z2=々(cos。?+isin2)，则z4=径[cos(q+6>2)+zsin(^+6>2)],由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：

[r(cose+isin。)]"=r"(cos〃e+isin〃e),已知z=(6+i)，则口=()

A.273B.4C.8GD.16

9.若直线2x+y+，〃=0与圆Y+2x+y2—2丁一3=0相交所得弦长为2有，则机=()

A.1B.2C.y/5D.3

10.已知i为虚数单位，实数x,y满足(x+2)=y-i,则|x—y”=()

A.1B.y/2C.>/3D.V5

11.三棱锥S—ABC中，侧棱SA,底面ABC,AB=5,8c=8,N8=60°,SA=2加,则该三棱锥的外接球

的表面积为()

642564362048式

A.—7iB.-----71C.-----7iD.-------737r

33327

12.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：

“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点

取自内切圆的概率是()

7171_7T71

A.—B.—C.—D.一

12369

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

qr

13.将函数/(x)=sin2x的图像向右平移;个单位，得到函数g(x)的图像，则函数y=/(x)-g(x)在区间0,-上

oL2_

的值域为.

14.已知”0,记./'(7)=，(1—。；2》+《4/—以8/+..._玛128/+或256炉)办:，贝！j/⑺的展开式中各项系数

和为.

15.已知两个单位向量£出满足K+5|=恒|，则向量£与石的夹角为.

16.已知半径为4的球面上有两点--，--=《、▼,球心为O,若球面上的动点C满足二面角-_-的大小

为60。，则四面体二二二二的外接球的半径为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数y=/(x).若在定义域内存在.％,使得/(—』)=—〃/)成立，则称“为函数y=〃x)的局

部对称点.

(1)若a,beR且。/)，证明：函数〃制=以2+笈-。有局部对称点；

(2)若函数g(x)=2'+c在定义域卜1,1］内有局部对称点，求实数c的取值范围；

(3)若函数〃(x)=4'-加2川+小一3在R上有局部对称点，求实数，”的取值范围.

18.(12分)已知椭圆C:、+4=l(a>b>0)的离心率为也，且过点(1,亚).

ab22

(I)求椭圆C的方程;

(H)设Q是椭圆。上且不在x轴上的一个动点，。为坐标原点，过右焦点尸作OQ的平行线交椭圆于“、N两个

不同的点，求云云的值.

IOQ|2

19.(12分)已知418。中，角A，8,C的对边分别为。，人，。，已知向量历=(cosB,2cos?£-1),n=(c,b-2a)

2

且加•〃=0・

(1)求角C的大小；

(2)若AABC的面积为2jLa+b=6,求c.

20.(12分)已知a>0,b>0,a+b=2.

(I)求,+丁工的最小值；

ab+\

jo

(n)证明：

baah

21.(12分)若正数。，4c满足a+6+c=l,求」一+」一+一一的最小值.

3a+238+23c+2

22.(10分)已知椭圆W:弓+丁=1的右焦点为尸,过点尸且斜率为左(4/0)的直线/与椭圆亚交于4,6两点,线

段4B的中点为M,。为坐标原点.

(1)证明:点M在>轴的右侧；

(2)设线段AB的垂直平分线与x轴、丁轴分别相交于点G。.若△O/无与△CMF的面积相等，求直线/的斜率攵

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

先求出P={x|xW2},Q={x|0<xW3},得到5P={x|x>2},再结合集合交集的运算，即可求解.

【详解】

由题意，集合尸={x|x_2VO},Q={x|±Jwo],

所以P={x|xW2},Q={x[0<x«3},则4P={x|x>2},

所以(6RP)「Q={X|2<X43}=(2,3].

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、补集的定义及运算是解答的关键，着重考查了计算能

力，属于基础题.

2.C

【解析】

根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】

•••点产不在直线/、加上，

・・・若直线/、〃?互相平行，则过点P可以作无数个平面，使得直线/、，”都与这些平面平行，即必要性成立，

若过点P可以作无数个平面，使得直线/、〃7都与这些平面平行，则直线/、，〃互相平行成立，反证法证明如下：

若直线/、〃，互相不平行，则异面或相交，则过点P只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即

充分性成立

则“过点P可以作无数个平面，使得直线/、加都与这些平面平行”是“直线/、〃?互相平行”的充要条件，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键.

3.D

【解析】

采取分类计数和分步计数相结合的方法，分两种情况具体讨论，一种是黑白依次相间，一种是开始仅有两个相同颜色

的排在一起

【详解】

首先将黑球和白球排列好，再插入红球.

