数字图像处理-第09章-数学形态学及其应用

第9章数学形态学及其应用9.1形态学简介（1）运算由集合运算（如并、交、补等）来定义；（2）全部的图像都必需以合理的方式转换为集合。形态学算子的性能主要以几何方式进行刻画，更适合视觉信息的处理和分析。基本思想：利用结构元素作为“探针”在图像中不断移动，在此过程中收集图像的信息、分析图像各部分间的相互关系，从而了解图像的结构特征。图9.1数学形态学的方法依据探测探讨图像的不同结构特点，结构元素可携带形态、大小、灰度、色度等信息。不同点的集合形成具有不同性质的结构元素。由于不同的结构元素可以用来检测图像不同侧面的特征，因此设计符合人的视觉特性的结构元素是分析图像的重要步骤。最基本的形态学运算有：腐蚀，膨胀，开启，闭合。用这些算子及其组合来进行图像形态和结构的分析及处理，可以解决抑制噪声、特征提取、边缘检测、形态识别、纹理分析、图像复原与重建等方面的问题。数学形态学的特性：（1）反映的是一幅图像中像素点间的逻辑关系，而不是简洁的数值关系。（2）是一种非线性的图像处理方法，并且具有不行逆性(后边具体说明)。（3）可以并行实现(串行和并行的区分)。（4）可以用来描述和定义图像的各种集合参数和特征。9.1.2几个基本概念1.击中与击不中设有两幅图像A和B，假如A∩B≠Ф（空集），那么称B击中（hit）A，记为B↑A，；否则，假如A∩B=Ф，称B击不中（miss）A。ABB’2.移动和反射设A是一幅数字图像，a是A的元素；b是一个点，那么定义A移动到b后的结果为

(A)b＝{(a)b|a∈A}（9.1）一幅数字图像A关于原点的反射定义为AV＝{a|-a∈A}（9.2）3.结构元素依据不同的图像分析目的，常用的结构元素有方形、扁平形、圆形等。在多尺度形态学分析中，结构元素的大小可以变更，但结构元素的尺寸一般地要明显小于目标图像的尺寸。9.2二值形态学二值图像是数字图像的重要子集，指灰度值只取两种值的图像。两个灰度值可取为0和1。二值形态学处理算法都是以膨胀,腐蚀这两种最基本的运算为基础的。一般设集合A为图像集合，集合B为结构元素，数学形态学运算是用B对A进行操作。二值分割：9.2.1二值腐蚀集合A（输入图像）被集合B（结构元素）腐蚀:(9.3)

图9.2腐蚀示意图dd/8d/8dd/4d/4AB

ABd9.2.2二值膨胀腐蚀运算的对偶运算，可以干脆定义，也可通过对补集的腐蚀来定义，即以AC表示集合A的补集，表示B关于坐标原点的反射。集合A被集合B膨胀表示为：也可表示为图9.3膨胀示意图腐蚀和膨胀操作的直观说明腐蚀是对图像内部作滤波处理，而膨胀是利用结构元素对图像补集进行填充，因而它是对图像外部作滤波处理。腐蚀具有收缩图像的作用，膨胀具有扩大图像的作用。9.2.3二值开运算有两种二次运算起着特殊重要的作用开运算闭运算（开运算的对偶运算）。从结构元素填充的角度看，它们具有更为直观的几何形式。开运算的定义假设A仍为输入图像，B为结构元素，利用B对A作开运算，用符号A○B表示，其定义为：图9.4利用圆盘作开运算

9.2.4二值闭运算闭运算是开运算的对偶运算，定义为先作膨胀后作腐蚀。开、闭运算也互为对偶运算图9.5利用圆盘作闭运算开运算具有磨光图像外边界的作用即去除毛刺；闭运算具有磨光图像内边界的作用即填充破损。二值形态学应用一、形态学滤波器二、图像骨架提取VC++MATLAB9.3灰值形态学在灰度图像形态处理中，输入和输出的图像都是灰度级形式的输入和输出像素值是在最低灰度值到最高灰度值之间。9.3.1

