吉林省吉林大学附属中学2022届高三上学期第四次摸底考试数学（理）模拟试题

吉大附中高中部吉大附中高中部2022学年上学期

高三年级第四次摸底考试数学理科试卷试卷满分：150分考试时间：120分钟命题人：王庶赫审题人：刘媛媛、石泽晖注意事项：1．请考生将姓名、班级、考号与座位号填写在答题纸指定的位置上；2．客观题的作答：将正确答案填涂在答题纸指定的位置上；3．主观题的作答：必须在答题纸上对应题目的答题区域内作答，在此区域外书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。第Ⅰ卷（客观题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）已知集合，则实数的取值范围是 （A） （B）（C）（D）（2）已知圆，直线，则（A）与相交 （B）与相切（C）与相离（D）以上三个选项均有可能（3）已知函数，实数满足，则的所有可能值为（A）或（B）（C）（D）或或（4）已知、是夹角为的两个单位向量，若，，则与的夹角为（A）（B）（C）（D）（5）直线，则是的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（6）若函数在上既是奇函数，又是减函数，则的图象是 （A） （B） （C） （D）（7）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则（A）（B）（C）（D）（8）若，且，则的值为（A）（B）（C）（D）（9）已知在上可导，且，则与的大小关系是（A）（B）（C）（D）不确定（10）已知正项数列的前项和为，若和都是等差数列，且公差相等，则 （A） （B）（C） （D）（11）已知的三边、、成等比数列，、、所对的角依次为、、.则的取值范围是（A）（B）（C）（D）（12）已知函数，，设函数，且函数的所有零点均在区间内，则的最小值为（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷（主观题90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）已知是奇函数，且.则.（14）在中，，，若为外接圆的圆心（即满足），则的值为.（15）已知是曲线上的点，设，曲线在处的切线交轴于点，则数列的通项公式是.（16）过点引直线与曲线相交于、两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本题满分12分）设的内角、、所对的边分别为、、，且，．（Ⅰ）求及边长的值；（Ⅱ）若的面积，求的周长．（18）（本题满分12分）设数列满足：.（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）若，且对任意的正整数，都有，求实数的取值范围.（19）（本题满分12分）如图，四棱锥中，平面平面，，，，且，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值.（20）（本题满分12分）已知两个动点、和一个定点均在抛物线上（、与不重合）.设为抛物线的焦点，为其对称轴上一点，若，且、、成等差数列.（Ⅰ）求的坐标（可用、和表示）；（Ⅱ）若，，、两点在抛物线的准线上的射影分别为、，求四边形面积的取值范围.（21）（本题满分12分）已知.（Ⅰ）对一切恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，求函数在区间上的最值；（Ⅲ）证明：对一切，都有成立.请考生在第22、23、24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清楚题号.（22）（本题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，直线经过上的点，并且交直线于点、，其中在线段上.连结（Ⅰ）证明：直线是的切线；（Ⅱ）若，的半径为3，求的长.（23）（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，设倾斜角为的直线：（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点．（Ⅰ）若，求线段中点的坐标；（Ⅱ）若，其中，求直线的斜率．（24）（本题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）若不等式的解集为空集，求实数的取值范围；（Ⅱ）若且，判断与的大小，并说明理由.

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高三年级第四次摸底考试数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求．题号123456789101112答案CAACBAADBACD提示：（12）解析：先解不等式.显然是原不等式的一个解.当时，由等比数列的前项和公式，可得原不等式即.因为函数在区间上均是连续的，且在这两个区间上无零点（若，得，而无意义）.所以函数在区间上均恒正.总之，原不等式的解集为.再来解答本题.易得，由前面的结论知恒成立，所以是上的增函数，函数至多有一个零点.又，，所以函数的唯一零点在区间内，得函数的唯一零点在区间内.又，所以恒成立，所以是上的减函数，函数至多有一个零点.又，.所以函数的唯一零点在区间内，得函数的唯一零点在区间内.所以当“函数的零点均在区间上，且最小”时，，所以的最小值是.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）（14）（15）（16）提示：（16）解析：曲线的图象如图所示：若直线与曲线相交于两点，则直线的斜率，设：，则点到的距离.又，当且仅当，即时，取得最大值．所以，得，.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）解析：（Ⅰ）由，，两式相除，有，所以，又，故，则，所以．……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由，得到．由，得，故，即的周长为.……12分（18）解析：（Ⅰ）因为，①，②②①，得，即，又因为，所以.所以数列是以为首项，以为公比的等比数列.……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，所以.由，可得.由可得，所以.故有最大值，所以对任意，有，所以，即.则，所以，，解得或，所以的取值范围是.……12分（19）解析：（Ⅰ）由，可得.由，可得.又，知，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面.……6分（Ⅱ）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.得，所以.可求得平面的一个法向量是.设直线与平面所成的角为，得.故直线和平面所成角的正弦值为.……12分（20）解析：（Ⅰ）设，则，，，又，且，，代入可得，又由成等差数列得，故，所以.……6分（Ⅱ）由得，得，故，，所以，且.又，则，，，注意到，得，，所以四边形面积的取值范围为.……12分（21）解析：（Ⅰ）对一切恒成立，即恒成立.也就是在上恒成立.令，则.时，，时，.因此在处取极小值，也是最小值，即，所以.……4分（Ⅱ）当时，，由得.当时，在上，在上.因此在处取得极小值，也是最小值.故.由于，，因此.当时，，因此在上单调递增，故，.……8分（Ⅲ）问题等价于证明，.由（Ⅱ）知时，的最小值是，当且仅当时取等号.设，则，易知，当且仅当时取到.从而可知对一切，都有.……12分请考生在第22、23、24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清楚题号.（22）解析：（Ⅰ）证明：连结.因为，所以又是圆的半径，所以是圆的切线.……5分（Ⅱ）因为直线是的切线，所以又，所以则有，又，故.设，则，又，故，即.解得，即.所以……10分（23）解析：（Ⅰ）将曲线的参数方程化为普通方程是．当时，设点对应的参数为．直线方程为（为参数），代入曲线的普通方程，得，设直线上的点对应参数分别为．则，所以点的坐标为．……