情况1：黑球和白球按照黑白相间排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此时将红球插入6个球组成的7个空中

即可，因此共有2x7=14种；

情况2：黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑

黑白”），此时红球只能插入两个相同颜色的球之中，共4种.

综上所述，共有14+4=18种.

故选：D

【点睛】

本题考查排列组合公式的具体应用，插空法的应用，属于基础题

4.C

【解析】

（b2}1

不妨设。在第一象限，故Pc,一,根据tanNPAE：；；得到l—e—2e2=0,解得答案.

<a）2

【详解】

（b2}匕

不妨设P在第一象限，故Pc,一,1,即片一比一2c2=0,

atanZPAF=au=—

'）Q+C2

即l-e-2e2=0,解得e=:，e=-l（舍去）.

2

故选：c.

【点睛】

本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力.

5.C

【解析】

建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.

【详解】

设正方体边长为2,建立空间直角坐标系如下图所示，A（2,0,0）,C1（0,2,2）,G（2,l,2）,

C（0,2,0）,4,0,2）,吸0,0）,4（222）,网0,0,1）,5（2,2,0）.

①，藕=（一2,2,2）,丽=（1,1,0）,蓝•函=-2+2+0=0,所以AGJ_EG,故①正确.

②，GC=（-2,1,-2）,£D=（-1,0,-2）,不存在实数;I使充=2历，故GC7/ED不成立，故②错误.

③，斯=（一2,-2,-1）,蕊=（0,—1,2）,阿=（一2,0,2）,B^FBG=0,BjFBQ=2^0,故B/J■平面BGQ不

成立，故③错误.

EFBB-2

④，丽=(-1,0,-1),西=(0,0,2),设族和成角为凡贝!Jcos6=.亚由于

V2x2~T

O.?，所以e=J,故④正确.

IN」4

综上所述，正确的命题有2个.

【点睛】

本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.

6.A

【解析】

根据球的特点可知截面是一个圆，根据等体积法计算出球心到平面ACM的距离，由此求解出截面圆的半径，从而截

面面积可求.

【详解】

如图所示：

设内切球球心为。，。到平面ACM的距离为Q,截面圆的半径为

因为内切球的半径等于正方体棱长的一半，所以球的半径为1,

=Xf

又因为VO-AMC^M-AOC>所以;X"XS'MC=~^AOC

又因为S.AMC=3又2血乂小（石F—（亚丫=娓，S.A℃=gx26Xl=6,

所以'xdx遥=2,所以

333

所以截面圆的半径r=所以截面圆的面积为S=%（曰）=?.

故选：A.

【点睛】

本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算，难度一般.任何一个平面去截球，得到的截面一定是圆面,

截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算.

7.B

【解析】

先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可.

【详解】

本程序框图的功能是计算〃?，”中的最大公约数，所以1995=228x8+171,

228=171x1+57,171=3x57+0,故当输入加=1995,〃=228,则计算机输出的数

是57.

故选：B.

【点睛】

本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题.

8.D

【解析】

根据复数乘方公式：[r(cose+isine)]"=r"(cos“e+isin〃。)，直接求解即可.

【详解】

z=(G+i)=2-^+夕=16^cos-^+zsin^

=16cos(4xV)+isin(4x?=-8+8>/3z,

|Z|=^(-8)2+(8^)2=16.

故选：D

【点睛】

本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形

式，属于基础题.

9.A

【解析】

将圆的方程化简成标准方程，再根据垂径定理求解即可.

【详解】

圆/+2x+y2-2y-3=0的标准方程(x+1)2+(y-l)2=5，圆心坐标为(一1,1),半径为石，因为直线2x+y+m=0

与圆/+2%+：/-2^-3=0相交所得弦长为2石,所以直线2%+丁+/〃=0过圆心,得2乂(-1)+1+"2=0,即加=1.

故选：A

【点睛】

本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法，属于基础题.

10.D

【解析】

,.,(x+2z)z=y-i,-2+xi=

则|x-川=I-1+2i\=V5.

故选D.

【解析】

由题，侧棱SA_L底面ABC,AB=5,BC=8,/B=60°,则根据余弦定理可得8C=,52+8z—2x5x8x,=7,

BC7

△ABC的外接圆圆心"-sinB一忑一‘一忑

T

锥的外接球的表面积为S==寸"

点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径E公式是解答的关键.

12.C

【解析】

利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率计算公

式，即可求解.

【详解】

由题意，直角三角形的斜边长为，82+62=10,

利用等面积法，可得其内切圆的半径为厂=，、…=2,

6+8+10

兀_71

所以向次三角形内投掷豆子，则落在其内切圆内的概率为1，。一Z.

x6x8

2

故选：C

【点睛】

本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题，其中解答中熟练应用直角三角形的性质，求得其内切圆的半径

是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

r6i

13.13,1

【解析】

根据图像的平移变换得到函数g(x)的解析式，再利用整体思想求函数的值域.

