2021-2022学年安徽省卓越县中联盟高二上学期期中联考数学试题（解析版）

安徽省卓越县中联盟2021-2022学年度第一学期高二年级期中联考数学试题一、选择题1.已知向量，，则等于（）A. B. C. D.答案：A解析：【分析】利用空间向量加法的坐标运算，即得解.【详解】∵向量，，∴.故选：A.2.如图，平行六面体中，与交于点，设，，，则等于（）A. B.C. D.答案：B解析：【分析】利用空间向量的加法运算即可解决.【详解】由已知可得，故选：B.3.与直线关于轴对称的直线的方程为（）A. B. C. D.答案：D解析：【分析】求出给定直线的斜率及与轴的交点坐标，再利用对称的性质计算作答.【详解】直线的斜率为，与轴交于点，直线关于轴对称的直线的斜率为，并且过点，由直线的点斜式方程得：，即，所以所求直线的方程为：.故选：D.4.与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆的方程是（）A. B. C. D.答案：C解析：【分析】根据共焦点，设出椭圆方程，代入点的坐标，求出.【详解】椭圆方程化为标准形式，设共焦点的椭圆方程为：，将点代入得，解得：，所以所求椭圆方程为，C正确.故选：C.5.给出以下命题，其中正确的是（）A.直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直B.直线的方向向量为，平面的法向量为，则C.平面､的法向量分别为，，则D.平面经过三个点，，，向量是平面的法向量，则答案：D解析：【分析】判断直线的方向向量和平面的法向量间的关系，判断线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项.【详解】对于A，因为，所以与不垂直，A错误；对于B，因为，不成立，所以B错误；对于C，因为与不平行，所以不成立，C错误；对于D，，，由，，解得，，所以，D正确.故选：D.6.正四面体棱长为，，，分别是，，的中点，则的值为（）A. B. C. D.答案：B解析：【分析】设，，，可得，，然后利用数量积的定义及运算法则即求.【详解】如图，设，，，则，又，，∴.故选：B.7.世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根.若圆上有且只有一个点在椭圆的蒙日圆上，则的值为（）A. B. C. D.答案：C解析：【分析】根据题意得椭圆的蒙日圆方程为，进而得该圆与已知圆相切，再根据圆的位置关系求解即可.【详解】根据题意，椭圆的蒙日圆方程为，因为圆上有且只有一个点在椭圆的蒙日圆上，所以该圆与已知圆相切，又两圆圆心间距离为，所以或（无解，舍去），解得.故选：C.8.在棱长为的正方体中，点在棱上，，点是棱的中点，点满足，则直线与直线所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：B解析：【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.【详解】如图，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，由题知，所以直线与直线所成角的余弦值为.故选：B.9.如图，在三棱锥中，平面，，，点在三棱锥的表面上运动，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：【分析】根据题干条件得到在以为球心，半径为的球上，故，进而求出答案.【详解】如图，取中点，连接，，，则，又因为平面，平面，平面，所以，，又，，由勾股定理得：，且在以为球心，半径为的球上，故，则的取值范围是，D正确.故选：D.10.椭圆的左右焦点分别为､，直线与交于､两点，若，，当时，的离心率的最小值为（）A. B. C. D.答案：D解析：【分析】结合题干条件得到，表达出，，利用椭圆定义得到关系，结合的范围求出离心率的最小值.【详解】连接，由题知点A､关于原点对称，，，所以，则，，又，即，，由得，所以，D正确.故选：D.11.点是圆上的任一点，圆是过点且半径为的动圆，点是圆上的任一点，则长度的最小值为（）A. B. C. D.答案：B解析：【分析】由题知点是上动点，点是圆上的动点，结合圆的性质及图形可得.【详解】由题可知点的轨迹方程是，即得点是圆上的动点，又由题知点是圆上的动点，如图可得则.故选：B.12.如图，矩形的顶点在以为圆心，半径为的圆上，，当时，的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：【分析】以所在直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，不妨设，则，，，，可得，结合，，求得，最后求出的范围即可.【详解】由，可以所在直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，由矩形的性质可知,、两点关于原点对称，不妨设，则，，，，∵为直角三角形，为的中点，∴，又∵，∴，即，∴，即，∴，故选：A.二、填空题13.若直线与直线平行，则的值为.答案：解析：【分析】根据两直线平行得到等量关系，求出的值.【详解】，得，求得，经检验，符合题意.故答案为：.14.直线与圆交于､两点，为坐标原点，则的面积为.答案：解析：【分析】利用点到直线的距离公式，圆的弦长公式及三角形面积公式即求.【详解】∵圆心到直线的距离，，∴的面积为.故答案为：.15.是椭圆的一个焦点，不过点的直线交椭圆于、两点，则的周长的最大值为.答案：解析：【分析】由椭圆的方程可知，再由三角形周长的表达式及其椭圆的定义，将周长转化为，当且仅当,,三点共线时取得等号.【详解】由已知得，即，取椭圆另一焦点为，△的周长为，当且仅当,,三点共线时取得等号.故答案为：.16.