（全国通用）2023高考数学大一轮复习第五篇数列第4节数列求和及综合应用习题理

PAGEPAGE8第4节数列求和及综合应用【选题明细表】知识点、方法题号公式法、并项法、分组法求和1,2,3,9,12裂项相消法求和5,10错位相减法求和6,11,15数列的综合应用4,7,13,14数列的实际应用8根底对点练(时间:30分钟)1.假设数列{an}的通项公式是an=(-1)n(2n-1),那么a1+a2+a3+…+a100等于(D)(A)-200 (B)-100 (C)200 (D)100解析:由题意知,a1+a2+a3+…+a100=-1+3-5+…+(-1)100(2×100-1)=(-1+3)+(-5+7)+…+(-197+199)=2×50=100.应选D.2.数列{an}的通项公式是an=2n-12n(A)13 (B)10 (C)9 (D)6解析:因为an=2n-1所以Sn=n-(12+122+…+12而32164=5+1令n-1+12n=5+3.{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,那么数列{1an(A)158或5 (B)31(C)3116 (D)解析:设{an}的公比为q,由题意知q≠1,所以由9(1-所以{1an}是以1为首项,所以S5=1-(14.(2022·安徽安庆一模)各项均不为零的等差数列{an}中,假设anan-1-an+1=0(n∈N*,n≥2),那么S2017等于(D)(A)0 (B)2 (C)2017 (D)4034解析:an2=an-1+an+1=2an,an所以an=2,所以Sn=2n,S2017=2×2017=4034.应选D.5.122-1+132-(A)n+12(n+2)(C)34-12(1n+1+1n+2)解析:因为1(n+1)2-1=1n2+2所以122-1+132=12(1-13+12-14+13-15+=12(32-1n=34-12(1n+16.Sn=12+12+38+…(A)2n-n2(C)2n-解析:由Sn=12+222+323+得12Sn=122+223+…+n①-②得,12Sn=12+122+123=121-所以Sn=2n7.(2022·广西桂林一模)数列{an}中,an+1=2an,a3=8,那么数列{log2an}的前n项和等于.

解析:因为an+1a所以a2=4,a1=2,所以数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,所以an=2n,所以log2an=n,所以数列{log2an}的前n项和等于n(答案:n8.现有一根n节的竹竿,自上而下每节的长度依次构成等差数列,最上面一节长为10cm,最下面的三节长度之和为114cm,第6节的长度是首节与末节长度的等比中项,那么n=.

解析:设自上而下每节竹竿的长度构成的等差数列为{an},由题意知,a1=10,an+an-1+an-2=114,a62=a1·a所以3an-1=114,即an-1=38.(a1+5d)2=a1·(an-1+d),所以(10+5d)2=10×(38+d),即5d2+18d-56=0,解得d=2或d=-285所以an-1=10+(n-2)×2=2n+6=38,所以n=16.答案:169.导学号18702264对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列〞,假设a1=2,{an}的“差数列〞的通项公式为2n,那么数列{an}的前n项和Sn=.

解析:因为an+1-an=2n,所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+22+2+2=2-2n=2n.所以Sn=2-2n答案:2n+1-210.导学号18702265数列{an}的前n项和是Sn,且Sn+12an(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log3(1-Sn+1)(n∈N*),求适合方程1b1b2+1b2b解:(1)当n=1时,a1=S1,由S1+12a1=1,得a1=2当n≥2时,因为Sn=1-12an,Sn-1=1-12a所以Sn-Sn-1=12(an-1-an),即an=12(an-1-a所以an=13an-1(n≥所以{an}是以23为首项,1故an=23·(13)n-1=2·(13)n(n∈(2)1-Sn=12an=(13)bn=log3(1-Sn+1)=log3(13)n+11bnbn+1=11b1b2+1=(12-13)+(13-14)+…+(=12-1解方程12-1n+211.导学号18702267等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设{bnan}是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{bn解:(1)依题意得,3解得a所以an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,即an=2n+1(n∈N*).(2)bnan=3n-1,bn=an·3n-1=(2n+1)Tn=3+5×3+7×32+…+(2n+1)·3n-1,①3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n,②①-②得-2Tn=3+2×3+2×32+…+2·3n-1-(2n+1)·3n=3+2·3(1-3=-2n·3n,所以Tn=n·3n(n∈N*).能力提升练(时间:15分钟)12.导学号18702268在数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n(n∈N+(A)1300 (B)2600 (C)0 (D)2602解析:原问题可转化为当n为奇数时,an+2-an=0;当n为偶数时,an+2-an=2.进而转化为当n为奇数时,为常数列{1};当n为偶数时,为首项为2,公差为2的等差数列,所以S100=S奇+S偶=50×1+(50×2+50×492×13.导学号18702269Sn是等比数列{an}的前n项和,a1=120,9S3=S6,设Tn=a1a2a3…a(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:设等比数列的公比为q,故由9S3=S6,得9×a1(1-q3)1-q=a1(1-q6)1当n≥6时,Tn>Tn-1,据此可得T5为最小值.应选C.14.(2022·黑龙江哈尔滨一模)设n∈N*,an是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标,设bn=ann2,那么数列{bn}前n项和Sn=解析:y′=(2n+2)x2n+1,曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线的斜率为2n+2,从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1),令y=0,解得切线与x轴交点的横坐标an=1-1n+1=nn+1,那么b所以Sn=(1-12)+(12-13)+…+(1=1-1n+1=答案:n15.(2022·山东泰安一模)等比数列{an}的公比q>1,a1=1,且a1,a3,a2+14成等差数列,数列{bn}满足:a1b1+a2b2+…+anbn=(n-1)·3n+1(n∈N*).(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)假设man≥bn-8恒成立,求实数m的最小值.解:(1)因为等比数列{an}满足:a1=1,且a1,a3,a2+14成等差数列,所以2a3=a1+a2+14,即2a1q2=a1+a1q+14,所以2q2-q-15=0,所以q=3或q=-52又q>1,所以q=3,所以an=3n-1.因为a1b1+a2b2+…+anbn=(n-1)·3n+1,①所以当n≥2时,有a1b1+a2b2+…+an-1bn-1=(n-2)·3n-1+1,②①-②可得anbn=(2n-1)·3n-1(n≥2),所以bn=2n-1(n≥2),又n=1时,可求得b1=1,符合bn=2n-1,故bn=2n-1.(2)假设man≥bn-8恒成立,那么m≥2n令Cn=2n那么Cn+1-Cn=2n-73n当Cn+1=Cn,即n=5时,C5=C6,当Cn+1>Cn,即n<5时,C1<C2<C3<C4<C5,当Cn+1<Cn,即n>5时,C6>C7>C8>….所以Cn的最大值为C5=C6=181所以m≥181所以m的最小值为181好题天天练导学号18702271△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,其面积S=43,∠B=60°,且a2+c2=2b2;等差数列{an}中,a1=a,公差d=b.数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn-2bn+3=0,n∈N*.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设cn=an,n为奇数,解:(1)因为S=12acsinB=43所以ac=16.又a2+c2=2b2,b2=a2+c2-2accosB,所以b2=ac=16,所以b=4.从而(a+c)2=a2+c2+2ac=64⇒a+c=8,所以a=c=4,