【详解】

函数/(X)=sin2x的图像向右平移B个单位得g(x)=Sin2(x—无)=sin(2%--),

663

,,y=/(x)-g(x)=sin2x-sin(2x-])=gsin2x+cos2x-sin(2x+y)，

八乃〕c71「不4万

XG0,—2xH--£—.---

2j3133_9

••ye'--6—,1/.

-J7-

故答案为：一三，1.

【点睛】

本题考查三角函数图像的平移变换、值域的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算

求解能力，求解时注意整体思想的运用.

1

14.-

9

【解析】

根据定积分的计算，得到/(。=一!(1—2，)9+上，令f=l,求得/(1)=4，即可得到答案.

10109

【详解】

根据定积分的计算，可得

/⑺=f(1—C：2x+C；4f_C8d+…一c；128『+C；256f)〃=/(1—2x)8tZx=-—(1-2x)9

JoJo18

=-—(l-2r)9+—,

1818

令/=1，贝(=—焉(l—2xiy+焉="，

即fQ)的展开式中各项系数和为1.

【点睛】

本题主要考查了定积分的应用，以及二项式定理的应用，其中解答中根据定积分的计算和二项式定理求得/⑺的表示

是解答本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

【解析】

由|2+引=|£|得cos&,B〉=-g,即得解.

【详解】

由题意可知|吊=|引=1,贝!l|；+i/=2+2：)=l.

--1--1

解得a.0=-/,所以cos〈a,力=-耳，

向量Z与B的夹角为2胃7r.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积的计算和夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

16.-

孚

【解析】

设△二二二所在截面圆的圆心为二，二二中点为二，连接二二，二，二，

易知------.即为二面角-———-的平面角，可求出——；-及—.，然后可判断出四面体-----外接球的球心-在

直线，上，在Rt/,中，-,-；+-厂；=-»结合----；---------------:，可求出四

―1-I，—J——1LLJLLJLLJLHTLLL1L

=ILU-UUPDE=□,|D-vO|

面体二二二二的外接球的半径二

【详解】

设△二二二所在截面圆的圆心为二.，二二中点为二，连接二二二，二，

OA=OB,所以，ODLAB,同理O】D，AB,所以，二二二二即为二面角二_二二一二的平面角，

二匚匚二」=60"

因为、所以..---是等腰直角三角形，%巧，

__——_~yx___..一一一/、'4

在R----.中，由cos6(T=，得--一F,由勾股定理，得：——7，

IkiA——一1_.3—y——Vx——j-

因为Oi到A、B、C三的距离相等，所以，四面体二二二二外接球的球心二在直线二二上,

设四面体二二二二外接球半径为二，

由勾股定理可得：二/二：+二/二：=二二;，即『0+(二向；=二、解得一

C=T

【点睛】

本题考查了三棱锥的外接球问题，考查了学生的空间想象能力、逻辑推理能力及计算求解能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)见解析(2)——<c<—1(3)1—&

【解析】

⑴若函数=有局部对称点，则/(—x)+/(x)=o，即®2+"叫+弧2一版一")=0有解，即可求证;

(2)由题可得g(—x)+g(x)=o在［一1,1］内有解，即方程2*+2一+2c=0在区间［T，l］上有解，则-2c=2'+2T,设

t=2'(-1<x<1),利用导函数求得2、+2一，的范围，即可求得。的范围；

(3)由题可得〃(—x)+〃(x)=0在R上有解，即4-v-m-2-x+,+〃，-3+(4*-m-2x+i+疗-3)=0在R上有解，设

2,+2r22)，则可变形为方程/一2mf+2，/—8=0在区间［2,+8)内有解，进而求解即可.

【详解】

(1)证明:由/(x)=ax2+"-a得/(-x)=ax2-bx-a,

代入/(-X)+/‘(X)=O得(奴2+bx-a^+(ax1-/?x-a)=0,

则得到关于x的方程以2一。=0(470),由于。€/?且。。0,所以％=±1,

所以函数/(x)="2+法一a(a。0)必有局部对称点

(2)解:由题，因为函数g(x)=2、+c在定义域［-1』内有局部对称点

所以g(―x)+g(x)=0在［-1,1］内有解，即方程2、+2-工+2c=0在区间［T，1］上有解，

所以-2。=2*+2-*,

设，=2'(—14x41),则gv/42,所以-2c=f+：

11.,1(，一1)(/+1)