如图，正三棱柱的各棱长均为，点和点分别为棱和棱的中点，先将底面置于平面内，再将三棱柱绕旋转一周，则以下结论正确的是（填入正确结论对应的序号）.①设向量旋转后的向量为，则②点的轨迹是以为半径的圆③设①中的在平面上的投影向量为，则的取值范围是④直线在平面内的投影与直线所成角的余弦值的取值范围是答案：①②③解析：【分析】利用坐标法，由可得，利用模长公式可判断①②，利用投影向量的概念可得，可判断③，利用夹角公式可判断④.【详解】如图，取棱的中点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，绕着旋转即绕着轴旋转，设旋转后的向量为，则，①正确；设，则，，点的轨迹是以为半径的圆，②正确；由题知，在平面上的投影向量即为其在平面上的投影向量，，③正确；设直线在平面内的投影与直线所成的角为，则，④错误.故答案为：①②③.三、解答题17.已知向量，，，，，求：（1）向量，，的坐标；（2）与夹角的余弦值．答案：见解析解析：【分析】（1）根据可得存在，使得，可求出，根据可得，可求出，即求出坐标；（2）求出和的坐标，利用向量夹角公式即可求出.【详解】（1），存在，使得，即，则，解得，又，，可得，所以；（2）由（1）可得，设与的夹角为，则.18.已知点，，将直线绕着点逆时针旋转得到直线，（1）求直线的方程；（2）若点是直线上一点，当的面积等于时，求点的坐标.答案：见解析解析：【分析】（1）由已知得直线的倾斜角等于直线倾斜角和旋转角的和，即可利用两角和的正切公式求出直线的斜率，然后利用点斜式即可求出直线的方程.（2）设出点的坐标，利用三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，则，又直线过点，则直线的方程为，即.（2）设，，，所以，解得或，故点坐标为或.19.如图，在四棱柱中，底面和侧面都是矩形，，，是的中点，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角.答案：见解析解析：【分析】（1）根据条件证明出平面，进而证明出，利用勾股定理得到，从而证明出结论；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出面面角.【详解】因为底面和侧面都是矩形，所以，，又因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，又由题知，，所以，所以，又，所以平面.设为的中点，以为原点，､､所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则得点，，，，，设平面的一个法向量为，又，，则，令，则取；设平面的一个法向量为，又，，则，令，则取，设平面与平面的夹角为，则，所以，即得平面与平面的夹角为.20.点是圆上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，，当点在圆上运动时，记点的轨迹为（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）.（1）求的方程；（2）若曲线与轴交于､两点，过点的直线（不与轴重合）与曲线交于､两点，记､的面积分别为､，求的最大值.答案：见解析解析：【分析】（1）设，则，由可得，代入中化简可得轨迹的方程，（2）解法一：设直线的方程为，，，将直线方程与椭圆方程联立消去，利用根与系数的关系，由于，则可得，然后分和求其最大值，解法二：当直线的斜率不存在时，直接可求出､的值，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系，再表示出，后面同解法一.【详解】（1）设，则，由得是的中点，得，又点在圆上，代入得曲线的方程为.解法一：设直线的方程为，，，由得，由于点在椭圆内部，所以该方程一定有两个不同实数解，且，，因为，所以，当时，，当时，，当且仅当时等号成立.综上所述，的最大值为.解法二：①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，不妨设，，，；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，由得，由于点在椭圆内部，所以该方程一定有两个不同实数解，且，，所以，，因为，所以，当且仅当时等号成立.综上所述，的最大值为.21.年我国某海滨城市经常遭遇东偏南某方位的台风的侵袭，对居民的生产和生活产生巨大影响.如图，据月日午时监测，当前台风中心位于城市的东偏南方向的海面处，并以的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围是半径为的圆形区域，位于城市的东偏南方向有一条自城市通向远海的航线，当前该航线的至段正遭受台风侵袭.（1）求当前该航线正被台风侵袭的至段的距离；（距离精确到）（2）经过多长时间后该航线将不受台风侵袭？（时间精确到）（参考数据：）答案：见解析解析：【分析】（1）由点到直线的距离和勾股定理可求解；（2）设小时后台风中心所处位置为点，再建立方程求解即可.【详解】（1）建立如图所示的直角坐标系，由题得当前台风中心所处位置点坐标为，即点，又至段所在直线的方程为，则点到该直线的距离为，则，即得当前该航线正被台风侵袭的至段的距离为.（2）由题知，当该航线不受台风侵袭时，城市也恰好结束遭受台风侵袭.设经过小时后台风中心所处位置为点，则得坐标为，即点，又圆的方程为，则由，得，其中､分别表示城市开始和结束遭受台风侵袭所需要经历的时间，则易得经过后该航线将不受台风侵袭.22.如图，已知圆柱，点是圆上的动点，，，､为圆上的两个定点，且满足.（1）当或时，求证：平面；（2）当直线与平面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积.答案：见解析解析：【分析】（1）利用平行四边形得到线线平行，进而证明线面平行；（2）建立空间