灰值腐蚀形态学源于填充的概念灰值形态学处理的对象是图像信号波形的拓扑特性，结构元素也是一个信号。二值形态学中，集合的交、并运算起到关键作用在灰值形态学中这两种运算对应于极大和微小运算。可利用填充、极大/微小概念干脆定义灰值运算。用结构元素g对输入图像f(x,y)进行灰值腐蚀记为用一维函数对其进行简化，定义为由于结构元素必需在信号的下方，故空间平移结构元素的定义域必为信号定义域的子集，否则腐蚀在该点没有定义。结构元素从信号的下面对信号产生滤波作用，这与结构元素从内部对二值图像滤波的状况是相像的。图9.6灰值腐蚀运算9.3.2灰值膨胀灰值膨胀可用灰值腐蚀的对偶运算来定义。接受求极大值的方法，即在位于信号下方的条件下，求上推结构所能达到的最大值。利用结构元素的反射，求将信号限制在结构元素的定义域内时，上推结构元素使其超过信号时的最小值来定义。

用结构元素g对输入图像f(x,y)进行灰值膨胀

(f⊕g)(s,t)=max{f(s-x,t-y)+g(x,y)|s-x,t-y∈Df,x+y∈Dg}用一维函数对其进行简化，定义为(f⊕g)(s)=max{f(s-x)+g(x)|s-x∈Df,x∈Dg}步骤：对结构元素g的定义域Dg中的每一个点x将信号f平移x，然后，再对每次平移信号的值加上g(x)，这样对于结构元素定义域中的每个点都得到一个信号，对全部这些信号逐点取其最大值，便可得到膨胀结果。图9.7灰值膨胀运算(a)灰值膨胀过程(b)灰值膨胀结果9.3.3灰值开运算灰值开和灰值闭运算是腐蚀和膨胀的组合运算。先作腐蚀再作膨胀的迭代运算：这两种运算也为对偶运算，并且都可用填充概念来说明。

图9.8灰值开运算

9.3.4灰值闭运算依据对偶性定义，灰值闭运算定义为：f●g=(f⊕g)g(9.14)灰值闭运算具有扩展性滤波结果总位于原始图像的上方。它从图像的上方磨光图像灰值表面对下突出的尖峰（即波谷）。

图9.9灰值闭运算图9.10细胞组织图像的灰值形态运算9.3.5

灰值形态学梯度利用扁平结构元素g对f作腐蚀和膨胀可得到f的局部极大和微小值，与数字差分定义的梯度相应。形态学梯度的定义为：

为了更好地获得边缘检测的效果，可以将形态学梯度与阈值结合起来运用。图9.11核磁共振图像的形态学梯度9.3.6

高帽变换和低帽变换通过这两种变换可以得到灰度图像中一些重要的标记点。在较亮的背景中求暗的像素点或在较暗的背景中求亮的像素点；检测受到噪声污染图像中的边缘等。为了使上述效果更明显，对变换后的图像也可以作阈值处理。高帽变换从一幅原始图像f中减去对其作开运算后得到图像WHT(f)，其定义为：

WHT(f)

=f—(f○g)(9.16)其中，g为结构元素。高帽变换是一种波峰检测器它在较暗的背景中求亮的像素点很有效。低帽变换与高帽变换相对偶的算子，定义为：BHT(f)

=(f●g)—f(9.17)低帽变换是一种波谷检测器适合于在较亮的背景中求暗的像素点。图9.12利用Top-Hat和Bot-hat变换检测图像峰值和谷值9.3.7开－闭运算和闭－开运算形态开、闭运算作为最基本的形态滤波运算。在实际的图像处理中，仅仅接受形态开和闭的滤波效果往往不能令人满足。在基本的形态开、闭运算的基础上设计出形态开－闭和形态闭－开组合滤波器，发挥其更好的滤波性能。开－闭运算和闭－开运算互为对偶操作形态开闭－运算能够滤除图像中形态小于结构元素的亮噪