令As(t)=r+-,-<r<2,贝！Js«)=1一一=----5------,

t2rr

当te时,s'Q)<0,故函数S⑺在区间G，1上单调递减，当re(1,2)时,s'(r)>0,

故函数,，⑺在区间(1,2)上单调递增，

所以5(九一。)=2，

因为⑵=|，所以，(入、=|，所以2金+卜|，

所以4c4—1

4

(3)解:由题,一(—%)=4-x-m-2-x+l+m2-3,

由于〃(—x)+〃(x)=0,所以—加•+/—3+(4'—-3)=0,

所以(4'+4-')-2加(2"+2-£)+2(4一3)=0(*)在R上有解，

令Y+Tx=t(t>2),则4*+4T=*_2,

所以方程(*)变为/—2?加+2/7?—8=0在区间［2,一)内有解，

需满足条件：

22

A=4m-8(m-4)>0(

I-2V2<m<2<2

‘2加+’4(8-叫上，BPll-V3</n<2V2，

.2一

得l-6WmW26

【点睛】

本题考查函数的局部对称点的理解，利用导函数研究函数的最值问题，考查转化思想与运算能力.

22

18.(I)土+工-=1(II)1

42

【解析】

(I)由题，得e=3=也,2+±=1,解方程组，即可得到本题答案;

a2

x=my

(II)设直线OQ:x=my,则直线MN:x=J2,联立/y2,得

I42

x=my+\/2

4m244M+4

|0Q『=xj+%2=-+=-；,联立〈x2y2]，得

m+2m+2m+2——+—=1

42

|MN1=+%)2-”跖=7?7蕨、咫%)2+-4—=丝上，由此即可得到本题答案.

Y优~+2m+2m+2

【详解】

(I)由题可得e=£=1,即/=■!■/,

a222

将点1,*代入方程得［+景=1,即提=1,解得Y=4,

22

所以椭圆C的方程为：—+-^-=1；

42

(II)由(I)知，F(x/2,0)

设直线OQ：x=my,则直线MN:x=/ny+0,

x=my

联立《X2y2，整理得坨

—+2_19m2+2,m-+2

142=

244m2+4

所以24m

|OQ|2=XJ+%=中+

nr+2m2+2

x-my^r

联立了22整理得(>+2)V+2\[2my-2=0,

—+—=1

I42

设小，X),N(“J,则―空—总

所以IMNb,1+加2J(y+丫2)2_4%%=<+川户业家+=4q+：

V，％+2m+2m+2

4/n2+4

所以1W|=/+2=i

m^\OQ|24病+4-

m2+2

【点睛】

本题主要考查椭圆标准方程的求法以及直线与椭圆的综合问题，考查学生的运算求解能力.

19.(1)C=—;(2)c~2\/3•

【解析】

试题分析：(1)利用已知及平面向量数量积运算可得ccosB+S-2a)cosC=0,利用正弦定理可得

sinA=2sinAcosC,结合sinA/O,可求cosC=L从而可求C的值；(2)由三角形的面积可解得肪=8,利用余

2

弦定理可得(。+。)2—3次?=。2,故可得C.

试题解析：(1)Vm=(cosB,cosC),为=(c,人一2〃)，沅•万=0,

:.ccosB+-2Q)COSC=0,

:.sinCcosB+(sinB-2sinA)cosC=0,

即sinA=2sinAcosC,又VsinAw0,:.cosC=—,

2

(2)■:5MBC=gabsinC=2G，工ab=8,

22

又/=4+Z?2-2a灰：osC，即(〃+力)~-3ab=c9Ac=12,

故。=2A/3・

4

20.(I)最小值为§；(II)见解析

【解析】

(1)根据题意构造平均值不等式，结合均值不等式可得结果；

(2)利用分析法证明，结合常用不等式和均值不等式即可证明.

【详解】

11\(11Y2

(I)-+=-~~L«+(^+l)]

ab+13\aZ?+l)

则」-」〃+1a

L2+---------1---------

ab+13aZ?+l4

a+b=2人」时,

当且仅当《a=b｝，即"

+22

114

所町+直7的最小值为“

1r\

(II)要证明：,

baab

ab2c

只需证：—I---------20,

baab

即证明：竺式二220,

ab

由4>0力>(),

也即证明：a2+b2>2.

即/+2,当。=人=1时等号成立.

bi、，ab2

所以:+―2丁・

baab

【点睛】

本题考查均值不等式，分析法证明不等式，审清题意，仔细计算，属中档题.

21.1

【解析】

试题分析：由柯西不等式得

[七+上++眄+2)+(3"2)+(3,+2)]

>33,・3#(3a+2)(3上+2)(3c+2)=9,所以------------1--------------1------